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1、专题13无所不在的定比点差法第一锦圆锥曲线上的点作为定比分点的+为定值问题定比分点的概念定比分点：M（X,y）为经过两个不同的定点A（X,凶）、8（巧，%）的直线上的一点，且满足AM=丸板,x1+X=-则:,+（2为参数，-1）.1+2圆雉曲线上的点作为定比分点的2+为定值问题221.如下图所示，若4,8为椭圆C：+r=l（abO）上的两点，直线A8与X轴交于点P,与y轴交aZr于点Q,且QA=24尸，QB=BP.（1） P为左（右）焦点；（2） + 2a2.则互为充要条件.2 .在抛物线丁=2工中，a,5为抛物线上两点，P,。分别在X轴，y轴上，QA=AP,QB=从BP.P为焦点；l+4=T
2、.则互为充要条件3 .双曲线一定有：P为焦点；;1+综合拓展：2+4=z（f为定值）；为X轴一定点（加，0）.则两者互为充要条件：iV=2+r.a3r2V2【例1】已知P（l,1）是椭圆C：+方=1（1b0）上的一点，F,尸2分别是椭圆C的左、右焦点,且附Ig（1）求椭圆C的标准方程.（2）过点尸2的直线/与椭圆C交于4,8两点，与椭圆C的短轴交于点。，若吗=4,吗=，试IA周BF2问/1+是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【例2】已知抛物线C丁=的焦点为RO为坐标原点.过点尸的直线/与抛物线。交于4,B两点.（1）若宜线/与圆O:f+j=相切，求直线/的方程:（2）若直线/
3、与y轴的交点为。，且Q4=IAF,DB=BF,试探究：4+是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.第二稀利用定比分点和调和分点证明特征直线的方程1.调和点列的概念如下图，点尸在线段AB上，则满足网=ZI(0)的点尸是唯一存在的.但是，如果将线段A8改为IpBl直线48,此时，满足=%的点有两个，如下图，不妨记另一个点为Q,则竺=42=ZI(Al),PBPBQB在此种情况下，我们称点A、P、B、Q为调和点列，或者称点R。调和分割点A、B.4FEAPBQ图图2.调和点列的性质如下图所示：对于线段AB的内分点C和外分点。满足C、O调和分割线段48,即生=丝，设。为线CBDB段AB的
4、中点，则有以下结论成立：(1)点A、B也调和分割。、D,即刍=包；ADBD7I1(2)=+(A8是AC与Ao的调和平均数).ABACAD【例3】(2011山东)设4、A2、A3、4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若44=244(/IeR),A1A4=AlA.(eR),且JL=2,则称A3、4调和分割4、A2,已知平面上的点C、。调和分割A、B,则下面说法正确的是OA.C可能是线段AB的中点B.D可能是线段AB的中点CC、。可能同时在线段AB上DC、。不可能同时在线段A8的延长线上3.定比分点和调和分点支配下的圆锥曲线在椭圆或双曲线中，设A,B为椭圆或双曲线上的两点，若存在P,Q两点,满足AP
5、=l尸8,AQ=-AQB,则-定有：空士峥=ab-在抛物线y2=2px中，设A,8为抛物线上的两点.若存在P,。两点，满足AP=4P3,Q=-QBt一定有yPyQ=p(xp+xq).定比点差的原理谜题解开，就是两个互为调和的定比分点坐标满足圆雉曲线的特征方程.22【例3】(2015四川卷改编)已知椭圆C：二+二=1(abO)的左、右焦点分别为尸i、F2,M是Cerbi的上顶点，M制=2,且IM用IMBI=2MGME(1)求椭圆。的方程；(2)当过点P(4,1)的动直线I与椭圆C相交于不同两点A、时，线段AB上取点。，且Q满足APQB=AQPB,证明点。总在某定直线上，并求出该定直线的方程.【例
