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1、多刚体系统动力学是60年代在经典力学基础上发展起来的力学新分支。它是航空航天器、机器人、车辆、兵器与机构等复杂机械系统的力学模型。研究多刚体系统动力学主要基础工作是刚体动力学。通常所说的刚体动力学，其主要内容是研究刚体绕定点的运动。刚体绕定点运动是从十八世纪开始研究的。由于航海事业的发展，首先提出了关于船舶摇摆运动规律的问题。陀螺仪作为控制系统中的量测元件或执行元件已广泛用于航空、航海与航天技术中。此外，刚体动力学领域还重点研究了含有陀螺效应的各种系统的共同特性，从而形成了陀螺耦合系统动力学和转子动力学。,机械学院,机械学院,刚 体 动 力 学,自从1957年人类首次发射人造地球卫星以来，航天
2、技术(卫星、飞船、空间站等)发展得十分迅速，因而形成了一门新的新兴学科，它主要包括轨道力学及姿态动力学。其研究对象从刚体动力学模型过渡到变形体或混合系统的力学模型。刚体动力学的范畴的实例包括机器人、航天器、跳高运动员、体操及跳水运动员的空翻动作模拟及宇航员在太空的动作规范等，因此，通常将以上研究对象简化成若干刚体铰接而成的树状结构。形成了多体系统动力学问题。目前，研究多刚体系统动力学的各种方法很多，研究的课题多在带有挠性部件的多体系统上。并且进展很快。,机械学院,机械学院,刚 体 动 力 学,玩具陀螺,刚体的定点运动,第1章 刚体运动学,机械学院,刚 体 动 力 学,行星锥齿轮,机械学院,刚
3、体 动 力 学,玩具陀螺,陀螺仪,机械学院,刚 体 动 力 学,玩具陀螺,科学家称之为陀螺的“定轴性”。飞机上的方向仪就叫“陀螺罗盘”。鱼雷上的“陀螺自动操纵舵”。军舰艇上的航海陀螺罗盘 火箭上的陀螺导航仪 现在的各种导弹中的控制系统或自动驾驶仪，也是采用了类似的陀螺仪来使导弹保持“平衡”状态。为了克服摩擦：在真空中悬浮的陀螺、液体中悬浮的流体陀螺、振动陀螺、原子陀螺、激光陀螺、液浮陀螺、静电陀螺、动压陀螺及定向精度高的动力调谐陀螺仪等 陀螺理论也在飞速发展。,机械学院,刚 体 动 力 学,1.1 刚体定点运动的运动方程,研究刚体定点运动首先要确定刚体在空间的位置。建立静坐标系Oxyz和随体坐
4、标系Oxyz。随体坐标系的任一根轴(轴Oz)相对Oxyz的位置，可由三个方向角1、2、3确定，此三个角不是独立的,图1-2 图1-3,再确定随体坐标系相对定坐标系绕Oz轴的转角4，则随体参考系相对固定参考系的位置将唯一地确定。,机械学院,刚 体 动 力 学,确定随体坐标系的位置需要三个独立的参数，或三个广义坐标，给出任意瞬时的随体坐标系Oxyz和定坐标系Oxyz。Oxyz系的Oxy平面与Oxyz系的Oxy平面的交线ON称为节线。刚体的位置可由图示的、和三个角唯一地确定：,图1-4,进动角xON，章动角zOz，自转角NOx。、和统称为欧拉角。,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动
5、力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,这个连续转动的特点是，任一角度的大小变化均不影响其它二个角度之值，是彼此独立的三个角度；若在下列范围内改变、和角的数值，可得到刚体可能具有的任意位置：,刚体作定点运动时，欧拉角、和是时间的单值连续函数，可分别表示为,这就是定点运动刚体的运动方程。,机械学院,刚 体 动 力 学,定点运动刚体从某一位置移动到另一位置的位置变化称为有限位移。,欧拉角(、)是顺序分别转过、角有限位移到达。这三个有限位移的顺序是不能改变的。定点运动刚体有限位移的这一特性称为定点运动刚体有限位移顺序的不可交换性。,机械学院,刚 体 动 力 学,1.2 刚体定点运动的有限位移与无限小位
6、移,1刚体定点运动的有限位移,机械学院,刚 体 动 力 学,定量分析，随体坐标系Oz轴转过角后，此时，刚体上任意一点M在固定参考系Oxyz中的坐标为,写为矩阵形式,令,称为方向余弦矩阵。,机械学院,刚 体 动 力 学,同理，绕轴ON(或Ox1)转过角(图17b)，随体参考系到达Ox2y2z2所示位置，刚体上任意一点M在两个参考系中的坐标有下列关系：,令,机械学院,刚 体 动 力 学,同理，若刚体继续绕轴Oz2转过角至Ox3y3z3所示位置，则刚体上M点在Ox2y2z2与Ox3y3z3两个参考系中的坐标有下列关系：,令,机械学院,刚 体 动 力 学,此时，随体参考系变化到了Ox3y3z3位置，刚
