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1、中国科学技术大学研究生课程高等固体物理Advanced Solid State Physics,时间:星期二(3，4，5),星期五(3，4）地点:2221教室辅导教师：吴新星（)闫丽娟（)主讲教师：杨金龙、李震宇 http:/,预备知识:固体物理+(高等)量子力学高等固体物理：两个深化两个面向方法上:固体(多体)理论体系上：凝聚态物理面向学科发展前沿面向实际体系,讲课内容第一章 概论第二章 无序第三章 尺度第四章 维度第五章 关联（纳米碳管、扫描隧道显微学、玻色爱因斯坦凝聚）,参考书1.阎守胜,固体物理基础,北京大学出版社2.冯端,金国钧,凝聚态物理学新论,上海科学技术出版社3.美国物理学评述
2、委员会,90年代物理学-凝聚态物理学,科学出版社4.张礼,近代物理学进展,清华大学出版社5.P.W.Anderson,Basic notions of condensed matter physics,Benjamin-Cummings,Menlo Park(1984)6.P.M.Chaikin&T.C.Lubensky,Principles of condensed matter physics,Cambridge(1995).7.李正中，固体理论，高等教育出版社,学习成绩平时成绩（40）考试成绩（60）平时作业:1.习题（阎守胜,固体物理基础）2.Project 报告（基于阅读多篇文献后的
3、读书报告，必须附文献）提交方式：书面 或 电子（PDF or PS 格式）独立完成期末考试：闭卷,凝聚态物理从微观角度出发,研究相互作用多粒子系统组成的凝聚态物质(固体和液体)的结构和动力学过程,及其与宏观物理性质之间关系的一门科学.凝聚态物理的重要性(1)它为力学,流体力学,电子学,光学,冶金学及固态化学等经典科学提供了量子力学基础.(2)它为高技术的发展作出了巨大贡献.如它是晶体管,超导磁体,固态激光器,高灵敏辐射能量探测器等重大技术革新的源头.对通信,计算以及利用能量所需的技术起着直接的作用,对非核军事技术也产生了深刻的影响.,凝聚态物理各子领域与经济社会关系表,凝聚态物理已占整个物理学
4、的半壁江山,科学的前沿：Before 80年代：天体物理、粒子物理 After 80年代：凝聚态物理,Project 1 结合自己的专业列举和讨论某一子领域如何在经济社会各方面发挥作用的.,第一章 概论,1.1 范式 1.2 固体物理的范式1.3 量子化学的范式1.4 凝聚态物理的范式,凝聚态物理表面上不同于其他学科,内容显得多而杂,有必要站在科学发展的高度,审视其内在的规律.科学史学家 Thomas Kuhn 强调范式在学科发展过程中的作用,Thomas Kuhn(1922.7.18-1996.6.17)在Harvard 大学读理论物理研究生时写的一本书,1.1 范式1.什么叫范式?(Par
5、adigm)An example that serves as pattern or model.样式作为样本或模式的例子2.学科的范式 联贯的理论体系 一个学科的成熟以其范式的建立为标准 范式对学科从整体上把握有重要意义,3.学科发展的范式科学的演化是经过不同阶段循环发展的过程。前范式阶段(pre-paradigm)常规科学阶段(normal science)反常阶段(anomaly)危机阶段(crisis)科学革命阶段(scientific revolution)新范式阶段(new paradigm).科学发展过程中，范式的转换构成了科学革命。而一门成熟科学的发展历程是可以通过范式转换来描
6、述的。,1.2 固体物理的范式1.范式的建立 时间:20世纪上半叶 基础:(1).晶体学:晶体周期结构的确定 1669:晶面角守恒律(Steno)1784:有理指数定律和晶胞学说(Hauy)1848:空间点阵学说(Bravais)1889-1891:空间群理论(Federov 和 Schvenflies)1912:晶体X射线衍射实验(Laue)(2).固体比热的理论:初步的晶格动力学理论 1907:独立振子的量子理论(Einstein)1912:连续介质中的弹性波的量子理论(Debye)1912:周期结构中的弹性波(Born 和 von Karman),(3).金属导电的自由电子理论:Ferm
