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1、专题2有凤来仪一一焦长与焦比体系第一饼椭圆焦长以及焦比问题4体：过椭圆、+二=l(4力0)的左焦点6的弦AB与右焦点场围成的三角形Z8居的周长是4；ab22焦长公式：A是椭圆=+1=l(4b0)上一点，F1.K是左、右焦点，NAFiEy为a,AB过-,C是椭ab圆半焦距，则:(I)IAAI=-;(2)BFi=-;(3)IAgI=,之加,2婆，.a-ccosaa+ccosaa-csab+csina图1-1-1证明(1)如图IT-I所示，ANA心=2;HBF2=2ai故|人8阳A%Hl46I=4；(2)设IAKl=5，SF1=nt|AF2=2a-mtBF2=2a-n,由余弦定理得.2M+(2c)2
2、-(2-m)2=2m?(2C)COSa；整理得Af；=-a-ccosa.2同理：/+(2c)2-(2-)2=2M(2c)8S(1801);整理得IBKl=a+ccosa+得，则过焦点的弦长：IA81=m+=,2。?_=、2?a-Ccosab+csina22212焦比定理过椭圆1+2=1的左焦点E的弦IAfJ=-一,IBfJI=-一，令IAKI=耳8|,即aba-ccosaa+ccosa=?cost7-,代入焦长公式可得IAGI=L.a-ccosrta+c8sa/+12a推论根据公式ecosa=-,利用=tana把角度替换掉可以得到e=k+k*2-/1+1注意：1.整个焦长体系只需要记住上面的公
3、式，其他要熟悉推导，涉及到的面积问题记住是焦长当底即可；当直线过右焦点，或者上焦点、下焦点时，要熟悉此时的公式会如何变化，详见后面记忆方法处.2.学习焦长焦比体系要非常熟悉推导过程定义+余弦定理+abc平方关系,在处理解答题的时候，若用本模块公式到必须给出必要证明.3 .公式ecosa=7和|4耳|=这两个公式属于结论公式，一般用上能很快解题，所以在解小题的/+12a时候要优先考虑这两个公式.和角度相关优先想第一个，只和长度相关优先想第二个.4 .焦长公式利用极坐标或第二定义都能更快证明，这个问题大家可以自己去掌握，解答题中的证明建议以余弦定理的方式为主；其他证法本文不在阐述，读者可以自己去掌
4、握.长短记忆法：画图，看长短来记忆.当焦点在X轴上的时候，焦长为一-,其中为焦长所在直线的ccosa倾斜角或者其补角，为方便判断，一般选用锐角记为。.例如上图，如果记ZAP也为,那么根据草图Fl为长边,则分母小即可得到IAEI=-,不管交于左右都是如此,交于y轴的话需要把COSa换成SinQ-CCOSaI_1长靖焦比公式，如果ecosa=,/为两个焦长之比，可以选/=S也可以/=罂,但是公式里面要正负对齐，如/+1短长果选的是锐角，那么左侧是正的，右侧也要为正的，此时/二三;反之。选钝角，右侧/二尊短长最后一个公式一样的，1吠，代入的/二寺算出来的就是长边，如果代入的/=萼,算出来就是短边I2
5、短长口诀记忆法：椭圆的焦点在X轴的时候，直线过左焦点时，为上减下加；交于右支时，相反，上加下减；同理，焦点在y轴时，直线过上焦点时，为左减右加；过下焦点时，相反，为左加右减.备注：此方法的角度选择均为直线的倾斜角.简短口诀为，“右下焦点对应上加下减，左加右减；反之颠倒此方法角度均选直线的倾斜角.交于y轴的话分母需要把CoSa换成Sina例：上图中IA不在左侧，如果直线过右焦点的时候焦长为上加下减，过左焦点的时候是颠倒的，|4I在上方，所以分母为减.22【例1】（张家期中）椭圆E:+工=1的左焦点为K，过人的直线交椭圆于A,B两点,则的1641）周长为（）A.4B.8C.12D.16【例2】（乐
6、山期中）已知椭圆U:+（=l的左、右焦点分别为6、F2,过5且倾斜角为？的直线/交椭圆C于A、3两点，则A3的内切圆半径为.【例3】（天心月考）已知椭圆Um+=l（bO）的离心率e=L0（1=）为椭圆上一点.CTb222（1）求椭圆。的方程；（2）已知尸为椭圆。的右焦点，过点F的直线/交椭圆（异于椭圆顶点）于A、8两点，试判断一+一FfiF是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【例4】（唐山模拟）设片，尸2分别是椭圆七：1（“0）的左、右焦点，过外的直线交椭圆于A,B两点,且A月.AE=O,AF2=2F2f则椭圆E的离心率为（）A.B.D.【例5】（2019 新课标I ）已知椭圆C的