7、体上任意一点M在固定参考系Oxyz中的坐标为,令,上式可写为,机械学院,刚 体 动 力 学,如果已知刚体的连体坐标系相对定参考系的欧拉角，则可以计算出刚体的连体坐标系相对定参考系的方向余弦矩阵；反过来，如果已知刚体的连体坐标系相对定参考系的方向余弦矩阵，那么反解矩阵方程，则可得到确定其欧拉角的几个表达式，即,其中，cij表示方向余弦矩阵C(,)中的第i行的第j列元素（i，j=1，2，3）注意求得的欧拉角将是多组解，但各组解的刚体位置是相同的，因此，只选择其中的一组解。,机械学院,刚 体 动 力 学,例1-1 设有一OAB由图(a)所示的位置绕点O运动至图(b)所示的位置，图中固定坐标系为Oxy
8、z和随体坐标系为Oxyz。求OAB运动至图(b)所示的位置时，其连体坐标系相对固定坐标系的欧拉角。,机械学院,刚 体 动 力 学,解：由图(b)所示的几何关系可以看出，其连体坐标系相对固定坐标系的方向余弦矩阵为,由式中的第一、二式，得到,章动角为,机械学院,刚 体 动 力 学,进动角为=,自转角为,欧拉角为,机械学院,刚 体 动 力 学,2。刚体定点运动的位移定理(达朗贝尔欧拉定理)随体坐标系由最初位置至任一位置，可依次转过三个欧拉角达到，下面将证明上述有限位移可通过一次转动而实现。位移定理：定点运动的刚体，从某一位置到达另一位置的任何位移，可以绕着通过其定点的某一轴作一次有限转动而实现。,大
9、圆弧AB通过定点O的OC*轴经过一次转动角，即可到达A B的位置。,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,例1-2 如图(a)所示为一长方体，初始时其棱边OA，OE，OC分别与Ox，Oy，Oz三轴重合。令此长方体先绕Oz(OC)转过900（）到达图(b)所示位置；再绕Oy(OA)转过900（）到达图(c)所示位置；,机械学院,刚 体 动 力 学,(a)(b)(c),最后绕轴Ox(OC)转过900（）到达图(d)所示位置。显然，长方体通过三次转动所到达的最终位置也可由绕Ol轴一次转过1800而达到，如图(e)所示（其方向矢量l=i+k）。,机械学院,刚 体 动 力 学,(d
10、)(e),事实上，除定点以外刚体上存在一点，在三次坐标变换(转动)后位置不变。,当=900时，C(,)为,代入上式可得,确定的直线方程为(x=z，y=0),机械学院,刚 体 动 力 学,当刚体从某一位置作微小位移，中到达新的位置时，可以认为,变换矩阵可写为,略去矩阵中的二阶微量为,机械学院,刚 体 动 力 学,3、刚体定点运动的无限小位移,相应地，矩阵C()，C()，C()可分别表示为,由此可知，无论按怎样的顺序进行矩阵C()，C()，C()的乘法运算，其乘积在略去二阶微量后均相等。这表明，无论按什么顺序，绕Oz，ON，Oz三轴分别转过微小角度，刚体都将达到同一位置。这一位置同样可以绕过O点某
11、一轴转动一微小角度达到。,机械学院,刚 体 动 力 学,=1+2=2+1,无限小角位移合成定理：刚体绕相交轴的两个无限小转动可以合成一个无限小转动；合成转动的角位移矢等于两个分转动角位移矢的矢量和，与转动的先后次序无关。,机械学院,刚 体 动 力 学,M点到达M点，M点的矢径为,M点到达M点，其矢径为 r=r+r2=r+(2r)=r+1r+2(r+1r)=r+(1+2)r+2(1r)略去二阶微量，则有r=r+(1+2)r(A),根据欧拉定理，由M点到达M点可以通过一次转动无限小角位移来实现，即有r=r+r(B)比较式(A)、式(B)，得=1+2,机械学院,刚 体 动 力 学,同理可得=1+2=
12、2+1(F)故无限小转动的合成，遵守加法的交换律。由此可知，无限小位移 是矢量。,设M为刚体上某一点，其矢径为r，当刚体绕轴OA转过时，M的微小位移r可近似地表示为,同时，M点绕Oz，ON，Oz三轴分别转过微小转角，达到同一位置，因此M点的位移为r，则有,由此得到,机械学院,刚 体 动 力 学,1.3 定点运动刚体的角速度及角加速度,刚体的定点运动可以看成按时间顺序，绕通过定点O的一系列瞬轴的瞬时转动。,刚体在瞬时t 绕瞬轴转动的角速度为,方向沿瞬轴OC，指向按右手规则确定。,根据无限小角位移合成定理,即,机械学院,刚 体 动 力 学,向静坐标系各轴投影的矢量形式为,瞬时角速度公式向静坐标系O