7、i 统计1897:电子的发现(Thomson)1900:金属电导和热传导的经典自由电子理论(Drude)1924:基于Fermi统计的自由电子理论(Pauli 和 Sommerfield)(4).铁磁性研究:自旋量子理论1894:测定铁磁-顺磁转变的临界温度(Curie)1907:铁磁性相变的分子场理论(Weiss)1928:基于局域电子自旋相互作用的铁磁性量子理论另外:电子衍射的动力学理论(Bethe)金属导电的能带理论(Bloch)基于能带理论的半导体物理(Wilson)标志:1940年 Seitz“固体的现代理论”,2.范式的内容 核心概念:周期结构中波的传播(1946年Brilloui
8、n著)晶体的平移对称性(周期性)波矢空间(倒空间)强调共有化的价电子以及波矢空间的色散关系波矢空间的基本单元:Brillouin区焦点:Brillouin区边界或区内某些特殊位置的能量-波矢 色散关系晶格动力学+固体能带理论,3.范式的定量表述 标量波(电子)波 矢量波(电磁波）张量波(晶格波）(1)标量波 在绝热近似，单电子近似下,电子在周期场中的运动(de Broglie波)方程:,Bloch定理,R:格位矢G:倒格矢,Ek,能带结构（能量色散关系）,Si 晶体的能带结构（半导体，间接能隙）,价带,导带,价带顶,导带底,固体能带结构的两种理解:(1).近自由电子图像+周期势场的微扰(2).
9、原子能级图像+晶体场展宽(紧束缚近似),Two atoms,Six atoms,Solid of N atoms,(2).矢量波,电磁波:Maxwell方程,应用:X射线衍射动力学,光子晶体(photonic crystal),周期性结构调制，波的运动产生色散，形成带结构，带隙之间的波禁止通过，称为禁带。电子的运动 光子的运动？光子晶体:在高折射率材料的某些位置周期性出现低折射率的材料.这种光的折射率指数的周期性变化产生了光带隙结构，控制着光在晶体中的运动。1987年提出概念:E.Yablonovitch(PRL 58,2059)S.John(PRL 58,2486)1990年理论预言第一个有
10、完整光子带隙的三维光子晶体(PRL 65,3152)1991年实验制备第一个有完整光子带隙的三维光子晶体(PRL 67,2295),光子晶体多为人工设计,自然界也有:蛋白石、蝴蝶翅膀,Opal,Butterfly,Traditional multi-layer film,三维光子晶体,二维光子晶体,光子晶体中电磁波的传播方程,Maxwell equationFinal equationBloch Equation,光子带隙,DielectricConstantGaAs:13GaAlAs:12Air:1,光子晶体和半导体特性的比较,f1,f3,面临问题:(1)制备可以对波长在可见光范围内的光产生
11、BandGap的光子晶体还有很大的困难(2)解决随意在任意位置引入需要的缺陷的问题(3)制作高效率光子传导材料的技术问题(4)如何将现在的电流和电压加到光子晶体上的问题,Project 2 查文献，综述近一两年光子晶体研究的进展.,举例 一维复式格子,若只考虑最近邻近似，第个晶胞中质量为M1的原子所受力为：,其运动方程为,(3)张量波 晶格的运动(格波):晶格动力学,同理可写出第s个晶胞中质量为M2的原子的运动方程为：,u，v可以是复数，第个晶胞中质量为 的原子的与k相同，但振幅不同，由于u，v是复数，故u，v可以有一个相因子之差，表示它们之间的相位关系。,我们将代入运动方程得：这是以u，v为
12、未知数的方程组，要有非零解须系数行列式为零。便可得到：,展开此行列式可得：即 上式中取“”号时，有较高频率称为光学支色散关系，取“”号时，有较低频率称为声学支色散关系。,光学支和声学支格波,当k=设 对声学支 对光学支,为了讨论比较典型,我们处理长波极限下的情况。当ka1（即波长比点阵常数大得多的光学支与声学支）,三维晶格的振动,三维复式格子,各原子偏离格点的位移,晶体的原胞数目,原子的质量,第l个原胞的位置,原胞中各原子的位置,一个原胞中有n个原子,第k个原子运动方程,原子在三个方向上的位移分量,一个原胞中有3n个类似的方程,方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解,将方程解代回3n个运
13、动方程,3n个线性齐次方程,系数行列式为零条件，得到3n个,长波极限,3个,趋于一致,三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动 3支声学波,3n3支长波极限的格波描述一个原胞中各原子间的相对运动 3n3支光学波,结论：晶体中一个原胞中有n个原子组成，有3支声学波和3n3支光学波,4.范式的开拓和深化 开拓:无序体系 深化:量子相干性无序体系:相对于周期性晶体结构而言.非晶,液晶,准晶,液体等.K不是好量子数量子相干性:主要体现在输运性质方面,输运性质由载流子对散射中心散射决定:弹性散射+非弹性散射弹性散射平均自由程 非弹性散射平均自由程介观体系:体系尺度非弹性散射平均自由程AB效应,1.3