7、焦点为E（-l,0）,/（l,0）,过人的直线与C交于A, B两点.若AF2=2F2Bt AB= BFi,则C 的方程为(A. + y2 = 12X2 v2B. + - = 132C.77X- y 1+ = 143X2 V2D. + - = 154【例6（浙江模拟）已知、F?为椭圆C:= l（bO）的左、右焦点，过左焦点月的直线交椭圆于M、N两点，若_x轴，KMN=-4NF,则椭圆的离心率为(22【例7】(南通月考)已知椭圆C；1+与=l(”O)的左右顶点为A,8,点P为椭圆。上不同于A,ab的一点，且直线PA,的斜率之积为-2(1)求椭圆的离心率；(2)设尸(-1,0)为椭圆。的左焦点，直线
8、/过点尸与椭圆C交与不同的两点M,N,且MF=3f7V,求直线/的斜率.注意在解答题当中不能直接使用焦长公式以及涉及的结论，用到的公式必须要证明过程.在上面的解法二中，可以发现过焦点问题能够使用焦长体系能够轻松破解，但要注意不是所有考题都是焦长体系，要会鉴别，也要了解普通方法如何处理.第二稀双曲线的焦点三角形问题22周长问题：双曲线;-2=l(0,b0),的两个焦点为F2,弦AB过左焦点Z(A、都在左支上),abIAB=/,则八钻鸟的周长为44+2/(如图)设A是双曲线方=1(a0,0)上一点，设为,直线AB过点(1)直线和渐近线平行时，此时0=一COSrth1(2)当AB交双曲线于一支时，则
9、IA用=；忸KI=；a+ccosaa-ccosa,di2ab2Iab22ab2,7no11B=-=-22，4AI=F2L，LCOSF0?1ea-ccosab+csmaa-ccos-aCoSa令|84|二/|耳川，即一-=lh2?ecos,代入弦长公式可得|=：.a-ccosaa+ccosaI+1Ia22y2当48交双曲线于两支时，A4=-；忸闻=-;IABI=-67,a+ccosaccosa-accos-cr2- c2cos21),I总结：焦点在X轴上的时候，直线和双曲线交于单支的时候，公式形式和椭圆完全一样；直线和双曲线交于双支的时候，公式形式有所变化，具体参考上面书写因为双曲线的部分考题会
10、涉及渐近线，不过焦点的时候更要注意，注意鉴别.22【例8】（全国期中）已知，K是双曲线0-当=1的左、右焦点，过Z作直线交双曲线左支于点A,B,ab若IAI=，则ABF2的周长为.【例9】（和平期中）已知F为双曲线=-三=l（O,0）的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，ah过尸，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为3,若AB=3E4,则此双曲线的离心率为.22【例10（浏阳月考）已知双曲线2=l（,b0）的左、右焦点分别为耳，F2,过鸟的直线与双曲线C的右支相交于P,Q两点，若夕鸟=3Q,若APQE是以。为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率e=（）A.3B.2C.2D.退【例
11、II（宁夏模拟）F是双曲线C:二-E=l（O0）的右焦点，过点尸向C的一条渐近线引垂线，albl垂足为A,交另一条渐近线于点3.若2AF=FB,则。的离心率是（）aRR2c2小1433AC经过右焦尸，若防_LAC, 3AF = CF,A.巫B. 222第三稀抛物线焦长公式及性质i M.图 1-3-1重要结论1. AF = Fl = R. I-COSal + cosa_23 SMOB=J 2sn a5.设AB交准线于点P,则受Lcosa;其 Pt，则该双曲线的离心率为（）3D. 233LPT T 片图 1-3-22. AB=xy +x, +p=J Silra4.设此5!Jcosa = -;|AF
12、| = p . BF+l2 = cosa.切22【例12（江油期中）已知A, B, C是双曲线;-二= l（00）上的三个点，直线AB经过原点O, cr h证明1.2. IABI=IAFI-H BF2p1 - CoSa1 +cosa sin203.设。到AB的距离为d,贝IJ d = gina,故邑Ag=JIAAId4.I AFI - I + cosa =I - cos a= =cosa = - , I AF =2 + 11 2 p . p =V-sna =T 2sin 2 2sin2 + 1I-COSa 2lXZci-IA,Icos1f1*同理电I=T5.=COSa .AF=a+,BF=xb
