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1、设是数域F上 维向量空间V的一个线性变换，如果存在V的一个基，使得关于这个基的矩阵具有对角形式(1),7.6.1 什么是可对角化,则称可以对角化.,类似地,设A是数域F上一个n阶矩阵，如果存在F上一个n阶逆矩阵T，使得 具有对角形式（1）,则称矩阵A可以对角化.,7.6 可以对角化的矩阵,我们知道,可以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变换来研究矩阵，本节更多的通过线性变换来研究矩阵.,易证,可以对角化的充分必要条件是有 n个线性无关的本征向量构成V的基.,问题:在什么条件下有 n个线性无关的本征向量?,7.6.2 本征向量的线性关系,定理7.6.1 令是数域F上向量空间V的一个线性变换.
2、如果 分别是的属于互不相同的本征值 的本征向量，那么 线性无关.,证 我们对n用数学归纳法来证明这个定理当n=1时，定理成立.因为本征向量不等于零.设n 1,并且假设对于n1来说定理是成立的.现设 是的两两不同的本征值，是属于本征值 的本征向量：,如果等式,成立，那么以 乘（3）的两端得,另一方面，对（3）式两端施行线性变换，注意到等式（2），我们有,（5）式减（4）式得,根据归纳法假设，线性无关，所以,但 两两不同，所以 代入（3），因为 所以 这就证明了 线性无关.,推论7.6.1 设是数域F上向量空间V的一个线性变换，是的互不相同的本征值.又设 是属于本征值 的线性无关的本征向量,那么向
3、量 线性无关.,证 先注意这样一个事实：的属于同一本征值的本征向量的非零线性组合仍是的属于的一个本征向量.,由上面所说的事实，如果某一，则 是的属于本征值 的本征向量.因为互不相同，所以由定理7.6.1，必须所有 即,令,则,现在设存在 F中的数 使得,7.6.3 可对角化的判定,推论7.6.2 令是数域F上n维向量空间V的一个线性变换，如果的特征多项式 在F内有n个单根，那么存在V的一个基，使就关于这个基的矩阵是对角形式.,平行地即用矩阵的说法:,推论7.6.3 令A是数域F上一个n阶矩阵，如果A的特征多项式 在F内有n个单根，那么存在一个n阶可逆矩阵T，使,注意：推论的条件只是一个n阶矩阵
4、可以对角化的充分条件，但不是必要条件.,下面将给出一个n 阶矩阵对角化的充分必要条件.,定义：设是数域F上向量空间V的一个线性变换，是的一个本征值，令则有 因而是V的一个子空间.这个子空间叫做的属于本征值的本征子空间.,现在令V是数域F上一个n维向量空间，而是V的一个线性变换，设是的一个本征值，是的属于本征值的本征子空间，,这里 是一个s阶的单位矩阵.因此，A的特征多项式是,取 的一个基,由7.4，关于这个基的矩阵有形如,并且将它扩充为V的基，,由此可见，至少是 的一个s重根.,如果线性变换的本征值是的特征多项式 的一个r 重根，那么就说，的重数是r.设是的一个r 重本征值，而的属于本征值的本
5、征子空间的维数是s.由以上的讨论可以知道：,即的属于本征值的本征子空间的维数不能大于的重数.,定理7.6.2 令是数域F上n维向量空间V的一个线性变换，可以用对角化的充分且必要的条件是(i)的特征多项式的根都在F内;(ii)对于的特征多项式的每一根，本征子空间 的维数等于的重数.,证 设条件(i)，(ii)成立.令 是的一切不同的本征值，它们的重数分别是，有,在每一个本征子空间 里选取一个基.,由推论7.6.2，线性无关，因而构成V的一个基，关于这个基的矩阵是对角形式：,(6),反过来，设可以对角化，那么V有一个由的本征向量所组成的基.适当排列这一组基向量的次序，可以假定这个基是,而关于这个基
6、的矩阵是对角形（6）.于是的特征多项式,将上面的定理转化成矩阵的语言,就是:,推论7.6.4 设A是数域F上一个n阶矩阵，A可以对角化的充分必要条件是(i)A的特征根都在F内;(ii)对于A的每一特征根，秩这里s是的重数.,7.6.4 矩阵对角化的方法及步骤,先求出矩阵A的全部特征根.如果A的特征根都在F内，那么对于每一特征根，求出齐次线性方程组,的一个基础解系.,如果对于每一特征根 来说，相应的齐次线形方程组的基础解系所含解向量的个数等于的,重数，那么A可对角化，以这些解向量为列，作一个n 阶矩阵T，由推论7.6.1的证明可知，T 的列向量线性无关，因而是一个可逆矩阵，并且 是对角形矩阵.,对于特征根4，求出齐次线性方程组,的一个基础系,对于特征根 2，求出齐次线性方程组,的一个基础解系.,由于基础解系所含解向量的个数都等于对应的特征根的重数，所以A可以对角化.取,那么,练习 矩阵 可以对角化吗?,7.6 可以对角化矩阵,一、内容分布 7.6.1 什么是可对角化 7.6.2 本征向量的线性关系 7.6.3 可对角化的判定 7.6.4 矩阵对角化的方法及步骤二、教学目的 1掌握可对角化的定义与判断 2熟练掌握矩阵对角化的方法步骤三、重点难点 可对角化的判断与计算.,