14、 量子化学的范式1.量子化学 对象:原子,分子的结构和性质 方法:量子力学(求解体系波函数)(1)价键理论(电子配对理论):1927年Heitler 和 London处理H2分子的成键,然后 Slater,Pauling发展.主要思想:电子两两配对形成定域的化学键原子轨道(或杂化轨道)的乘积,Valence Bond Theory,Bond=overlap of atomic orbitals(AOs)Extent of overlap=strength of bondIf orbital overlapping has direction,bond will have directionVa
15、lence AOs in a molecule are different than those in unbonded atoms.HYBRIDIZATION,a mixing of AOs,produces hybrid orbitals of equal energy but hybrid character#AOs mixed=#hybrid orbitals formed,Hybrid orbitals,s+p+p+p=sp3+sp3+sp3+sp3head on overlap produce sigma bondssideways overlap of unhybridized
16、p orbitals produce pi bondsHow will this affect the character of s and p bonds?,Anomalous bonding of the dilithium cation,Li2:sp0.03Li2+:sp0.21,(2)分子轨道理论:50年代Mulliken,Hund,Slater发展 主要思想:一个分子中的所有轨道都扩展到整个分子上原子轨道的线性组合 多电子Schrodinger 方程-轨道近似-单电子方程有效组成分子轨道的条件:(1)能量相近条件.(2)对称性匹配条件(3)最大重叠条件化学反应的前线轨道理论(福田谦一
17、,霍夫曼),Harteree-Fock Method,Molecular Orbital Theory(MOT),Electrons in a molecule are in a collectiveBonding orbitals are formed from the addition of AOs(lower energy than AOs)Antibonding orbitals are formed from the subtraction of AOs(higher energy than AOs)Filling of MO diagram obeys rules of AO di
18、agramBond order=(#bonding e-s-#antibonding e-s)Bond order=0 indicates the species will not exist.,DOI:10.1039/b817806b,化学反应的前线轨道理论,Comparison of Two Models,VBT describes organic chemistry very wellMOT describes small molecules with resonance and the paramagnetic character of oxygen;allows the predic
19、tion of whether a species will exist(stability)MOT已是量化的主流，Gaussian软件落户千万实验室JOHN A.POPLE(1925-2005)1998 Nobel Laureate in Chemistry for his development of computational methods in quantum chemistry,2.范式 核心思想:实空间中的几何位形,电子的局域化,电子密度的集中和电荷的转移.和固体能带理论范式的差别:一个强调周期结构,主要处理非局域态;一个强调原子相关,键合的形成,主要处理局域态.和固体能带理论范
