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1、矩阵对角化问题 高等代数中，在讲到线性空间和线性变换时，一个主要内容是讨论矩阵对角化,即在什么条件下矩阵与对角矩阵相似.而矩阵对角化的原始问题是：设是有限维复线性空间,是上的线性变换，能否在中找到一个基,使得在这个基下的矩阵比较简单.作为纯粹的几何问题就是能否分解成一些不变子空间的直和.讨论这个几何问题的证明对于了解线性空间有很大好处.本文将对分解成所谓根子空间的直和给出一种较为初等的证明，并由根子空间分解定理推出线性变换(或阶方阵)可对角化的充要条件.把这些充要条件与其他线性变换（或阶方阵）可对角化的充要条件进行汇总比较，从而得到线性变换的矩阵对角化的方法的优劣，便于学习和研究根据具体情况选
2、用.1预备知识1.1有关定义定义1.1.1 线性空间一个变换称为线性变换，如果对于中任意的元素和数域中任意数K都有 (+)=（）+（）(）= ()定义1.1.2 设是数域上的线性空间的线性变换，W是的子空间，如果W中的向量在下像仍在W中，换句话说，对于W中任一向量，有,我们就称是的不变子空间，简称-空间.定义1.1.3设,线性空间的子空间，如果和+中每个向=+,是唯一的,这个和就称为直和.定义1.1.4 如果数域上的阶矩阵A相似于对角阵，则可对角化定义1.1.5 设是数域上的阶矩阵，如果数域上的多项式使得= 0,则称以为根.在以为根的多项式中次数最低且首相系数为1的多项式称为的最小多项式.定义
3、1.1.6 设是数域上的维线性空间的线性变换，如果存在非零向量,数,N,使得，那么称为属于的根向量.线性变换的属于特征根的根向量的全体，再添上零向量所组成的的子集是的一个子空间，称的这个子空间为的属于特征值的根子空间.Sylvester不等式 设均为阶矩阵，秩（）+秩()+秩（）1.2 线性空间根子空分解定理引理 设是n 维复线性空间V 的线性变换, 是的所有不同的特征值,且其中是V 的全部根子空间,则在上为幂零线性变换,而在上为可逆线性变换.证明 不失一般性,只证明在上为幂零线性变换,而在上为可逆线性变换.在中取一个基 , 则有正整数 ,使 , i = 1，2，, t ,取p = max,
4、有, i = 1 ,2t,于是对任意，令,则 =( )= ,即在上, = (为零变换) ,所以在上为幂零线性变换.令W =,若不可逆,则一定有一个特征根是0 ,因而在W 上有属于特征根0 的特征向量 (W) ,即有 =0, 亦即(0). 又因W = ,所以有=,其中 ( i = 2 ,s) 于是有正整数,使 , i = 2 , s ,令,则() = = 0 , i = 2 , s,从而() = () + + (s) = 0 , 另一方面, 因为，又()= 这就导致了矛盾.所以在 上为可逆线性变换.定理1.2.1 (根子空间分解定理) 设是维复线性空间V的线性变换, 是的所有不同的特征值,是属于
5、 的根子空间, i = 1 ,2 , s ,则.证明 设的特征多项式为令 i = 1 ,2 , s , 则 互素, 于是有多项式 , 使, 将 代入上式, 得 ,(为单位变换), 任给 V ,有 =() = , 记, i = 1 ,2 , s ,于是.下面证明 , i = 1 ,2 , 因为,由哈密尔顿- 凯莱定理 (为零变换),于是有=（为零变换）即, i = 1 ,2, , s ,所以,又显然 ,故.再证明上面的和是直和,设, i = 1 ,2 ,s 由引理知在上为幂零变换，所以存在正整数 ,使得在上(为零变换),又由引理 ，在上为可逆变换,所以 在上也是可逆变换,于是0 =（）= +（）
6、=（）从而=0 ,于是 , i = 1 ,2 , s,由零向量的表法唯一知根子空间分解定理全部证完.运用根子空间分解定理可以推出一些矩阵对角化的充要条件.对角矩阵可以认你为是矩阵中最简单的一种，一些复杂的矩阵可以通过适当的方法化为对角阵.通过相应对角阵的研究学习,可以推知这些复杂矩阵的性质,促进对复杂矩阵的了解,简化很多复杂工作,给学习和研究带来很大方便.下面就矩阵对角化的充要条件作一详细论述.2. 矩阵可对角化的一些充要条件及矩阵对角化方法2.1 特征向量法定理2.1.1 设是维线性空间V的一个线性变换, 的矩阵可以在某一组基下为对角阵充要条件是, 有个线性无关的特征向量.证明 设在基下具有
