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1、瑞士 策马特峰,第五章 大数定律与中心极限定理,第五章 大数定律与中心极限定理,本章要解决的问题,为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？,为何能以样本均值作为总体 期望的估计？,为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？,大样本统计推断的理论基础 是什么？,答复,大数定律,中心极限定理,设非负 r.v.X 的期望 E(X)存在，则对于任意实数 0,证 仅证连续型 r.v.的情形,5.1 大数定律,5.1,设随机变量 X 的k阶绝对原点矩 E(|X|k)存在，则对于任意实数 0,推论 1,设随机变量 X 的方差 D(X)存在，则对于任意实数 0,推论 2 切贝雪夫(chebysh
2、ev)不等式,或,当 2 D(X)无实际意义,马尔可夫(Markov)不等式,例1 设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的 6000 粒种子中,良种所占比例与1/6 比较上下小于1%的概率.,解 设 X 表示 6000 粒种子中的良种数,X B(6000,1/6),例1,实际精确计算,用Poisson 分布近似计算,取=1000,例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75,试用 Chebyshev 不等式估计,n 多大时,才能在 n 次独立重复试验中,事件 A 出现的频率在0.74 0.76 之间的概率大于 0.90?,解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A发生的次
3、数,则,X B(n,0.75),例2,即,即,由 Chebyshev 不等式，=0.01n,故,令,解得,大数定律,贝努里（Bernoulli）大数定律,设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数,p 是每次试验中 A 发生的概率,则,有,或,大数定律,证 引入 r.v.序列Xk,设,则,相互独立，,记,由 Chebyshev 不等式,故,在概率的统计定义中,事件 A 发生的频率,“稳定于”事件 A 在一次试验中发生的概率是指：,小概率事件,因而在 n 足够大时,可以用频率近似代替 p.这种稳定称为依概率稳定.,贝努里(Bernoulli)大数定律的意义,定义,a 是一常数，,(或
4、,故,在 Bernoulli 定理的证明过程中，Y n 是相互独立的服从(0,1)分布的 r.v.序列 Xk 的算术平均值,Y n 依概率收敛于其数学期望 p.,结果同样适用于服从其它分布的独立r.v.序列,Chebyshev 大数定律,(指任意给定 n 1,相互独立)且具有相同的数学期望和方差,或,定理的意义,当 n 足够大时,算术平均值几乎是一常数.,具有相同数学期望和方差的独立 r.v.序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.,近似代替,可被,注2,注1,有,互独立具有相同的分布，且,记,注3,则,则,作业 P185 习题五,3 4,习题,每周一题11,电视台需作节目A 收视率的调查.每天在播电视的同时,随机地向当地居民打电话询问是否在看电视.若在看电视,再问是否在看节目A.设回答,第12周,问 题,看电视的居民户数为 n.若要保证以 95%的概率使调查误差在10%之内,n 应取多大？,每晚节目A 播出一小时,调,查需同时进行,设每小时每人能,调查20户,每户居民每晚看电视,的概率为70%,电视台需安排多,少人作调查.,又，若使调查误差在 1%之内,n 应取多大？,