6、4】设抛物线Cy2=2px(p0)的焦点为尸，过点尸(0,4)的动直线/与抛物线C交于A,B两点,当尸在/上时，直线/的斜率为-2.(I)求抛物线的方程；(2)在线段AB上取点O,满足抬=2P8,Af=lZ)8证明：点。总在定直线上.第三稀坐标轴上定点弦与定比点差法的妙用轴点弦坐标与比值转换定理：类型一定点在X轴2过定点Pap,0)的直线与椭圆与av2+J=l(lb0)相交于4、8两点，设42=；123(l),b2A(x1,y1),B(x2,y2),则在直线48上一定存在点Q满足AQ=IQB,根据定比点差法可知XQ=幺pXl=X2Xp+XXP-2-+2y1+Iy2=O类型二定点在y轴22过定点
7、尸(0,力)的直线与椭圆十=l(%0)相交于A、8两点，设A尸=NPB(4h1),A(Xl,y),ab28*2，%)，则在直线AB上一定存在点Q满足AQ=TQ8,根据定比点差法可知为=乙.同理:yp212+22.yp+yQyp-yQ%=+.222x1+x2=0由于在考试当中我们经常要拿出这三个等式，故我们称之为：“三炮齐鸣，天下太平”类型三抛物线三炮齐鸣过定点P(m,0)的直线A8和抛物线=2px(p0)相交，iAP=PB,AaI,凹)，4(，为)，X,+sm=-1+一=三二生，即,1-y=-Ay2x=m【例5】(2018浙江高考)已知点P(0,1),椭圆一+=m(加1)上两点A、8满足AP=
8、2P8,则当m=4时，点8横坐标的绝对值最大.【例6】(2022全国甲卷)已知抛物线Cy1=2px(0)焦点为尸，点0(，0)过焦点尸做直线/交抛物线于M,N两点，当_LX轴时，M=3.(I)求抛物线方程；(2)若直线MO,NO与抛物线的另一个交点分别为A,A若直线MMAB的倾斜角为,当-4最大时，求AB的方程.22【例7】(2020北京)已知椭圆C+=1过点A(-2,-1),且二2/九ab(I)求椭圆。的方程；(2)过点8(-4,0)的直线/交椭圆C于点M,N,直线K4,MA分别交直线X=T于点P,Q.求温的值.22【例8】(2016山东)已知椭圆C+=l(abO)的长轴长为4,焦距为2.a
9、h(1)求椭圆。的方程；(2)过动点(O,z)(w0)的直线交X轴与点M交C于点A,P(P在第一象限)，且是线段尸N的中点.过点P作X轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.(i)设直线PM,QM的斜率分别为占，k2,证明&为定值；h(ii)求直线AB的斜率的最小值.【例9】(2018北京文)已知椭圆M：W+(=l(hO)的离心率为半，焦距为2应.斜率为k的直线/与椭圆M有两个不同的交点A、B.(1)求椭圆M的方程；(2)若日,求IABl的最大值;(3)设P(-2,0),直线办与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆历的另一个交点为D若C,。和点Q(-(，；)共线，求L【例10】(2018
10、-全国卷I)设椭圆C：5+丁=1的右焦点为凡过尸的直线，与。交于A,B两点，点M的坐标为(2,0).(1)当/与X轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：NOMA=NOMb.2v2?【例II】已知椭圆C：=I(abO)的左右焦点分别为尸I,F2,点P(l,)在C上，且桃！心不ah2(1)求C的标准方程；(2)设C的左右顶点分别为A,B,O为坐标原点，直线/过右焦点尸2且不与坐标轴垂直，I与C交于M,N两点，直线AM与直线BN相交于点。，证明点Q在定直线上.【例12】(2020新课标I)已知A,8分别为椭圆E：+丁=1()的左、右顶点，G为E的上顶点，aAGG8=8/为直线x=6
