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1、专题16对角互补模型破解策略1全等型之“90”如图，AOBDCE90，OC平分AOB，则（1）CDCE；（2）ODOEOC；（3）证明方法一：如图，过点C分别作CMOA，CNOB，垂足分别为M，N由角平分线的性质可得CMCN，MCN90所以MCDNCE，从而MCDNCE（ASA），故CDCE易证四边形MONC为正方形所以ODOEODONNE2ONOC所以方法二：如图，过C作CFOC，交OB于点F易证DOCEFC45，COCF，DCOECF所以DCOECF（ASA）所以CDCE，ODFE，可得ODOEOF所以【拓展】如图，当DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则：（1）CDCE；（2）OEOD
2、OC；（3）如图，证明同上2全等型之“120”如图，AOB2DCE120，OC平分AOB，则：（1）CDCE；（2）ODOEOC；（3）证明方法一：如图，过点C分别作CMOA，CNOB，垂足分别为M，N所以易证MCDNCE（ASA），所以CDCE，ODOE2ONOC方法二：如图，以CO为一边作FCO60，交OB于点F，则OCF为等边三角形易证DCOECF（ASA）所以CDCE，ODOEOFOC，SOCDSOCESOCFOC 2【拓展】如图，当DCE的一边与BO的延长线交于点E时，则：（1）CDCE；（2）ODOEOC；（3）SOCDSOCEOC 2如图，证明同上3、全等型之“任意角”如图，AO
3、B2，DCE1802，OC平分AOB，则：（1）CDCE；（2）ODOE2OCcos；（3）SODCSOECOC 2sincos证明：方法一：如图，过点C分别作CMOA，CNOB，垂足分别为M，N易证MCDNCE（ASA）CDCE，ODOE2ON2OCcosSODCSOEC2SONCOC 2sincos方法二：如图，以CO为一边作FCO1802，交OB于点F易证DCOECF（ASA）CDCE，ODOEOF2OCcosSODCSOECSOCFOC 2sincos【拓展】如图，当DCE的一边与BO的延长线交于点E时，则：（1）CDCE；（2）ODOE2OCcos；（3）SODCSOECOC 2si
4、ncos如图，证明同上4、相似性之“90”如图，AOBDCE90，COB，则CECDtan方法一：如图，过点C分别作CMOA，CNOB，垂足分别为M、N易证MCDNCE，即CECDtan方法二：如图，过点C作CFOC，交OB于点F易证DCOECF，即CECDtan方法三：如图，连接DE易证D、O、E、C四点共圆CDECOE，故CECDtan【拓展】如图，当DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则CECDtan如图，证明同上例题讲解例1、已知ABC是O的内接三角形，ABAC，在BAC所对弧BC上任取一点D，连接AD，BD，CD（1）如图1，若BAC120，那么BDCD与AD之间的数量关系是什么？
5、（2）如图2，若BAC，那么BDCD与AD之间的数量关系是什么？解：（1）BDCDAD如图3，过点A分别向BDC的两边作垂线，垂足分别为E、F由题意可得ADBADC30易证AEBAFCBDCD2DEADBDCD2ADsin如图4，作EADBAC，交DB的延长线于点EDFBEOAC图4则EBADCA，所以BECD，AEAD作AFDE于点F，则FAD所以BDCDDE2DF2ADsin例2如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点F求证：PAPE；如图2，将中的正方形变为矩形，其余不变，且AD10，CD8，求AP
6、：PE的值；如图3，在的条件下，当P滑动到BD的延长线上时，AP：PE的值是否发生变化？图3ADBEPFCADBPCE图2ADPBEC图1解：如图4，过点P分别作PMAB，PNBC，垂足分别为M，N则PMPN，MPN90，由已知条件可得APE90，所以APMEPN，所以APMEPN故APPE图4ADPBECNM如图5，过点P分别作PMAB，PNBC，垂足分别为M，N则PMAD，PNCD所以BPMBDA，BNPBCD可得，所以易证APMEPN，所以图5ADBPCENMAP：PF的值不变如图，理由同图6ADBEPFCMN进阶训练1如图，四边形ABCD被对角线BD分为等腰RtABD和RtCBD，其中
7、BAD和BCD都是直角，另一条对角线AC的长度为2，则四边形ABCD的面积为_ABCD第1题图答案：四边形ABCD的面积为2【提示】易证A、B、C、D四点共圆，则BCABDAABDACD，由“全等型之90”的结论可得S四边形ABCDAC222在ABC中，ABAC，A60，D是BC边的中点，EDF120，DE与AB边相交于点E，DF与AC边（或AC边的延长线）相交于点F第1题图1AEFCDBAEFCDBN第1题图2如图1，DF与AC边相交于点F，求证：BECFAB；如图2，将图1中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与AC边的延长线交于点F，作DNAC于点N，若DNFN，求证：BECF（B
8、ECF）答案：略【提示】过点D作DGAC交AB于点G，证DEGDFC，从而BECFBEEGBGAB第1题答图1AEFCDBG过点D作DGAC交AB于点G，同可得BECFABDC，延长AB至点H，使得BHCF，则DHDFDE，从而BECFHEDEDN2DN，所以BECF（BECF）第1题答图2AEFCDBNHG3在菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，MONBCD180，MON绕点O旋转，射线OM交BC于点E，射线ON交CD于点F，连结EF如图1，当ABC90时，OEF的形状是_；如图2，当ABC60时，请判断OEF的形状，并说明理由；如图3，在的条件下，将MON的顶点移动到AO的中点O处，MON绕点O旋转，仍满足MONBCD180，射线OM交直线BC于点E，射线ON交直线CD于点F，当BC4，且时，求CE的长第3题图1ADBCOMEFNABCDOFEMN第3题图2ADBCOO第3题图3答案：等腰直角三角形；OEF是等边三角形；线段CE的长为33或33【提示】由“全等型之120”的结论可得OEOF两种情况，如图：第3题答图ADBCOOFNEMEMFN