13、xyz投影与欧拉角速度的关系为,机械学院,刚 体 动 力 学,定点运动刚体的瞬时角速度公式。,瞬时角速度公式向随体坐标系Oxyz中的投影与欧拉角速度的关系式为,称为欧拉运动学方程,机械学院,刚 体 动 力 学,卡尔丹角：设随体坐标系为Oxyz，刚体绕x轴转角，再绕y1轴转角，最后绕新z轴转角达到所示位置。则、角即称为卡尔丹角。实际上，这三个角在陀螺仪中有明确的物理意义。即为外仪表壳体的转角，简称外环转角；为内环相对外环的转角，简称内环转角；为陀螺转子相对内环的转角，简称转子的自转角。,机械学院,刚 体 动 力 学,卡尔丹角的方向余弦矩阵,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力
14、学,工程上往往只关心z轴(陀螺轴)的运动，取随体坐标系Oxyz与内环相固结，称为陀螺坐标系，令=0，即得陀螺坐标系的方向余弦矩阵C(,)。,卡尔丹角中角速度的矢量式,向随体坐标系Oxyz投影得运动学方程式,同样，可将上式对求解，得到相对卡尔丹角的微分方程式,机械学院,刚 体 动 力 学,在船舶、飞机、火箭及卫星等飞行器中，主要是研究它们的姿态运动，即：它们在参考空间中的方位。并且是通过随体坐标系和定坐标系之间的夹角表示。两个坐标系的原点均取在载体的质心上。,定参考坐标系称为地理坐标系或东北天坐标系。与载体相固结的坐标系称为载体坐标系，,机械学院,刚 体 动 力 学,姿态角：,载体坐标系与定坐标
15、系关系为：将纵轴yC向坐标平面(水平面)上投影得m轴，则纵轴yC与m轴的夹角 称为俯仰角，m轴与N轴的夹角 称为航向角，横轴xC与n轴的夹角 称为倾斜角。角、完全确定了载体的姿态，因而称为载体的姿态角。,机械学院,刚 体 动 力 学,图1-17,2、定点运动刚体的角加速度,机械学院,刚 体 动 力 学,在定点运动中，角加速度矢与角速度矢不共线；在定轴运动中，和则共线，同在转轴上。,角加速度也是一个矢量，其方向沿角速度矢量的矢端曲线的切线方向,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,在任一瞬时，刚体的定点运动既然可以看作是绕瞬轴的转动，就可以应用速度、加速度矢量式求此瞬时定点
16、运动刚体内任一点的速度和加速度。,1.4 定点运动刚体内各点的速度和加速度,1.4.1 矢径法,点M的速度为,点M的加速度为,机械学院,刚 体 动 力 学,刚体定点运动时，刚体内任一点的速度等于绕瞬轴转动的角速度与矢径的矢量积，该点的加速度等于绕瞬轴的向轴加速度与绕角加速度矢的转动加速度的矢量和。,结论：,点M的速度为,点M的加速度为,注意到瞬轴上任一点的瞬时速度为零，矢径r和角速度矢必在同一直线上，因此，r和在直角坐标系Oxyz上的投影互成比例。,1.4.2 直角坐标法,1.瞬轴位置的确定,机械学院,刚 体 动 力 学,解析法：先求出瞬轴的位置，再写出速度和加速度在直角坐标系中的投影表达式。
17、,静坐标系中的瞬时转动轴方程,连体坐标系中的瞬时转动轴方程,机械学院,刚 体 动 力 学,2.速度投影的解析式,点M在静坐标系的矢径r为 r=xi+yj+zk,其中，M点的速度在静坐标轴上的投影为,M点的速度为,M点的速度矢量表达式为,机械学院,刚 体 动 力 学,注意：M点相对于静坐标系Oxyz是运动的，所以，M点的坐标x、y、z为时间t的函数。而M点相对于固结在刚体上的随体坐标系Oxyz是固定不动的，所以，M点的坐标x、y、z为定值。,随体坐标系中的矢径r为 r=xi+yj+zk,同理，速度v在连体坐标系Oxyz上的投影为,3.加速度投影的解析式,r=xi+yj+zk,机械学院,刚 体 动
18、 力 学,M点的速度矢量表达式为,其中,M点在静坐标系中的加速度投影解析式。,机械学院,刚 体 动 力 学,1.4.3 几何法,根据几何关系，判断刚体上除定点O以外速度为零的点C，OC连线即瞬轴。在确定瞬轴的位置后，直接求解各点的速度、加速度的大小和方向。,注意到瞬轴上任一点的瞬时速度为零，则角速度矢必与瞬时轴重合。一般来说，绝对角速度a的作用线就是刚体运动的瞬时轴。,只要找到绝对速度等于零的C点，直线OC是刚体运动到图示位置的瞬轴。,机械学院,刚 体 动 力 学,1.角速度合成定理,根据点的速度合成定理，有,代入整理得,角速度合成定理：刚体的绝对角速度等于牵连角速度和相对角速度的矢量和。,机
19、械学院,刚 体 动 力 学,这是一种特殊的定点运动。OC为瞬时轴。因为O点的速度为零，vee h22OAC面积，vrr h22OBC面积，OABC是平行四边形，OAC面积OBC面积，所以C点的绝对速度为零。,一般来说，绝对角速度a的作用线就是刚体运动的瞬时轴。,在刚体上取一点M，O点到M点的矢径为r，在刚体绕瞬轴的绝对转动中，M点的绝对速度为,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,2.角加速度合成定理,根据角速度合成定理，有 a=e+r将式求导数，得,即,得到,由泊松公式,角加速度合