13、+-,空LCoS,好!a2b2IPAIPB关于抛物线x2=2py的焦长公式及定理（A为直线与抛物线右交点，B为左交点、,0）焦点F的直线/交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若8C=28F,且IA尸|=3,则此抛物线的方程为（）A. y2 = 3xB. y2 =9x3=-x2D. y2=-x2【例16】（2017新课标I）已知产为抛物线C：V=4x的焦点，过/作两条互相垂直的直线,I2,直线（与C交于A、B两点，直线4与C交于。、七两点，则IABl+1。El的最小值为（）A. 16B. 14C. 12D. 10【例17】（德州期末）已知抛物线y=2p（p0）的焦点为尸，过尸的直线/交抛物线于A
14、a,）,B（x2,%）两点（点A在第一象限），则下列结论中正确的是（）C.若直线/的倾斜角为工，则四=3D.若直线的倾斜角为王，则IABI=43BF644体面积：SzgABh 12 22abcsnaI AB z2 _ ab2csinaABh 1=一a - c cos a2csina =2abcsna分母属于一个对勾函数模型，取得c2 sin a第四稀过焦点的面积最值问题r maxc,2bc当CVd即eb0）的离心率为弓，且过点（等，半）.椭圆C的左、右焦点分别为耳，F2,过人的直线交椭圆于8,。两点，过尸2的直线交椭圆于A，C两点,且ACJ_a.（1）求椭圆C的标准方程；（2）求四边形A88面
15、积的最小值.第五年过焦点的弦与其中垂线的性质1.设椭圆焦点弦AB的中垂线与长轴的交点为O,则Ial与IABl之比是离心率的一半（如图1-5-1）2.设双曲线焦点弦AB的中垂线与焦点所在轴的交点为。，则IFQI与I481之比是离心率的一半（如图1-5-2）3.设抛物线焦点弦A8的中垂线与对称轴的交点为。，则IFDl与|48|之比是离心率的一半（如图1-5-3）1 .证明根据椭圆焦长公式：尸I=-,IAFI=-,IABI=,-邺”,a-ccosaa+ccosaaccosb2b2ICFI=IA洌_A尸I_!A尸/BFA广_IBFIT4尸I_-CCOSa+CCOSa_b-ccosa2222a2-c2c
16、os2anpCFb2c端OFlb2cce11r=故=.COSaa2-c2cos2aAB2ab22a22 .证明当直线48与双曲线交于一支时，证明过程同椭圆一致；当直线AA与双曲线交于两支时，IBFI=,F=-,A8=,2加-IC尸I=勺Sa-其余过程与椭圆一致.ccosa-accosa+accosa-accosa-a3 .证明抛物线V=2px（p0）焦点弦公式：AF=;8FI=U一;A3=3.1+8SaI-COSasinaIm=坨Tg=平，I。用口=3,故也=L222sin2aCoSasin2aIABI2证明思路要记住是用上焦长公式，用上直角三角形的条件，表示I。Pl即可.【例21（河南模拟）
17、已知了是椭圆C：（+g=130）的左焦点，A8是椭圆C过尸的弦，AB的垂crb直平分线交X轴于点若AF=2FB,且尸为O尸的中点，则椭圆C的离心率为.22py【例22】（2015江苏卷）如图，在平面直角坐标系XS，中，已知椭圆5+=l（b0）的离心率为正，且右焦点尸到左准线/的距离为3（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A,B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线/和AB于点尸，C,若IPCI=2A8,求直线AB的方程.【例23】（类似题2）已知双曲线-2L=1（6zOO）的左右焦点分别为耳，工，过居的直线交双ab曲线于P,0两点且PQ_LP0若IPQl=HP用，则双曲线离心率e的
18、取值范围为（）A（L孚B（L%C哼,寓D嘤+8）整套系列资料分17讲见:最新版圆锥曲线专题17之1基础知识最新版圆锥曲线专题17之2焦长焦比体系最新版圆锥曲线专题17之3轨迹方程求法最新版圆锥曲线专题17之4三角形相关性质最新版圆锥曲线专题17之5四边形相关性质最新版圆锥曲线专题17之6圆锥曲线与圆综合最新版圆锥曲线专题17之7抛物线的综合问题最新版圆锥曲线专题17之8齐次化问题最新版圆锥曲线专题17之9曲线系方程最新版圆锥曲线专题17之10切线与切点弦的应用最新版圆锥曲线专题17之11极点极线与定点定值最新版圆锥曲线专题17之12阿基米德三角形最新版圆锥曲线专题17之13定比点差体系最新版圆锥曲线专题17之14不联立体系第一讲一单动点问题最新版圆锥曲线专题17之15不联立体系第二讲一双动点问题最新版圆锥曲线专题17之16不联立体系第三讲一三点共线问题最新版圆锥曲线专题17之17不联立体系第四讲一设点与比例问题