20、式的联系:分子轨道理论类似于紧束缚的单电子近似.,两个范式在研究对象,理论基础上相互交叉:用Cluster 模型研究固体(Cluster的大小,边界)半导体：H原子饱和离子晶体：点电荷，长程Madelung势金属：自由边界多尺度模拟，QM/MM用能带理论的Super Cell 方法研究原子和分子Ab initio First-princplesHatree-Fock,CI DFT,Computation,Experiment,Theory,Science Research,3.计算机模拟技术实验物理-计算物理-理论物理,Time,Scientific Computations,properti
21、es,systems,methods,模拟的对象:多粒子体系模拟的问题:有限温度(包括零温)下的结构和性质模拟的基础:有效势(势函数)势函数的形式:经验势(对势,多体势),紧束缚势,第一原理势模拟技术:能量极小值法,分子动力学法,Monte-Carlo方法能量极小值法:在有效势的作用下改变原子分布的几何位形,从而求出对应于能量为极小值的原子位形.分子动力学方法:对离散的时步来求解牛顿运动方程.Monte-Carlo方法:利用计算机对体系进行大量的随机取样,对取样结果作适当的平均而求得问题的近似解.模拟方法既可利用周期边界条件也可不用,Opportunities for researchers
22、in developing countries:PC cluster:parallel,large-scale computingQuestion-oriented Computation(QOC):solving problems with all available computational methods,1.4 凝聚态物理的范式,1.Landau 和 Anderson 的贡献L.D.Landau(1908-1968):1962 Nobel奖“for his pioneering theories for condensed matter,especially liquid heliu
23、m 理论多面手(等离子物理,流体力学,核物理,量子场论和天体物理)凝聚态物理理论:二级相变理论,超导理论,超流HeII理论和Fermi液体理论.概念:元激发,序参数 和对称破缺,P.W.Anderson(1923-):1977 Nobel奖“for their fundamental theoretical investigations of the electronic structure of magnetic and disordered systems”(与J.H.van Vleck,N.F.Mott.平分）凝聚态物理理论:无序系统理论,磁性杂质的电子理论,软模相变理论,Josephs
24、on效应,超流HeIII的理论和电导的标度律概念:对称破缺,元激发,广义刚度,缺陷,解析性与连续性以及重整化群等 1984年“凝聚态物理学的基本概念”,2.对称性和对称破缺 如果你能把物理学学到最薄处，用一页纸写出物理学的精华，那上面一定写着：对称，和谐，美To see a world in a grain of sand and a heaven in a wild flower Hold infinite in the palm of your hand and eternity in an hour 一粒沙里有一个世界 一朵花里有一个天堂 把无穷无尽握于手掌 永恒宁非是刹那时光(荷兰，乌
25、仑贝克，1925年电子自旋发现者）,自然界的四类对称性:(1)全同粒子的互换(2)连续时空变换,如平移,旋转和加速(3)分立变换,如空间反演,时间反演,粒子-反粒子共轭(4)规范变换,如U(1)(电荷,超荷,重子数和轻子数守恒),SU(2)(同位旋)和SU(3)(色和味)对称 对称性都是植根于某些物理量是不可观测的假设,不可观测量存在的直接后果是出现守恒律或选择定则.相反,一旦一个不可观测量变成可观测的,对称性就破缺了.,物理学中的对称性,凝聚态物质世界都是对称破缺的产物:晶体是平移对称破缺的产物(原子位置的周期性破坏了任意平移的不变性);空间反演对称性的破缺产生了铁电体;时间反演对称性的破缺
26、产生磁有序结构;规范对称性的破缺产生了超流体与超导电体.,3.有序相和基态 多粒子体系的行为由(1)粒子的统计行为(2)粒子间的相互作用决定.有序-无序相变是多体系统的一般特征,涉及到系统的能量和熵(熵是系统中粒子无规分布程度的度量).对体积恒定的系统,平衡态要求自由能:F=E-TS 取极小.高温时,F的极小值与最大熵值有关,倾向于无序态;低温下,F中内能占优势,平衡态由内能极小决定,系统处在有序态.实验经验：固体作为一个多粒子系统的基态是具有某种规则点阵的相。-无精确证明,多粒子系统在低温为有序相的一个理论论证,一个小盒子，n个原子,优化位置能量最小构形设每个原子的平衡位置附近存在第二个能量