11、上的动点，以与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程；(2)证明：直线。过定点.r2.【例13】(2022浙江卷)如图，已知椭圆正+)2=1.设A,8是椭圆上异于P(0,1)的两点，且点Q(0,)在线段A8上，直线以，PB分别交直线y=Lr+3于C,。两点.(I)求点P到椭圆上点的距离的最大值；(II)求ICZ)I的最小值.第四稀非轴点弦的定比点差法与三炮齐鸣定比点差法的一般变形公式y2 v2椭圆.+方=1(abO )点43，)1)、8(巧，当)是椭圆上的点，且AP = 2P8P(o %),则:x2=x0(+Q-.1=y0(l+)-y1(非轴点弦三炮齐鸣)2(+2-1)=(
12、44-l)(l)abab点4(王，丁)、8(2,乃)的坐标都可以用只含有N(或凹)的式子表示出来.【例14】(2022全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为K轴、y轴，且过A(0,-2),B(-,-1)两点.(1)求E的方程；(2)设过点P(l,-2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于X轴的直线与线段48交于点。点H满足MT=777.证明：直线小V过定点.【例15如图，已知椭圆氏吞+g=l(00)的离心率为弓，点A(；,)在椭圆E上，射线Ao与椭圆E的另一交点为8,点P(-4f,f)在椭圆E内部，射线AP、BP与椭圆石的另一交点分别为。、D.(1)求椭圆E的方程；(2)求证：直线。的
13、斜率为定值.第五蕾蝴蝶定理与坎迪定理坎迪定理：M(7,0),/7(,0),m11_1I_k1_HG其中逻辑和证明，大家可以看例题来理解.1【例16】（2021江苏模拟）在平面直角坐标系XS，中，椭圆C:1+当=l（AO）的离心率是L焦点到相应准线的距离是3.（1）求，b的值；（2）己知A、8是椭圆C上关于原点对称的两点，A在X轴的上方，尸（1,0）,连接AF、斯并分别延长交椭圆C于。、E两点,证明：直线Z）E过定点.【例17已知椭圆x2+2y2=l,尸，）为平面上一点，AB为椭圆上两点，且断=2AP,BP分别交椭圆于C,D,求证：CD/AB【例18】（2021新课改卷模拟）已知F（C,0）是椭
14、圆C:=+:=l（力0）的右焦点，直线MN交椭圆C于a2b2MN两点，交），轴于点A,点Q,若AM二义板，AN=NNF,+=-8.（1）求椭圆。的离心率e；（2）经过椭圆尸（c,0）作直线/交椭圆于M、N两点，再作OPMN交椭圆于尸，是否存在椭圆C,满足IoH2=|MNI，若存在，求出C的方程，若不存在，说明理由.【例19】.（2022全国乙（文）T）21.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为X轴、），轴，且过,、（3A（0,-2）,B1两点.12/（1）求E的方程；（2）设过点?（1,一2）的直线交E于M,N两点，过M且平行于X轴的直线与线段AB交于点T,点H满足MT=TH证明：直线N过定点
15、整套系列资料分17讲见：最新版圆锥曲线专题17之1基础知识最新版圆锥曲线专题17之2焦长焦比体系最新版圆锥曲线专题17之3轨迹方程求法四边形相关性质 圆锥曲线与圆综合 抛物线的综合问题 齐次化问题 曲线系方程最新版圆锥曲线专题17之4三角形相关性质最新版圆锥曲线专题17之5最新版圆锥曲线专题17之6最新版圆锥曲线专题17之7最新版圆锥曲线专题17之8最新版圆锥曲线专题17之9最新版圆锥曲线专题17之IO切线与切点弦的应用最新版圆锥曲线专题17之11极点极线与定点定值最新版圆锥曲线专题17之12阿基米德三角形最新版圆锥曲线专题17之13定比点差体系最新版圆锥曲线专题17之14不联立体系第一讲一单动点问题最新版圆锥曲线专题17之15不联立体系第二讲一双动点问题最新版圆锥曲线专题17之16不联立体系第三讲一三点共线问题最新版圆锥曲线专题17之17不联立体系第四讲一设点与比例问题