20、成定理：刚体的绝对角加速度等于牵连角加速度加相对角加速度再加上牵连角速度与相对角速度的叉积。,注：同一刚体对不同参考系的角加速度之间的关系。,机械学院,刚 体 动 力 学,例1-3 在图中，锥齿轮、的顶角各为60及30，齿轮固定，齿轮在齿轮上滚动，齿轮一方面绕其中心轴OB转动，同时，OB轴又绕固定轴OA转动，已知OB轴绕OA轴转动的角速度为1，如图所示。求齿轮绕OB轴转动的角速度2及绝对角速度。,机械学院,刚 体 动 力 学,解：瞬时轴应为OD轴，如图所示。,12，,由此可得,根据正弦定律：,机械学院,刚 体 动 力 学,例1-4 如图所示，一底面半径为R，半顶角为的圆锥体在水平面上作纯滚动。
21、已知中轴线OO绕铅直轴Oz转动的角速度为，求圆锥体底面圆周上任一点B的速度及加速度。,解：1.求点B的速度。,e=,圆锥体在水平地平面上作纯滚动,由角速度图所示的几何关系,机械学院,刚 体 动 力 学,点B的绝对速度,矩阵形式为,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,2 求点B的加速度,由角加速度合成定理,求点B的加速度矢量式为,由于,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,例1-5 刚体作定点运动的角速度在静坐标系上的投影为在瞬时t1s时，刚体内点M的坐标为x=0、y=0.2m、z=0.3m。试求点M在此瞬时的速度和加速度。,解：用直角坐标法求解，在
22、瞬时t=1s时,速度的投影公式,机械学院,刚 体 动 力 学,M点的速度的大小为,得,x=0y=0.2mz=0.3m,机械学院,刚 体 动 力 学,x=0 y=0.2m z=0.3m,由公式求M点的加速度为,其中,t=1s 时,机械学院,刚 体 动 力 学,代入公式得,M点的加速度的大小和方向余弦为,机械学院,刚 体 动 力 学,例1-6 行星锥齿轮轴OA以匀角速度1绕铅直轴OB转动，带动行星锥齿轮A在圆锥支座B上纯滚动，如图示。已知：OAl，OBr，OAOB，求齿轮A上点M的速度和加速度。,机械学院,刚 体 动 力 学,OC为图示瞬时的瞬时转动轴，,解：此机构的几何关系直观明确，可采用两种方
23、法求解。（1）用矢径法求解,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,（2）用几何法求解 OC连线为瞬时转动轴。齿轮绕瞬轴转动的角速度为,常量,转动加速度,机械学院,刚 体 动 力 学,矢径法、几何法求得的结果是一致,a=a1+a2,向轴加速度,M点的加速度,机械学院,刚 体 动 力 学,1.5 刚体的一般运动,机械学院,刚 体 动 力 学,1.5.1 刚体一般运动的运动方程,建立静坐标系Oxyz。以O 为基点，建立平移动坐标系Oxyz建立连体坐标系O,这就是刚体一般运动的运动方程,刚体的一般运动是两种运动的合成。1、平行移动。2、刚体的定点运动。,机械学院,刚 体 动 力
24、学,1.5.2 一般运动的刚体内任一点的速度,由点的速度合成定理,作一般运动的刚体内任一点的速度，等于基点的速度与该点随刚体绕基点转动的速度的矢量和。,机械学院,刚 体 动 力 学,1.5.3 牵连运动为平移时刚体内任一点的加速度,牵连运动为平移时的加速度合成定理,牵连运动为平移时，刚体内任一点的加速度，等于基点的加速度与绕基点作定点转动的加速度的矢量和,机械学院,刚 体 动 力 学,1.5.4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理,静坐标系为Oxyz，动坐标系为Oxyz并作一般运动(转动)。动点M在动坐标系中的运动方程为,M点的相对速度和相对加速度,机械学院,刚 体 动 力 学,点的速度合成定
25、理,M点的加速度为,机械学院,刚 体 动 力 学,当牵连运动为一般运动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度和科氏加速度的矢量和。,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,第2章 刚体动力学,在动力学普遍定理和达朗贝尔原理中，分别论述了刚体平移、定轴转动和平面运动的动力学问题。本章将论述定点转动和一般运动刚体的动力学问题。运动学的结论：刚体的一般运动可以分解为随同质心的平移和相对质心的转动。本章的重点：1、刚体绕定点转动运动微分方程 2、绕质心转动