27、极小位置，其能量比前者高一个单位3.小盒中n个原子的另一构形，能量上比平衡构形高n个单位4.N个原子的体系可用m=N/n个小盒周期堆积而成,一个可能的低能构形是所有原子保持孤立小盒子时的位置5.小盒间的失配能量(表面能）n2/3,而改变内部位形的能量n6.当小盒大到一定尺度，表面能的改变小于内部位形能量的改变，内部原子不再变动一个规则点阵,D.Shechtman,I.Blech,D.Gratias,and J.W.Cahn,Metalic phase with with long-range orientational order and no translational symmetry,P
28、hys.Rev.Lett.53(1984)1951-1953.,(1)准晶体,1984年,Shechtman等在寻找既轻又硬的Al合金中,在急冷的Al-Mn合金中获得了具有五重对称,斑点明锐的电子衍射图,定出其点群为m35.,郭可信:五次对称,八次对称,十二次对称,准晶是固态物质的一种新的有序相,同时具有长程准周期平移序和晶体学上不允许的长程取向对称.非公度晶体和准晶都具有准周期性,区别在非晶体学取向对称上.对称理论:不同取向对称轴之间存在着组合规律,对于可能的点群产生制约.在两个以上方向具有非晶体学对称轴的点群只可能是20面体型;只在一个方向有非晶体学对称轴的点群有很多:Nmm,N取任意整数
29、.,1-D Fibonacci chain:A-ABB-ARn+1=Rn,Rn-1,R0=B,R1=A,Penrose tiling两个四边形的边长有两种取值，之比为1.618,2D Penrose tilings,Project 3 综述准晶体的奇异物性和可能用途,deflation,(2)液晶液晶相：具有各向异性的液态，由各向异性分子构成，且分子倾向定向排列。液晶：凡出现液晶相的物质至今，这些分子均为有机分子，无机分子的液晶还没有发现,MBBA,DOBAMBC,1888年，奥地利植物学家F.Reinityer,胆葘醇苯酸酯晶体加热到145.5 0C熔化混浊液体，熔点;178.5 0C,清亮
30、液体，清亮点。液晶相：处于熔点和清亮点之间的相,Crystals of a solid organic compound,Nematic liquid crystal phaselooks like milk,Isotropic liquid,Add Heat,More Heat,液晶的类别,向列型液晶（the nematic phase）high orientational order but random positional order.,近晶型液晶(the smectic phase)a positional order along one dimension,A,C,手征Chiral
31、ity,螺旋状液晶,向列型液晶,螺旋状液晶,近晶型液晶,液晶分子形状:(1)长棒形分子(2)盘形分子(3)碗形分子(4)聚合物 热致液晶:单一化合物或几个化合物均匀混合形成溶致液晶:包含溶剂化合物在内的两种或多种化合物所构成热致液晶的长程序源自分子之间的相互作用；溶致液晶的长程序源自溶剂与溶质分子间的相互作用，而溶质分子间的作用占次要地位。指向矢（director)：一个平滑的矢量场 描述液晶中分子的排列状态形变：指向矢偏离了它在平衡状态下所指方向。,形变分类：(1)展曲(splay)(2)弯曲(bend)(3)扭曲(twist),散度,旋度,对层状A,C相：无弯曲、扭曲形变,单轴液晶连续体理
32、论：在外力作用下液晶发生小形变时力与形变之间的关系g：单位体积液晶的形变能量,K11,K22,K33展曲、扭曲、弯曲弹性常数。K33最大，K22最小，10-12 10-11 NS0:自展曲,P0:螺距,磁化率,电导率,极化率,磁场下：,电场下：,4.相变和临界现象(1).相变定义：一个多粒子系统在不同的温度和压强或其他外部条件下可以处在不同的状态,不同状态之间的转变叫相变.相变的分类标志:热力学势及其导数的连续性.热力学势:自由能,内能 一阶导数:压力(体积),熵(温度),平均磁化强度等二阶导数:压缩系数,膨胀系数,比热,磁化率等.,一级相变或不连续相变:热力学势连续,一阶导数不连续的状态突变
