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1、科学出版社,第七章,第八节,二次曲面,科学出版社,二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍.,研究二次曲面特性的基本方法是平行截线法.,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形统称为二次曲面.,(二次项系数不全为 0),科学出版社,1.椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,科学出版社,与,的交线为椭圆：,(4)当 ab 时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc 时为球面.,(3)截痕:,为正数),科学出版社,2.抛物面,(1)椭圆抛物面,(p,q 同号),(2)双曲抛物面,(p,q 同号),特别
2、,当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.,马鞍，故称马鞍面）,（其形状如,科学出版社,3.双曲面,(1)单叶双曲面,椭圆.,时,截痕为,(实轴平行于x 轴；,虚轴平行于z 轴）,平面,上的截痕情况:,双曲线:,科学出版社,虚轴平行于x 轴）,时,截痕为,时,截痕为,(实轴平行于z 轴;,相交直线:,双曲线:,科学出版社,(2)双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,P18,图形,科学出版社,4.椭圆锥面,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.,可以证明,椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.,(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换,得到),科学出版社,当k取各种实数值时，,各表示什么曲面。,解：,曲面的类型取决于各项系数的符号,情形如下：,例3.,列表讨论各种,方程,科学出版社,画出由下列不等式组所确定的立体的简图：,解:,这立体是三个平面x=0,y=0,的三棱柱，,之下的部分，,主要交线有以下三条：,即,是yOz面上的抛物线；,即,是zOx面上的抛物线；,例4.,和,所围成,在xOy平面之上，,旋转抛物面,科学出版社,是抛物线，在zOx面上投影是,简图如下：,