26、运动微分方程,机械学院,刚 体 动 力 学,刚体动力学是研究刚体的运动和作用在刚体上的力之间关系的。本章主要讲述刚体的定点运动和一般运动的动力学内容。在讲述这些内容时，需用到转动惯量这一概念。,2.1 转动惯量,转动惯量：刚体的转动惯量等于刚体内各质点的质量与其到转轴的垂直距离平方的乘积之和,机械学院,刚 体 动 力 学,2.1.3 转动惯量的转轴公式 惯性积及惯量矩阵,2.1.2 转动惯量的平行轴定理,转动惯量的平行轴定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与此两轴间距离平方的乘积。即,刚体对于OL轴的转动惯量,机械学院,刚 体 动 力
27、 学,在三角形OMiPi中,其中,线段OPi是矢径在OL轴上的投影,这就是转动惯量的转轴公式,令,机械学院,刚 体 动 力 学,写成矩阵形式：,机械学院,刚 体 动 力 学,称为刚体对直角坐标系的惯性矩阵，或称为刚体对点O的惯性矩阵。,称为转动惯量和惯性积的平行轴定理,机械学院,刚 体 动 力 学,取轴Cx、Cy、Cz分别与轴Ox、Oy、Oz的指向相同。则刚体在坐标系Cxyz和坐标系Oxyz的惯性矩阵间的关系为,2.1.4 刚体在不同坐标系下的惯性矩阵间的关系,（1）相对质心坐标系和非质心坐标系惯性矩阵间的关系,这就是刚体对两个共原点坐标系的惯性矩阵间的关系式，此式称为转轴公式,机械学院,刚
28、体 动 力 学,设坐标系Ox1y1z1和Ox2 y2 z2是某刚体的两套共原点连体坐标系。刚体相对这两套坐标系的惯性矩阵间的关系为,C12表示坐标系Ox2 y2 z2相对坐标系Ox1 y1 z1的方向余弦矩阵。,（2）刚体对两个共原点坐标系的惯性矩阵间的关系,机械学院,刚 体 动 力 学,设坐标系O1x1 y1 z1和O2x2 y2 z2是某刚体上的任意两个坐标系及以质心C为原点的坐标系Cxyz，且使轴O1x、O1y、O1z与轴O2x2、O2y2、O2z2和轴Cx、Cy、Cz指向相同,（3）刚体对任意两个坐标系的惯性矩阵间的关系,机械学院,刚 体 动 力 学,K点的轨迹方程,在L轴上取一点K，
29、令OK1/,K点的轨迹方程为,2.1.5 惯量椭球和惯量主轴,这是一个二次齐次方程。IL是恒大于零的有限值，K点不可能与原点O重合，也不可在无穷远处，所以是一个以O点为中心的椭球面。此椭球面称为刚体对于O点的惯量椭球。从惯量椭球可以看出刚体对通过O点的任意轴的转动惯量大小的变化规律。,机械学院,刚 体 动 力 学,由解析几何知道，任何椭球面都有三个互相垂直的对称轴。以这三个轴建立坐标系Ox1y1z1，刚体对于这三个轴的惯性积均等于零。此时，惯量椭球方程简化为,x1、y1、z1三个轴称为刚体在O点的惯量主轴。,刚体对于OL1轴的转动惯量为,刚体对于其质心的惯量椭球，称为中心惯量椭球；中心惯量椭球
30、的惯量主轴，称为中心惯量主轴。如果已知刚体对于中心惯量主轴的转动惯量，刚体对于任意轴的转动惯量就不难求出了。,机械学院,刚 体 动 力 学,情形一：如果刚体具有对称面，则其中心惯量主轴之一与对称面垂直（因而其它两轴必在对称平面内）。,情形二：如刚体有对称轴，则此对称轴就是中心惯量主轴。情形三：在某点O的一个惯量主轴，如果通过刚体的质心，则此轴是刚体的中心惯量主轴。,三种情形的中心惯性主轴的位置,2.2 刚体的定点运动微分方程,机械学院,刚 体 动 力 学,刚体绕固定点O运动。在任意瞬时，它的角速度为。根据动量矩的定义，该刚体对O点的动量矩,二重矢积的性质,2.2.1 定点运动刚体的动量矩,机械
31、学院,刚 体 动 力 学,建立一个随体动坐标系Oxyz，Ox、Oy、Oz轴上的单位矢量用：e1、e2、e3表示，则,代入化简得,机械学院,刚 体 动 力 学,转动惯量,惯性积,写成矢量形式为,机械学院,刚 体 动 力 学,写成矩阵的形式为,式中,机械学院,刚 体 动 力 学,式中,刚体的惯性矩阵,机械学院,刚 体 动 力 学,2.2.2 定点运动刚体的动力学方程,设刚体绕定点O运动，连体坐标系为Oxyz，设各坐标轴均为惯性主轴，且Oz为中心惯性主轴，则刚体绕定点O动量矩为,根据动量矩定理,或,机械学院,刚 体 动 力 学,动量矩LO对时间的绝对导数 与其在连体坐标系中对时间的相对导数 之间的关