33、二级相变或连续相变:热力学势和一阶导数连续,二阶导 数不连续的状态突变连续相变理论：平均场理论（唯象理论）,平均场理论:被多次发明的理论1873:van de Waals 气液状态方程1907:Wiess 铁磁相变的“分子场理论”1934:二元合金有序-无序转变的Bragg-Williams近似1937:Landau 相变理论,Science,323,1309(Mar 6,2009),The glass transition is the freezing of a liquid into a solid state without evident structural order.The d
34、ynamical behavior of molecules in a glass is heterogeneous in that there are domains of mobile and immobile molecules segregated in space.At equilibrium,the spatial extent of these domains is large compared with molecular dimensions but not so large to imply an actual phase transition.Here,we presen
35、t numerical evidence for the existence of a novel first-order dynamical phase transition in atomistic models of structural glass formers.In contrast to equilibrium phase transitions,which occur in configuration space,this transition occurs in trajectory space,and it is controlled by variables that d
36、rive the system out of equilibrium.,Dynamical Phase Transition,Landau的二级相变理论:强调对称性的重要性,对称性的存在与否是不容模棱两可的,高对称性相中某一对称元素突然消失,就对应于相变的发生,导致低对称相的出现.核心：对称破缺特例：连续相变不存在对称性上的差别(汽-液相变)序参量:低温有序相的一个标志,描述偏离对称的性质和程度.为某个物理量的平均值,可以是标量,矢量,复数或更加复杂的量.随对称性的不同,它在高温时为零,而低温下取有限值,在Tc处转变.对称破缺意味着序参量不位零的有序相的出现.对于没有破缺对称性的系统，应选取某
37、个对相变点上下两相之间的差别敏感的量与它在相变点的差别为序参量。,Landau理论的具体表达：自由能作为序参量的函数。序参量：标量、矢量、张量或复数。：矢量，在相变点，将自由能展开：,不含奇次幂项高于相变温度时，0使系统自由能达到极小；低于相变温度时，使系统自由能达到极小。,(2)因子,使自由能达到极小，,使自由能达到极小，,连续变化要求，,(3)因子，合理的稳定性，自由能不能随 取 大值而无限制地减小,序参量高幂次項所对应的展开系 数不能持负值：,(4)有序和无序：将自由能F对 取极小,是出现极小值的唯一解，对应无序态,上述方程有非零解,(5)点,均为温度的缓变函数,比热在相变温度点不连续：
38、,Project 4 写出序参量为标量或复数情况下的Landau相变理论,(2)临界现象 临界点：两级相变的相变点临界现象:物质处在或接近于临界点时所表现出来的独特行为系统的某些自由度表现出长波尺度上的反常大涨落，与远离临界点的正常物质不同。这些大涨落使得凝聚态系统的正常宏观规律以某些剧烈和微妙的方式受到破坏。临界指数 标度律 普适性,临界指数 以铁磁体为例。序参量：,(1).用无外场作用下系统的磁比热Cm(T,B=0)在临界点附近的温度依赖，定义临界指数和,比例系数可以不同！,(2)用自发磁化M(T,B=0)在临界点附近的温度依赖定义临界 指数,(3)用零场磁化率,的温度依赖定义,临界指数
39、和,比例系数可以不同！,(4)用磁化强度M在T=Tc时对外场B作用的依赖定义临界指数,(5)自旋密度关联函数在T=Tc时的距离r的依赖定义临界指数,d:体系的空间维数,(6)关联函数：描述系统中不同位置上发生磁化强度涨落之间 的相关性,关联长度：,T=Tc,用关联长度在临界点附近的温度依赖定义临界指数 和：,比例系数可以不同！,6个临界指数中：除联系着比热外，其余均与磁化强度(一般意义下的序参量)在临界点附近的行为联系着。和直接表征序参量随温度或外作用场的变化，和涉及序参量的涨落。,标度律,22,（1）2,=(1+)d,d:维度,两个独立变量！,实验积累,可从热力学关系推证,普适性(Kadan
