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1、随机振动,褚志刚,随机过程及相关分析,随机振动与确定性振动,确定性振动：一个系统受到确定性激励后所产生的振动随机振动：一个系统在随机激励下所产生的振动，通常有如下特点：振动没有固定周期，不能用简单的函数组合加以表达其规律，写不出运动方程无法预测某一时刻t的振动幅度在相同条件下进行一系列测试，各次测试结果不可能完全一致描述振动的物理量服从统计规律，可以用概率统计方法加以研究例如，汽车平顺性问题，汽车噪声问题,随机载荷的统计分析与载荷谱随机载荷的统计,通常采用极值法：即统计极大值和极小值出现的次数，这主要是因为对零件疲劳破坏的较大影响主要是随机载荷的极值变程：两个相邻极值之差无效变程：变程小于最大
2、变程10的变程称为无效变程,图114,随机载荷的统计分析与载荷谱载荷谱和程序疲劳寿命,载荷谱：凡是能够描述随机载荷特性的图形，表格，数字及解析表达式如概率密度函数，分布函数等程序疲劳试验：它是一种室内模拟试验，试验中构件承受的是一个平均载荷加上一个变幅的对称循环交变载荷程序疲劳试验的确定：确定最大载荷确定分级方法确定试验程序,概率论知识回顾.,概率分布函数：单调增，,概率论知识回顾.,概率密度函数：,概率论知识回顾.,条件概率密度函数：若两个随机变量独立，则：,概率论知识回顾.,数学期望E 集合平均：性质：,概率论知识回顾.,均值 均方值 均方差 时间平均：,概率论知识回顾.,四平稳随机过程与
3、各态历经过程 平稳随机过程：X(t)的联合概率结构随着时间t的平移而不发生任何变化。各态历经过程：时间平均与集合平均相等。反映一个样本包含了此随机过程的全部信息。,什么是相关,相关：即两个变量之间的关系，因此，研究两个变量之间关系的问题即相关问题客观世界中事物的量通常有什么关系呢？1.两个变量本是函数关系;（函数相关）2.两个变量的关系本来就不是函数关系，但存在某种联系，如身高与体重关系（概率相关）。但希望用一个函数关系来简化和表达，这就需要回归分析。3.完全没有关系（不相关）,线性回归方程,图1114,线性回归方程：Y=aX+b确定a,b采用最小二乘法，即残差的平方和最小，即 为最小,a,b
4、等于多少呢？,满足极小值条件：解得,相关系数和回归方程,定义相关系数为：则 为线性回归方程,关于xy的讨论,xy 1，Y、X具有线性函数关系；反之，Y、X具有线性函数关系，则xy1如果Y、X相互独立，则xy 0|xy|1，即相关系数的绝对值恒不大于1两个独立的随机变量X、Y必不相关，其xy 0，但不相关的两个随机变量未必独立,相关系数的进一步推演。,若X、Y这两个随机变量为两个随机过程两个不同时刻截口t1及t1处的两个随机变量XX(t1)、YY(t1)，则,若X、Y这两个随机变量为某一随机过程两个不同时刻截口t1及t1处的两个随机变量XX(t1)、YX(t1)，则,相关函数的定义,既然相关系数
5、能够表示两个随机过程之间的相关性，且 与相关系数之间具有线性函数关系，必然也具有相同的作用，即也能描述相关性！定义：自相关函数互相关函数,自相关函数的性质。,图1123,自相关函数的物理意义,可以表达现在的波形与时间坐标平移后的波形之间的相似程度表达随机过程两个不同截口处的两个随机变量之间的相关程度自相关函数与原始信号具有相同的周期（频率）、衰减率（阻尼）动态特性可用来检测随机过程中是否含有周期成分，或者其信号特征自功率谱计算的依据自相关函数既包含了一个随机过程间隔时间的相关程度和依赖性，同时也包含了能量大小的信息。不过要注意，相关性再也不是象相关系数那样能够用-1到1这样的数来表示相关大小了
6、,算例,例：有一各态历经的随机过程 其中 是取值在0 范围的等概率密度的随机变量，求此随机过程的统计特征值 和自相关函数。解：（一）集合平均方法：,算例,算例,算例,（二）时间平均法,算例,1可以看出：用集合平均法和时间平均法求出的结果完全相同。2通过例子可以看出：正弦波的自相关函数是余弦波且与原随机过程具有同周期性。,典型的自相关函数,从正弦波到宽带随机过程的自相关函数的图形变化具有从不收敛到收敛很快的典型特征。,互相关函数,自相关函数：同一随机过程两个不同时刻随机变量之间的相关关系，即一个随机过程一个截口与另一截口处的随机变量的关系。如一年中两个不同时间温度之间的关系那两个不同的随机过程不
7、同时刻的随机变量之间的关系如何描述呢，如某地某个月降水量与另一个温度之间的关系，如汽车路面激励与汽车座椅振动之间的关系？这就需要用到互相关函数,互相关函数的性质,图1127,互相关函数的物理意义,滞后时间的确定图1127传递通道的确定,相关函数在汽车中的应用,利用自相关函数判断信号中是否含有周期成分的原理：,相关函数在汽车中的应用,自相关函数（寻找峰值出现时间或者时间差）操纵稳定性试验中的撒手稳定性试验，测量回正频率，评价转向系刚度（图1129）汽车平顺性试验（图1130）互相关函数（寻找峰值出现时间）操纵稳定性试验中的方向盘转角脉冲试验，测量滞后时间，评价响应速度（图1131）确定汽车行驶速
