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1、图算法（一）,Graph Algorithms,图,图 G=(V,E)V=顶点的非空有限集E=边集=V V的子集，V中顶点对，边的有限集。|E|=O(|V|2)简单图(Sample Graph)任意两个顶点最多只有一条边，且每个点都没有连接到自身的边。完全图(Complete Grapth)若有n个顶点的无向图n(n-1)/2条边，则此图为完全图。,图的扩展,扩展:连通图（connected graph）从图中每一顶点都有到其它顶点的路径。无向图（undirected graph）:边(u,v)=边(v,u)有向图（directed graph）:(u,v)表示从顶点u 到顶点 v的一条有向边
2、,记为 uv一个不含有环的有向图称为无环有向图(Directed acyclic graphs,DAG）。加权图（weighted graph）图中不是边就是顶点与权关联，例如：公路交通图，边以距离w为权。,图,通常用边数|E|和顶点数|V|描述运行时间。无向图中 0|E|V|(|V|-1)/2有向图中 0|E|V|(|V|-1)若|E|V|2，图是稠密的 dense若|E|V|，图是稀疏的 sparse对稠密图和稀疏图使用不同的数据结构,图的表示,假设 V=1,2,n邻接矩阵（adjacency matrix）将图表示成一个 n x n 矩阵 A:Ai,j=1 若边(i,j)E(或边的权wi
3、j)=0 若边(i,j)E,图:邻接矩阵,Example:,1,2,4,3,有向图 非对称矩阵,图:邻接矩阵,Example:,1,2,4,3,a,d,b,c,图:邻接矩阵,Example:,1,2,4,3,a,d,b,c,图:邻接矩阵,Example:,1,2,4,3,5,1,4,3,图:邻接矩阵,Example:,1,2,4,3,a,d,b,c,无向图 对称矩阵,图:邻接矩阵,邻接矩阵的实现 const maxlength=100 最大顶点数type graph=array1.maxlength,1.maxlength of integer;二维数组,输入和查看一遍邻接矩阵需要多少时间？答
4、:O(|V|2)存储一个邻接矩阵需要多少存储空间？答:O(|V|2)稀疏图（|E|V|或|E|V|),邻接矩阵是稀疏矩阵，浪费空间，因此采用邻接表更有效。,图:邻接矩阵,图:邻接表,邻接表:对每个顶点 v V,将v的所有邻接点存放在一个列表中。Example:Adj1=2,3Adj2=3Adj3=Adj4=3,1,2,4,3,1,2,4,3,图:邻接表,1,2,3,nil,2,3,nil,3,nil,4,3,nil,邻接表的实现Type pointer=adjnode adjnode=record adjvex:integer;该点在图中的位置 next:pointer;指向下一个顶点的指针
5、infor:;与边有关的信息，如权值w Adjlist=array1.maxlength of pointer;,图:邻接表,无环有向图的拓扑排序 Directed acyclic graphs(DAG)topological sort,DAG:不含回路的有向图称为无环有向图。检查有向图中是否存在回路的方法之一，是对有向图进行拓扑排序。,如果有向图G有一个拓扑排序,则G是一个有向无环图.反之,任一有向无环图必可进行拓扑排序。,何谓“拓扑排序”？,按照有向图给出的次序关系，将图中顶点排成一个线性序列，对于有向图中没有限定次序关系的顶点，则可以人为加上任意的次序关系。,由此所得顶点的线性序列称之为
6、拓扑有序序列,例如：对于下列有向图,可求得拓扑有序序列：A B C D 或 A C B D,反之，对于下列有向图,不能求得它的拓扑有序序列。,因为图中存在一个回路 B,C,D,如何进行拓扑排序？,一、从有向图中选取一个没有前驱 的顶点，并输出之;,重复上述两步，直至图空，或者图不空但找不到无前驱的顶点为止。,二、从有向图中删去此顶点以及所 有以它为尾的弧;,a,b,h,c,d,g,f,e,在算法中需要用定量的描述替代定性的概念,没有前驱的顶点 入度为零的顶点,删除顶点及以它为尾的弧 弧头顶点的入度减1,拓扑排序算法,Function topsort:boolean;P140 var i,cou
7、nt:integer;wadj:Arr3;/用来表示图的邻接表表头数组 indeg:Arr1;/一维数组，存储每个顶点的入度 p:wpointer;/链表，邻接表 q:queue;/队列q保存入度为零且未被排序的顶点 begin/算法依次对q的出队元素进行编号 topsort:=true;count:=0;makenull(q);/清空队列q fillchar(indeg,sizeof(indeg),0);/数组indeg存储每个顶点入度,/通过遍历邻接表，计算所有顶点的入度For i:=1 to n do begin p:=wadji;/顶点i的邻接表的第一个邻接点 while pnil d
8、o/依次为顶点i的所有邻接点入度加1 begin inc(indegp.v);p:=p.next;end;End;,/入度为0的顶点加入队列qFor i:=1 to n do if indegi=0 then enqueue(i,q);/入队/队列q的队首顶点出队，与该顶点邻接的顶点的出度减1While not empty(q)do begin i:=dequeue(q);inc(count);/计数器加1 ordi:=count;/ord数组存储顶点i的排序后的序号 p:=wadji;while pnil do/该循环将顶点i的所有邻接点入度减1 begin dec(indegp.v);if
9、 indegp.v=0 then enqueue(p.v,q);p:=p.next;end End,/入度为0的顶点数小于n时，存在环；否则图不存在环，且可进行拓扑排序，ord数组存储的就是排序后的序号If countn then begin writeln(graph is cyclic);topsort:=false;end;End;,拓扑排序应用,字母排序给定的一组字母，并在该组字母上定义偏序关系，确定该组字母能否按此偏序关系升序排序。,例如，有序序列A,B,C,D表示A B,B C and C D.在该问题中，给出一形如A B的关系集，并要求确定该序列是否有序。,如果有序，输出这个序列
10、，并输出是通过前多少关系得出的（即使之后的关系引出矛盾也不必理会）。如果存在矛盾，则输出前多少项出现的矛盾的。,具体思路：每输入一组偏序关系进行一次拓扑排序。如果存在回路，输出矛盾。在不存在回路的基础上，判断每次入度为0的点是否唯一，只有保证每次只有一个点入度为0，才能保证最终的序列唯一。,Input4 6/n=4表示字母数,2n26,m=6表示形如AB的偏序关 系数 AB/第1个偏序关系ACBCCDBDAB/第6个偏序关系 Output 4个关系后确定的有序序列：ABCD.,Input3 2/n=3表示字母数2n26,m表示形如AB的 偏序关系数 AB/第1个偏序关系BA/第2个偏序关系 Output Inconsistency found after 2 relations.,