40、off普适性假设):一个系统的临界指数仅与其空间维数d及序参量的分量数n有关。标度律和普适性原则直接导致重整化群理论,一 Widom的标度理论(1965)1.广义齐次函数 Q1,Q2,Q3以某种物理规律相联系，它们的量纲之间：,在既定度量单位下，数值之间：,如更改量度单位，则它们的数值要作相应的改变：,根据量纲关系：,客观规律不受描述单位的影响：,若令：,则有：,如pa+qb=1,上述称为广义齐次函数,（一般要求）,2.临界指数(铁磁系统为例)假定：(1)体系的单个格位自旋的自由能g(T,B)可分成两部分,gr:正常部分，gs:奇异部分(2)gs 为广义齐次函数：,：任意值，p,q自由度的标度
41、幂 标度理论本身不能决定p,q，但可通过这两个待定参数逐一地推演临界指数，论证标度关系,(a).由,令：B=0,M(t,0)=(-t)(1-q)/p M(-1,0),常数,=(1-q)/p,比较,(b).令 t=0,M(0,B)=B(1-q)/q M(0,1),常数,比较,=q/(1-q),如t0,令t-1/p,B=0:,如t0,令pt=-1,B=0:,比较,=(2q-1)/p,(c).磁化率,(d).恒场B作用下的磁比热,如t0,令t-1/p,B=0:,如t0,令pt=-1,B=0:,比较,=(2p-1)/p,=(1-q)/p,=q/(1-q),=(2q-1)/p,=(2p-1)/p,22,
42、（1）2,由：,得：,3.物态方程假定：外作用磁场B，磁化强度M和无量纲相对温度t=(T-Tc)/Tc具有广义齐次函数关系：,如令 qM-1,Widom标度形式的状态方程：,如令 B-1:,相对温度用Bp作标度，磁化强度用Bq作标度，两者之间存在普适函数关系,实验：CrBr3 具有很强的各向异性 EuO 铁磁半导体 Ni 铁磁体 YIG 亚铁体 Pd3Fe 铁磁合金,约化磁化强度,Tc,二 Kadanoff的标度理论(1966)临界点最重要特征：关联长度 普适标度性：趋向无穷的事实将不再受以什么有限尺度作为测量而影响 关联长度趋向无穷具有尺度变换下的不变性 标度变换Ising 模型(1925)
43、讨论晶格铁磁性问题时，Heisenberg Hamiltonian:,不计及“z”分量，约化为x-y模型不计及“x,y”分量，约化为Ising模型,Ising Model,Suppose we have a lattice,with Ld lattice sites and connections between them.(e.g.a square lattice).On each lattice site,is a single spin variable:si=1.The energy is:where h is the parameter proportional to the mag
44、netic fieldk is the coupling between nearest neighbors(i,j)k0 ferromagnetick0 antiferromagnetic.,http:/physics.ucsc.edu/peter/java/ising/ising.html,标度变换(a)在临界点附近，将晶格常数为a的点阵按块体(La)d进行分割每个块体中格点数为Ld,系统包括块体的总数为NL-d第I个块体的自旋SI:,这样：,定义一个新的块体自旋变量sI,sI=zsI,z待定，规定sI的取值只能是,这样以新的块体为基元的系统Hamiltonian：,kL:近邻块体作用参数
45、；hL 磁场B对块体自旋作用参数 单个块体自由能 g(tL,hL)与单个格点自由能g(t,h)具有相同的泛函形式：,描述系统状态与临界点的“距离”,(b)同一系统，两种描述，相关长度：,在块体表述中，系统的状态和临界点之间的“距离”变大在新的标度下，tLt 假设：,假设：,标度量纲：在放大L倍尺度下，某一物理量A的数值相应变换为A时，AA=LAL的幂次就叫做物理量A的标度量纲。这样，x,y分别为t,h的标度量纲,(c)块体与块体之间的关联函数:,G是格点描述的关联函数G(r,t),临界指数的推演磁化强度m,(1).令h=0,则有,常数,比较,得,(2).令t=0,则有,常数,比较,得,(3).
