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1、矩 阵 论 电 子 教 程,哈尔滨工程大学理学院应用数学系,矩阵的对角化,若当标准型,第 三 章,二次型指的是数域P上的n元二次齐次多项式，它的研究起源于解析几何中化二次曲面的方程为标准形式的问题二次型不但在几何中出现，而且在数学的其它分支以及物理、力学中也常常会碰到在这一章里，我们用学过的矩阵知识来讨论二次型的一些最基本的性质,一,Hermite矩阵及基本性质引理:设,则(1)都是H-阵.,(2)是反H-阵.,如果 是可逆的H-阵,那么 也是可逆 的H-阵.如果 是H-阵(反H-阵),那么 是反H-矩 阵(H-阵),这里 为虚数单位.,如果 都是H-阵,那么 也是H-阵,这里 均为实数.(7
2、)如果 都是H-阵,那么 也是H-阵的 充分必要条件是:,二,Hermite矩阵的相关定理,定理1:设,则,(1)A酉相似与对角线都是A的特征值的对角阵,证明(2)因为A是正规矩阵,所以存在酉矩阵U,使得:,不妨假设,则有:,其中:,我们记,于是:,且:,证明:必要性,因为 是数,A 是H-阵,所以:,定理2:设,则 是H-阵的充分必要条件 是对于任意的 是实数.,所以:为实数,即:,设,则:,(2)取.则,由(1)知,(3)取,则,(1)取,则,由(2)所以,二,Hermite二次型(Hermite二次齐次多项式),定义:由 个复变量,系数为复数的二次齐次多项式,那么上面的Hermite二次
3、型可以记为 称为Hermite二次型对应的矩阵,并称 的秩为Hermite二次型的秩.,对于Hermite二次型作可逆的线性替换则,这里,在Hermite二次型中最简单的一种是只含有纯的平方项无交叉项的二次型,即:,我们称这种形状的Hermite二次型为标准形的Hermite二次型.,定理1:对于任意一个Hermite二次型,必存在酉线性替换,可以将Hermite二次型 化为标准形,其中 是H-矩阵 的特征值.,证明:因为 是Hermite矩阵,所以,其中:为实数,令:,定理2:设,的正惯性指数为,则存 在可逆的线性替换,使的Hermite二次 型 为规范标准型,例1:写出下面Hermite二
4、次型的 矩阵表达式,并用酉线性替换将其化为标准形.,解:,定义:对于给定的Hermite二次形,三,正定Hermite二次型与正定Hermite矩阵,则称该Hermite二次形为正定的(半正定的),并称相应的H-矩阵 为正定的(半正定的).,定理3:设,则 是正定的充分必要 条件是 与正线对角阵合同.即存在可逆阵 使得:,其中:,证明:充分性,令,所以,由P 的可逆性得,从而A是正定的,必要性:由定理1知 使得:,令:,因为,由P 的可逆性得 故,推论:设,若B与A合同,则B与A的正定 性相同,与正定的实二次形一样,关于正定的Hermite二次形我们有,定理4:对于给定的Hermite二次形
5、下列叙述是等价的:,是正定的.(是正定的)的特征值都是正实数.与单位阵合同(4)对于任何 阶可逆矩阵,都有:是正定的.,(5)存在可逆阵,使得:,判断下列Hermite二次形的类别,由于 又是酉矩阵,所以,例2 设 是一个正定的H-阵,且又是酉矩阵,证明:,这样必有,从而,例3:设 是一个正定的H-阵,是一个反H-阵,证明:与 的特征值实部为零.,证明:设 为矩阵 的任意一个特征值,则由于 是一个正定H-阵,所以存在可逆矩阵 使得,将其代入上面的特征多项式有,这说明 也是矩阵 的特征值.另一方面注意矩阵 为H-反阵,从而 实部为零.同样可以证明BA,例4:设 是一个正定的H-阵,是一个反H-阵
6、,证明:是可逆矩阵.,证明:由于 是一个正定H-阵,所以存在可逆矩阵 使得:,这表明 是可逆的.于是,另一方面注意矩阵 仍然为正定H-阵,而矩阵 为H-反阵,由上面的例题结论可知,矩阵 的特征值实部为零,那么矩阵的特征值中不可能有零,从而,所以,即 是可逆阵,(2)对于任何 阶可逆矩阵 都有 为半正定矩阵(3)的 个特征值全是非负的 存在 阶可逆矩阵 使得(5)存在秩为 的 阶矩阵 使得,定理5:对于给定的Hermite二次形 下列叙述是等价的:(1)是半正定的,定理6:设 则A是正定的充分必要条件是A的顺次主子式大于零,即:,例5 设 是一个半正定的H-阵且 证明:证明:设 为 的全部特征值
7、,由于 是半正定的,所以.于是有,将 代入即得,设 是一个半正定的H-阵且 是一个正定的H-阵,证明:,证明:由于 是一个正定的H-阵,所以存在可逆矩阵 使得这样有,注意矩阵 仍然是一个半正定的H-阵,从而,所以:,证明：（1）半正定H-矩阵之和仍然是半正定的;（2）半正定H-矩阵与正定H-阵之和是正定的;,证明：设 都是半正定H-阵，那么二者之和 仍然是一个H-阵，其对应的Hermite二次型为:,其中,由于 都是半正定H-矩阵，所以对于任意一组不全为零的复数,我们有,这说明 为一个半正定H-阵。类似地，可以证明(2)。,故 的根全为正实数,四,广义特征值,定理6:设,都是Hermite-阵,且B 是正定的,则A的相对于B的广义特征值 都是实数.,定理7:设,都是Hermite-阵,且B是正定的,则存在可逆阵 使得:,其中:是A相对于B的广义特征值,五,瑞利商,定义:设:,称:,为A的瑞利商,定理8:设 Hermite-阵A的瑞利商,则,(1)任意的,有:,(2),(3)任意的,其中:为A的特征值 的特征子空间,再见！,再见！,