32、系为,代入动量矩定理,机械学院,刚 体 动 力 学,写成矩阵形式或方程组的形式为,写成矩阵形式或方程组的形式为,即,或,刚体定点运动的动力学方程,欧拉动力学方程,机械学院,刚 体 动 力 学,由此可知：（1）只有在选取刚体的三根惯性主轴为它的连体坐标系时，欧拉动力学方程才具有简单的形式；（2）力矩Mx、My和Mz是欧拉角、和角速度x、y 和z 的函数。运动学补充方程由欧拉运动学方程表示,欧拉动力学方程和欧拉运动学方程组成一个非线性方程组。,机械学院,刚 体 动 力 学,例：质量为m、长为l的均质细杆以柱铰链O与铅垂轴相连，已知铅垂轴以匀角速度转动，列出细杆的运动微分方程。,解：取细杆为研究对象
33、，建立连体坐标系Oxyz，细杆对轴Ox、Oy和Oz的转动惯量分别为,机械学院,刚 体 动 力 学,细杆的绝对角速度为,分别沿轴Ox、Oy和Oz投影得,Mx和My分别表示柱铰链O的约束力偶沿轴Ox和Oy方向的正交分量,机械学院,刚 体 动 力 学,代入欧拉动力学方程,整理得,式(c)为杆的运动微分方程。若知初始条件(0)和(0)，可对(c)式进行数值积分，求得运动规律=(t)，代入式(a)后可求得Mx=Mx(t)。,（a）,（b）,（c）,机械学院,刚 体 动 力 学,2.3 陀螺近似理论,具有对称轴、并绕对称轴上一固定点高速均匀转动的刚体称为陀螺。陀螺是定点运动的一种特殊刚体。,2.3.1 陀
34、螺近似理论的基本假设,Oz轴称为自转轴，称为自转角速度。自转轴Oz绕Oz轴转动，进动角速度用表示。陀螺的绝对角速度a为a+,机械学院,刚 体 动 力 学,沿连体坐标系Oxyz分解,a+,陀螺的动量矩为,陀螺以很大的角速度绕自转轴转动，它的进动角速度很小,即，因此，a,陀螺的转动惯量Ix、Iy 一般不会明显地大于Iz。,机械学院,刚 体 动 力 学,陀螺近似理论的两个基本假设：,（2），且Ix、Iy并不明显大于Iz时，可以略去进动对陀螺的动量矩的影响，认为陀螺的动量矩等于其转动惯量Iz 与自转角速度的乘积，即,（1）自转角速度远远大于进动角速度，即时，a,机械学院,刚 体 动 力 学,2.3.2
35、 近似理论的基本方程,刚体的动量矩矢的大小和方向也是随时间变化的。,由动量矩定理,由运动学，是动量矩矢LO端点A运动的速度u 表示。如图所示。所以,赖柴尔定理：质点系对某一固定点的动量矩矢，其端点在惯性空间运动的速度等于作用在此质点系上所有外力对同一点的主矩。,机械学院,刚 体 动 力 学,依据陀螺近似理论的两个基本假设，将赖柴尔定理应用于陀螺运动中，可获得陀螺近似理论的基本方程。即,它表明，陀螺进动角速度与其动量矩Iz 矢积等于作用于其上所有主动力对固定点O的主矩MO，称为陀螺近似理论的基本方程。,机械学院,刚 体 动 力 学,MR称为陀螺力矩。它所产生的效应称为陀螺效应。具有高速旋转部件的
36、装置中，陀螺力矩和陀螺效应具有重要意义。只要自转轴被迫在空间改变方向，就会产生陀螺效应。,陀螺的反作用力矩称为陀螺力矩，用MR表示,机械学院,刚 体 动 力 学,例：喷气发动机转子的质量m=90kg，对自转轴z的回转半径=0.23m，转速n=12000r/min。转轴沿飞机的纵轴安装，轴承A、B间的的矩离l=1.2m，设飞机速度v=720km/h，在水平面沿半径r=1200m的圆弧进行左盘旋，试求这时发动机转子的陀螺力矩以及轴承A、B上由陀螺力矩引起的动压力。,机械学院,刚 体 动 力 学,陀螺力矩为,解：转子的自转角速度为,飞机盘旋的角速度为,飞机速度为,机械学院,刚 体 动 力 学,方向如
37、图所示。力偶(FA、FB)会影响飞机的运动，迫使它头部仰起。为了保持水平盘旋，驾驶员必须作相应操纵，以便在机翼上产生附加空气动力平衡这个力偶。,它的大小为,陀螺力矩MR在轴承A、B上引起的动压力为,机械学院,刚 体 动 力 学,2.3.3 陀螺的基本特性,机械学院,刚 体 动 力 学,1 定轴性,如图所示，陀螺在重力场中绕自转轴Cz高速转动。外力（重力、支点约束力)都作用在质心C上，对固定点C的主矩MC0，称为无外力矩陀螺。即,机械学院,刚 体 动 力 学,两个问题：（1）动量矩是守恒，即 LC I z 常矢量 这种运动称为永久转动；（2）0，这表明，这种陀螺不仅绕其自转轴永久转动，而且其自转
38、轴在惯性空间中的方位是始终不动的。这就是陀螺的定轴性。,机械学院,刚 体 动 力 学,2 进动性,动量矩矢LO端点A的速度u为,陀螺绕Oz轴以匀角速度高速旋转，转动惯量为Iz，OC=b，夹角为。连体坐标系Oxyz，根据基本假设，此陀螺对O点的动量矩为,重力mg对O点之矩为,机械学院,刚 体 动 力 学,根据赖柴尔定理，即,得,陀螺自转轴的这种运动称为进动。,结论：（1）对重力陀螺来说，自转轴一旦偏离铅直位置，就会出现进动现象。（2）当质心C落在定点O上，即b0时，陀螺不出现进动现象，呈现定轴现象；（3）自转角速度越大，它的进动角速度越小。,或,机械学院,刚 体 动 力 学,无外力矩陀螺受到冲击