46、磁化率是磁化强度对外磁场强度的导数,令,则有,(4).比热,令,则有,(5).关联函数,令t=0,L=r,(6).关联长度,令,标度律,标度性，自相似变换临界现象由块体行为主导，块体细节是次要的,KENNETH G.WILSON（1936)：1982 Nobel 物理学奖for his theory for critical phenomena in connection with phase transitions.,1936年6月8日，威尔逊出生于美国麻省沃尔瑟姆城。父亲E布赖特威尔逊(E.Bright Wilson)是美国哈佛大学著名的物理化学教授。1952年，威尔逊十五岁就考入英国牛津
47、大学，一年后考入美国哈佛大学，十九岁就从哈佛大学毕业。然后去加州理工学院攻读博士学位，导师是盖尔曼(M.Gell-Mann)。1961年获物理学博士学位。1963年到康涅尔大学任教。1971年起被任命为该校教授。,三 连续相变临界现象的重整化群方法（70年代，K.Wilson),重整化群方法最初引入为解决量子电动力学中的红外发散问题引入临界点附近关联长度 临界指数的普适性牛顿力学在伽利略变换下形式不变相对论力学在洛伦兹变换下形式不变临界点现象具有标度变换不变这种对称性可用重整化群来 表示将关联长度发散的临界点与非线性变换的不动点联系起来，建立一种与传统的统计方法不同的分析途径，这种途径不直接配
48、分函数，而是研究保持配分函数形式不变的变换特性。对连续相变的讨论：分析这种非线性变换的不动点和在不动点附近线性化之后的本征值，以此计算临界指数,重整化群方法的三个步骤,（1）粗粒化；（2）重新标度；（3）重整化,(a)一维Ising模型的重整化群计算如何直接在晶格点阵上作kadanoff集团结构，获取使配分函数保持形式不变的变换,配分函数：,将温度纳入配分函数，令：,对奇、偶数分别求和：,只有奇数编号变量等价于将晶格常数增大了一倍(a-2a)的“粗粒化”过程：,变化a-2a，粗粒化，：集团变量，：格点变量。,总共有四种可能的组态：+、-、+-、-+。,可解出：,配分函数：,K-K 的重整化变换
49、：K=Rs(K)(s=2)s:在以上的步骤中晶格常数标度变换因子,通常情况：耦合系数经变换后是减少的当K=0或无限时：变换后不变（K=0或无限)-不动点K*不动点与相变临界点的对应：,一维Ising模型在有限温域没有相变产生,通过,可求得无量纲化的一个格位的平均自由能f(K):,f与f具有相同的函数形式,再迭代一次：,重复n次：,每次变换均使耦合系数减少：,精确解,(b)重整化群方法（一）重整化群的定义,KBT已纳入耦合参数,最近邻（次近邻）求和,长度测量的尺度放大S倍(a-Sa;S1):,两者具有相同的数学结构,耦合系数,定义耦合系数的参数空间 参数集,的变换：,或,RS 为重整化变换：粗粒
50、平均，重新标度S1变换无物理意义,RS的全体构成重整化群(RG),重整化群的性质：封闭性,结合律,不存在逆元素。故RG：半群。,交换律,存在单位元,（二）临界点和不动点 临界点附近，测量长度单位增大S倍时，关联长度的数值相应缩小S倍。,不动点不唯一,晶格振动的激发态：用3N个格波声子数的一种状态 表示,正则系综的统计理论：系统处于各En状态的相对几率：,知道了Z，即可计算各热力学函数。平均能量：,平均声子数(Bose统计),非平衡态的散射过程：在简谐近似下，声子是理想的波色气体，声子间没有相互作用。非简谐作用可引入声子间的相互碰撞，保证声子气体能够达到热平衡状态：,(2)等离子激元和准电子(a