8、度（图1133）,功率谱密度函数,随机信号的描述,幅值域：均值，方差，均方值，均方根值时间域：相关函数，相关系数频率域：功率谱密度函数频率域描述的目的：判断一个过程由哪些频率成分构成确定信号：周期信号，傅氏级数，非周期信号，信号本身的傅氏变换随机信号：统计方法，功率谱密度函数,各态历经平稳随机过程的傅氏变换的存在吗？,各态历经的平稳过程，虽然它的一个样本函数所包含的信息能够代表整个过程，但由于时间样本时间趋于无穷大，显然，对于这样的样本不满足绝对可积条件，不能进行傅立叶变换而对于一般平稳过程，若其均值为0（若不为零，可以调整至0），当时间趋于无穷大其自相关函数趋于0，因此，满足傅氏变换,自相关
9、函数傅氏变换的推演,-,+,-T,+T,自功率谱密度函数,显然，在-T到T的时间范围内 x(t)满足绝对可积条件，X(f,T)存在，因此，上式结果存在定义，为自功率谱密度函数，即为自相关的傅氏变换相应的，其逆变换为：,为什么叫自功率谱密度函数呢？,引理：Parseval定理。,自谱密度函数的性质,负频率又代表什么意义呢?,Sxx(f)为单边谱Gxx(f)为双边谱,例如。,例1：有各态历经随机过程其中是取值在02范围的等概率密度的随机变量，求自谱。由前面自相关函数的求解方法得：,例如。,例2：如图的自功率谱函数，求其自相关函数。,例如。,例3：如图的自功率谱函数，求其自相关函数,若f2趋于无穷大
10、，则为一个白噪声随机过程：,典型信号的自谱,正弦：为一函数窄带：功率谱具有尖峰宽带：功率谱较宽白噪声：某一平稳随机过程包含有0的所有频率成分，且每个频率所具有的平均功率大小相等，即功率谱为平行于横轴的直线，这样的平稳随机过程称为白噪声,自谱带宽与时间信号衰减的关系？,自相关函数衰减越快，则自功率谱带宽越宽相反，自功率谱带宽越宽，自相关函数衰减越快,互功率谱密度函数,类似于自功率谱的定义，定义互相关的傅氏变换为互功率谱密度函数，相应地，互功率谱密度函数的傅氏逆变换为互相关函数,互功率谱密度函数等于什么呢,互功率谱密度函数有什么性质呢？,例如,例：有一白噪声各态历经随机过程X，其自谱密度为S0，另
11、有一白噪声各态历经随机过程Y，其自谱密度也为S0，此二过程的关系为X(t)=Y(t+T)，试求Rxy()、Ryx()、Sxy(f)、Syx(f),功率谱的两种表示形式,等频带等差关系等差数列倍频带等比关系等比数列1/3倍频带1/12倍频带,功率谱的应用,汽车的平顺性：是汽车的重要性能之一，影响疲劳、货物损坏、零部件使用寿命画一个轿车和驾驶员的图 人体振动反应对频率敏感；垂直振动敏感区域48HZ,水平是2HZ以下；时间越长人体能够不疲劳地承受的加速度均方根值就越小,功率谱的应用,功率谱的应用,汽车噪声问题,线性系统在随机激励下的响应,线性系统在平稳随机过程下的响应,线性系统在平稳随机过程下的响应
12、也为平稳随机过程因此，响应也需要用数学期望（均值）、均方值、相关函数、谱密度必须研究随机响应统计特征与随机激励统计特征和系统动态特性之间的关系,系统的输出与输入之间的关系,双输入单输出系统响应的平均值,m输入n输出响应的均值,双输入单输出系统响应的自相关,m输入n输出响应的相关函数,双输入单输出系统响应的自谱,m输入n输出响应的谱密度,特别地。,响应的均方值,双输入单输出系统激励与响应之间的互相关,m输入n输出激励系统与响应之间的互相关函数,双输入单输出激励与响应的互谱密度函数,m输入n输出激励与响应的互谱密度函数,回顾频率响应函数,频率响应函数是非常重要的，它反映了系统的固有动态特性，也是决
13、定系统在特定输出下产生响应大小的重要因素频率响应函数可以通过列写系统的运动微分方程的形式进行解析求解，但通常一个复杂系统其频率响应函数的上述解析求解是十分复杂困难的能否通过实验方法来获取系统的频率响应函数呢？-前述的输入输出之间的谱密度关系则提供了一个有效途径，即通过测量输入输出之间的互谱、输入自谱或输出自谱，则可以求解出系统的频率响应函数但测量总是存在测量误差的，误差决定了测量得到的频率响应函数是否准确、可靠、有用，那用什么来进行判断呢？相干函数是判断测量得到频率响应函数是否准确的一个重要指标！,单输入单输出的相干函数-常相干函数,单输入单输出的相干函数-常相干函数,常相干函数的性质及物理意义,常相干函数的性质及物理意义,相干系数什么情况下小于1呢？,测量过程中有噪声混入，即进行了有噪声的测量，一般而言，信噪比越差，相干越小系统是非线性系统，本课程介绍的相干系数是基于线性系统而言的，一旦系统是非线性，则上述假设不成立，则相干系数必不可能为1，只能小于1系统中除了该输入外还存在其他输入，则相关系统也小于1,更一般的情况 测量时输入端输出端均有噪声,相干函数与频率响应函数估计精度之间的关系,多输入单输出的相干函数-多重相干函数,多输入单输出的相干函数-多重相干函数,总结,相关系数相关函数功率谱密度系统在随机激励下的响应相干系数,