39、后，自转轴在其定轴的位置附近作椭圆锥运动，这种运动称为陀螺的章动。对于重力陀螺来说，其自转轴的运动则是进动与章动的合成运动。自转角速度越高，章动频率越高，章动的振幅也越小。在近似计算中，章动是可以忽略不计的。,3 章动性,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,例:陀螺绕固定点O转动，m0.5kg，回转半径z0.04m，xy0.06m，OCb0.1m，进动的角速度0.5rad/s，若保持60，试求此陀螺的自转角速度应该多大。,Ix、Iy虽大于Iz，但大的不多，可用近似理论求解。,解：在连体坐标系中,机械学院,刚 体 动 力 学,陀螺的自转角速度明显大于进动角速度，转动惯量I
40、x、Iy不明显大于Iz，满足陀螺近似理论的基本假设，因此，算出的自转角速度是可信的。,陀螺自转角速度,自转角速度与进动角速度的比例,机械学院,刚 体 动 力 学,例:轮船上的汽轮发动机转子沿着船的纵轴安装，如图所示。质量m4000kg，回转半径0.4m，转速n3000 r/min，轴承A、B之间的距离l=1.6m。在直线航行中，受到海浪的影响，产生的纵摇运动规律为,试求汽轮机转子由此产生的陀螺力矩，以及轴承A、B受到的附加动压力。,机械学院,刚 体 动 力 学,解：以汽轮机转子为研究对象，选择坐标系 Oxyz。转子的自转角速度、船体纵摇的角速度分别为,符合基本假设，可用陀螺近似理论求解。,机械
41、学院,刚 体 动 力 学,陀螺力矩为,轴承A、B上的附加最大压力为,由此可见，轴承A、B受到的动压力是转子自重的2.5倍，周期性变化，容易激发船体的振动。,机械学院,刚 体 动 力 学,2.4 刚体的一般运动微分方程,刚体的一般运动可以分解为随同质心C的平移和相对质心C的转动，如图所示，将外力系向质心简化，主矢和主矩分别为,由质心运动定理,机械学院,刚 体 动 力 学,由质点系相对于对质心的动量矩定理，可导出刚体绕质心运动的动力学方程,此方程在式中的I、I和I分别是刚体对其中心惯性主轴的转动惯量。,机械学院,刚 体 动 力 学,刚体的一般运动微分方程为,欧拉运动学方程为,方程组是非线性方程组，
42、很难求出运动规律的解析解。,机械学院,刚 体 动 力 学,例：如图所示，质量为m的物体在重力场中自由飞行，它所受到的空气阻力的主矢和对质心C的主矩分别为R=k1vC和M=k2。式中，k1和k2分别为空气对物体的阻力系数和阻力矩系数。物体对轴C、C 和C 的转动惯量分别为I1、I2和I3，其中I1=I3。,机械学院,刚 体 动 力 学,试以xC、yC、zC、为广义坐标，建立物体的运动微分方程。,解：该物体的运动可看为刚体的一般运动。,Rx、Ry、Rz分别表示空气阻力的主矢R在轴Ox、Oy和Oz上的投影,(1),(2),R=k1vC,机械学院,刚 体 动 力 学,M、M、M分别表示空气阻力对质心C
43、的主矩M在轴C、C 和C 上的投影。,根据刚体角速度的欧拉角表达式，有,(3),(4),M=k2,机械学院,刚 体 动 力 学,代入上式,(5),将式(2)、式(4)、式(5)代入方程(1)，并考虑到I1=I3后，得,机械学院,刚 体 动 力 学,物体的运动微分方程为,如果已知物体运动的初始条件，通过数值方法求解以上方程，即可求得物体的运动规律,机械学院,刚 体 动 力 学,例:薄圆盘的半径r1.2m，质量m150kg，相对角速度2100 rad/s，绕AB轴转动。圆台角速度120rad/s，若b1.2 m，AB轴的质量略去不计，试求此盘所受的力矩。,解：薄圆盘绕两个轴的交点O1作定点运动，用
44、欧拉动力学方程求解，在连体坐标系Oxyz 中,机械学院,刚 体 动 力 学,薄圆盘的角速度,薄圆盘的加角速度,机械学院,刚 体 动 力 学,代入欧拉动力学方程,得,机械学院,刚 体 动 力 学,附加动反力是静反力的122倍，在工程设计中，这是不可忽视的因素.,附加动反力为,静约束力为,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,例:设有一球摆由均质球体A和均质细圆柱杆OB固结而成，O端为球铰链，球体质量为m1，半径为r，细杆质量为m2，长度为l。设球摆在某位置上，受到一碰撞而获得某一角速度。以欧拉角作为广义坐标。,建立球摆被碰撞后的运动微分方程。,取球摆为研究对象。建立固定坐标
