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1、7.5 分 圆 多 项 式,7.5.1 复数域上的分圆多项式 7.5.2 任意域上的分圆多项式,7.5.1 复数域上的分圆多项式,定义.在复数域中n-1=0的解称为n次单位根。结论：一个复数是n次单位根,当且仅当它具有下列形式：证明：因任意复数可以表为 r（cos+isin）其中r是它的模，是它的幅角，我们有 r（cos+isin）s（cos+isin）=rs cos cos-sin sin+i（cos sin+sincos）=rscos（+）+isin（+）。,据此，用数学归纳法易证：r(cos+isin)n=rn(cos n+isin n)此数的模是rn，幅角是n。因为复数1的模是1，幅角
2、是2k，k=0，1，2，所以，r（cos+isin）是n次单位根 iffrn=1 且 n=2k iffr=1，且=iff它具有下列形式：,故若命=则一个复数是n次单位根，当且仅当它是的整数次方。由此可见，所有n次单位根在乘法下作成一个循环群，是它的一个生成元素。1，2，n-1为n个n次单位根：这n个单位根的幅角都是 的整倍数；用平面上的点代表复数，把代表这n个单位根的点用线段联结起来便成为单位圆的一个内接正n边形。可见，这n个n次单位根都不同。是n次单位根，当然n=1。所以的周期恰等于n。,定理7.5.1.复数域中恰有n个n次单位根。它们在乘法下作成一个n元循环群,=是一个生成元素。这个n元循
3、环群的生成元素称为本原n次单位根，共有(n)个，假定它们是1，2，(n)命n()=(-1)(-2)(-（n）)n（）称为分圆多项式.意思是说求出它的一个根就可以把单位圆分成n等份了。,分圆多项式例,n=1时，生成元=1,(1)=1,故 1()=(-1)。n=2时，生成元=-1,(2)=1，故 2()=(+1)。n=3时，生成元=，(3)=2，另一个生成元为：2=，故3()=(-)(x-2)=2+x+1。n=4时，生成元=i，(4)=2，另一个生成元为：3=-i，故 4()=(-)(x-3)=(x-i)(x+i)=x2+1,分圆多项式的性质,定理7.5.2 n-1=证明：设1，2，n是所有n次单
4、位根，于是n-1=(-1)(-2)(-n).任取一个dn。(1)往证|n-1。任取d()的根,则是一个本原d次单位根。于是,d=1,因而n=1,可见(x-)必出现在(-1)(-2)(-n)中.可见,所有(d)个本原d次单位根都出现在(-1)(-2)(-n)中。因之，d()n-1。,若d和d不同,则d()和d()没有公共一次式。因为，前者的根是本原d次单位根，后者的根是本原d次单位根，由此可见，n-1。(2)往证 n-1|。任取n-1的根,设的周期为d,dn,因而是本原d次单位根。这就是说,(-1)(-2)(-n)中的任意一次式必出现在某个d（）之内，其中dn，所以n-1|。,例,因为x-1=1
5、(),所以,1()=x-1。因为x2-1=2()1()，所以，2()=x+1。因为x3-1=3()1()，所以，3()=x2+x+1。因为x4-1=4()2()1()，所以，4()=x2+1。,分圆多项式的性质,定理7.5.3.n()是整系数多项式。证明：用数学归纳法。1()=-1是整系数多项式。假定已知kn时，k()是整系数多项式，试证n()亦然。因n-1=n()，由归纳法假定，此式右边每个d()都是整系数多项式，故其积为整系数多项式，且首系数为1。所以是本原多项式，而n-1是整系数多项式，故，n（）必为整系数多项式。,例,求12()。解：因为 12-1=1264321，6-1=6321相除
6、得6+1=124因之，12()=x4-x2+1。,7.5.2 任意域上的分圆多项式,F为任意域，设n不是特征的倍数，方程n-1=0在F中的根称为n次单位根。若n不是特征的倍数，则n-1的微商nn-1不是多项式0，因而除0外没有另外的根，但0显然不是n-1的根，所以，n-1及其微商没有公共根，因而方程n-1没有重根。若n是特征p的倍数，设n=kpm，其中k不是p的倍数，则 n-1=。这时n-1的根即是k次单位根，且n-1的每个根都是pm重根。,例.在R7=0，1，2，3，4，5，6上分别计算n次单位根，n=1，2，3，4，5，6。,例.R2=0，1上的4个矩阵：0=，1=,a=，b=，作成的集合
7、F=0，1，a，b在矩阵加法、乘法下作成一个域。则在F上求4次单位根就是求方程x4-1=0，即 的根。由分圆多项式的性质可求出 4()=x2+1=x2+。,定理7.5.4 设n不是F的特征的倍数,并设n()在F中有根。于是，F中恰有n个n次单位根，它们在乘法下作成一个n元循环群，其(n)个生成元素恰是n()的所有的根。证明：设是n()在F中的任意根，往证的周期为n。设的周期k。由于n()n-1,是n-1的根,故n=1。因而的周期kn。反证。假定kn。因为k=1，所以应是k-1的根，但k-1=，乘积中没有n()。既是n()的根又是k-1的根，因而是n-1的重根，此不可能。,因之，1，2，n-1是
8、n个不同的n次单位根，但n-1最多只能有n个根，所以F中恰有n个n次单位根。所有n次单位根既然都是的若干方，所以在乘法下作成一个n元循环群，n()的任意根是此群的一个生成元素。今n元循环群只有(n)个生成元素，所以n()的根恰是所有的生成元素。证毕。此n元循环群的生成元素也叫本原n次单位根。,例.考察R5=0，1，2，3，4上的情形,(1)对x2-1=0，分圆多项式2（）=x+1。因为2（）在R5 中有根4，所以2个二次单位根全在R5 中，且4为其(2)=1个生成元，由它生成的1，4就是全部二次单位根。,例.考察R5=0，1，2，3，4上的情形,(2)对x3-1=0,分圆多项式3()=x2+x+1。3（）在R5 中无根，3个三次单位根不全在R5 中，在R5 中只有一个根1,例.扩展R5 至 R7,3()在R7 中有根2，4，所以3个三次单位根全在R7中，且2，4为其(3)=2个生成元，由它们任意一个可生成全部3个三次单位根：1，2，4,例.考察R5=0，1，2，3，4上的情形,对x4-1=0,分圆多项式4()=x2+1。因为4()在R5 中有根2,3,所以4个四次单位根全在R5 中,且2，3为其(4)=2个生成元，由任意一个可生成全部4个四次单位根。,
