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1、一、本章要点,1定积分的定义与性质2积分上限的函数及其导数3微积分基本公式4定积分的积分方法5反常积分,1定积分的定义与性质,设 是区间 上的有界函数，若极限,存在，且与分法、取法无关，则称此极限为函数 在区,间 上的定积分，记为,主要积分性质：,若，则,积分中值定理 若 在 上连续，则,，使得,2积分上限的函数及其导数,设 在 上可积，对于，函数,称为 的积分上限的函数,定理1 若 在 上可积，则 在 上,连续,定理2 若 在 上连续，则 在 上,可导且导函数连续，其导数,更一般地，有,3微积分基本公式,设函数 在 上连续，是 在区间,上的一个原函数，则,4定积分的积分方法,1)换元积分法,
2、设函数 在 上连续，函数 的导函数,连续，且，其值域，则,2)分部积分法,常用的几个积分公式,(1)若 在 上连续，则,(2)若 在 上连续，则,(3)若 在 上连续，且是周期为 的周期函,数，则,并注意到右边的积分与 无关,(4),三、例题选讲,例1 求极限,解 令，,再设，则,例2 求极限,解 原式为 型的极限，由洛必达法则，得,例3 设 为连续函数，令,讨论函数 在 处的连续性和可导性.,解 因，故,即 在 处连续,又,即 在 处可导，且,例4 设 在 上连续，且 证明,方程,在 内有且只有一个根,证 令，,则 在 上连续，且,因 连续，由 得 在区间上不变号，所以,，从而方程有解又,故
3、 不变号，从而 单调，因此解是唯一的,证 令,例5 设 在 上连续，在 内可导，且,，证明：,则 而,因，故当 时，若令,则当 时，故当 时,从而，即有,解 先求驻点，因,例6 求函数 的极值点,令，得,在 处，由；在 处，由,；在 处，由,因此 是极大值点，是极小值点,证 本题即证,例7 设函数 在 上可导，且满足,证明：必存在点，使得,为此构造辅助函数,利用积分中值定理，得,其中 故,在区间 上使用罗尔定理，即得所需要的结论,两式相减，得,例8 设 在 上连续，,证 因,证明：,所以,从而有,例9 设函数 在 上连续，单调增加，且,证明函数,在 是单调增加的(其中),证 显然当 时，为连续
4、函数，又,故 是 上的连续函数，有,因为 是单调增加的，故当 时，,即得，因此结论成立,的极小值点,证明：有唯一的驻点，且该驻点是它,例10 设 在 上连续，且,证 由条件知函数 可导，且,令 得，故 有唯一驻点,又当 时，当 时 故,是 的极小值点,柯西-施瓦茨不等式,闵可夫斯基不等式,例11 设 在 上可积，证明,故判别式非正，即有,证 对于任意实数，有,即得关于 的二次不等式,由柯西-施瓦茨不等式,不等式两边同时开方，即得到所需的不等式,例12 求下列定积分,；,；,解,由于积分区间对称，利用换元法得,因,所以,例13 求下列定积分,解,；,即得,作换元，则,例14 求积分,解 作换元，则,例15 设，求,解,例16 求下列反常积分,(1);(2);,(3);(4),解(1),(2)作换元，则,(3),(4)作换元，则,三、练 习,1求极限,(1);,(2)；,(3),3求极限,(1)；(2)，,其中 为连续函数,求 的表达式,2设，,4设，其中 在,上连续，求,5设 在 上连续，且，证明方程,在 只有一根,6计算下列定积分,(1);(2);,(3);(4)；,(5)；(6),