45、系Oxyz和球摆的连体坐标系Oxyz，如图所示。,球摆对于轴Ox、Oy、Oz的转动惯量分别为,机械学院,刚 体 动 力 学,欧拉动力学方程,欧拉运动学方程,机械学院,刚 体 动 力 学,xC、yC、zC为球摆的重心（即质心）在坐标系Oxyz中的坐标,力对轴之矩的计算公式，有,机械学院,刚 体 动 力 学,根据方向余弦矩阵与欧拉角的关系式,代入上式得,机械学院,刚 体 动 力 学,代入上式得,代入,机械学院,刚 体 动 力 学,将以上各式代入欧拉动力学方程，运动微分方程为,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,如果已知球摆运动的初始条件，可通过数值方法求解方程组，进一步得到
46、球摆的运动规律。,第三个方程可积分为,机械学院,刚 体 动 力 学,第3章 多刚体系统动力学基础,3.1 多刚体系统的分类与研究内容,机械学院,刚 体 动 力 学,前面研究了单个刚体的动力学，本章则要研究由多个刚体构成的系统的动力学，简称为多刚体系统动力学,多刚体系统动力学主要研究两个方面的内容：如何建立多刚体系统的动力学方程。如何求解多刚体系统的动力学方程。本章主要讨论多刚体系统的数学模型的建立方法。,机械学院,刚 体 动 力 学,实际工程中所遇到的机械系统绝大多数都是由许多物体组成的，一般将各物体简化成为刚体，而各刚体之间用“铰”连接(圆柱铰、链球铰等)，因而得到“多刚体系统”简化模型,机
47、械学院,刚 体 动 力 学,多刚体系统从结构上可分为两大类：树状结构(开链型)与非树状结构(闭链型)如果多刚体系统中的任意两个刚体之间仅有一条通路存在，则称该多刚体系统为树形系统；如果多刚体系统中的某两个刚体之间存在一条以上的通路，则称该多刚体系统为非树形系统。,机械学院,刚 体 动 力 学,对于非树形系统来说，我们可以解除系统中的某些铰链的约束，然后用约束力来代替，这样原非树形系统就会等效地转化为树形系统来处理。,1、系统中有某个刚体(记为B)与一运动规律为已知的刚体（称为零刚体，记作为B0）相连，这类系统称为有根系统；2、系统中没有任何一个刚体同运动规律为已知的其他刚体相连，这类系统称为无
48、根系统。,多刚体系统通常还可分为两类：,机械学院,刚 体 动 力 学,基于以上的分类准则，多刚体系统分类为：,机械学院,刚 体 动 力 学,多刚体系统动力学的研究内容归纳为：(1)寻求建立多刚体系统运动微分方程的解析方法，这种方法是一种规格化的方法，能统一处理各类问题，且应节省列写方程过程的工作量、所得方程简练并便于上机计算。称为“计算机分析法”。(2)发展与各种分析方法配套的算法，以实现复杂非线性微分方程的数值积分。(3)根据数值积分结果提供易于分析的各种输出结果，如曲线，图象，动画等。(4)通过对具体系统进行分析，可解决力学问题、参数优化、最优控制规律等工程问题。目前，一些国家已研究发展了
49、若干求解多刚体系统动力学的通用程序。,机械学院,刚 体 动 力 学,在经典力学中，通常使用的牛顿运动定律及欧拉方程拉氏方程等，最为熟悉的方法称之为常规方法,3.2 建立多刚体系统数学模型的常规方法,1.曲柄滑块机构的运动微分方程式,转角为广义坐标，刚体B2质心C的位置可通过广义坐标 表示,机械学院,刚 体 动 力 学,将上式对时间求导得,机械学院,刚 体 动 力 学,系统的动能、势能及广义力,机械学院,刚 体 动 力 学,代入第二类拉氏方程,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,由此可见，使用拉氏方程建立运动微分方程式，即使对简单的系统，推导过程的计算量很大，并随着系统的
50、复杂程度而急剧增加。甚至在使用计算机符号推导来进行拉氏方程左侧的展开时，也要花费大量机时，所得结果也不易上机计算。新思路：将系统解除约束，将系统分割成若干单个的刚体及质点，用直角坐标直接写出它们的运动微分方程式；各铰链的约束力将出现在运动微分方程式之中，然后与约束方程(代数方程)联立求解。此方法方程数目不是最少，所得方程的数目虽多，但推导过程则大大简化；,机械学院,刚 体 动 力 学,将系统解除约束分解为两个刚体,刚体B1：,刚体B2：,机械学院,刚 体 动 力 学,约束方程为,共计七个方程，构成封闭方程组，可解七个未知量、x、y；X1、Y1、Y2。前四个是微分方程式，后三个是代数方程式。列写