7、对角阵.即 i=1,2n因此, 就是的个线性无关的特征向量.反过来,如果有个线性无关的特征向量,那么就取为基.显然, 在这组基下的矩阵是对角阵. 证 毕.例1. 设线性变换在基下的矩阵是(1), (2), 问A是否可以对角化?解 (1)因为特征多项式为=所以A的特征值是-1(二重)和5把特征值-1代入齐次方程组得 (1)解得基础解系是和因此属于-1的两个线性无关的特征向量是把特征值5代入(1)得基础解系,所以属于5的全部特征向量为则在基下的矩阵为B=(2) =，所特征值为1(二重)和-2.对应特征值1的特征向量为对应特征值-2的特征向量为由此知有两个线性无关的特征向量，由定理1知不能对角化.运
8、用此定理判定一个线性变换的矩阵是否可以对角化的方法简单易懂,但是过程比较繁琐.先计算一个行列式求出的特征值,再利用方程组和特征向量的有关理论及求法计算出是否有个线性无关的特征向量.计算过程容易出错.下面利用最小多项式给出一个线性变换的矩阵可角化的充要条件.此定理比定理2.1.1简洁实用2.2 最小多项式法引理 设A是一个对角阵A=，并设,的最小多项式为，那么A的最小多项式为的最小公倍数.证明 =，首先=0.因此能被A的最小多项式整除.其次.那么=0, =0,=0,因而，.并由此得.这样就证明了是A的最小多项式. 这个结论可以推广到A为若干矩阵组成的准对角阵的情形.即如果A=，的最小多项式为，i
9、=1,2,s.那么A的最小多项式为.定理2.2.1 数域P上级矩阵A与对角阵相似的充要条件为A的最小多项式是P上互素的一次因式的乘积.证明 根据引理的推广形式，条件的必要性是显然的. 下面证明充分性. 根据矩阵和线性变换之间的关系，我们可以定义任意线性变换的最小多项式，它等于其对应矩阵的最小多项式.所以只需证明,若数域上某线性空间V的线性变换的最小多项式是上互素的一次因式的乘积，则有一组特征向量做成V的基. 实际上，由于.由定理1.2.1同样的步骤可证，其中,把各自的基合起来就是V的基，而每个基向量都属于某个，因而是的特征向量. 证毕.推论 复数矩阵与对角阵相似的充要条件是的最小多项式无重根.
10、不利用定理2.2.1,该推论也可证明.下面给出令一种证明.证明 必要性设A相似diag，所以存在可逆矩阵T使,(为对角阵),从而,不妨是A的互不相同的特征根记因而 = =而 = = =diag=0所以=0.于是，但是没有重根，因而没有重根.充分性 设为最小多项式的互不相同的根,则由无重根=，于是=0令rank=，则dim=-,所以A共有个线性无关的特征向量并且显然.另一方面.因而又有，故.这就说明了有个线性无关的特征向量由定理2.1.1知可对角化. 证毕.例2. 判下列矩阵是否可以对角化. （1） （2）解（1）可求的A的特征多项式为由于的最小多项式为的因式，计算得,.而=0.因此的最小多项式
11、为.显然的最小多项式是实数域上互素的一次因式的乘积，从而由定理2.2.1知A可对角化. （2）可求得的最小多项式为=由于的最小多项式为的因式，计算得, =0.因此的最小多项式为.从而由定理2.2.1知不可对角化. 例3 =E,则与对角阵相似.(k=1，2)证明 由知A为多项式的零点，即=0.因的最小多项式，而无重根，所以无重根，故由推论知与对角阵相似.对于单纯的判断一个线性变换的矩阵能否对角化运用定理2.2.1及其推论是很简洁方便的，它部避免了运用定理2.1.1的繁琐过程.但是对于既要判定某个数域上的线性变换的矩阵是否可对角化，对于可对角化的矩阵又要求出相似变换矩阵及矩阵特征值的题目来说运用定
12、理2.2.1及推论是达不到要求的.而运用定理2.1.1虽然能达到要求但方法却很繁琐.下面给出的方法仅需利用矩阵的乘法运算便可判定一个矩阵是否相似与对角阵，并且在判定的过程中简洁的构造出相似变换矩阵完全不需解性方程组.2.3 矩阵的乘法运算法定理2.3.1 设为阶矩阵的全部相异特征值，其重数分别为，,则A与对角阵相似的充要条件是=0.(i=1,2,s)证明 必要性若A相似于阵对角阵，则存在可逆矩阵使得=,其中为阶单位矩阵（i=1,2,s）于是=,于是= 由于=0（j=1,2,s）.所以=0. 充分性 因为对于任何阶矩阵都存在可逆矩阵P，使得A= P,其中为jordan块(j=1,2,.,s).因
13、此要证可对角化，只要证=（j=1,2,s）,由于 =P所以若.则因P可逆而有（j=1,2,s）.又当时，可逆，所以，即(j=1,2,s)定理2.3.2 设时阶矩阵的全部相异特征根，其重数分别为，则于对角阵相似的充要条件是的秩为（j=1,2,s）. 证明 必要性 =其中分别是阶的零矩阵和单位矩阵（j=1,2,s）.由于P满秩且.所以=.充分性 用反证法假设不可对角化，则因几何重数代数重数，必至少存在一整数k使得，于是时.由sylvester不等式知 =矛盾.所以A可对角化.推论1 设为阶矩阵的相异的特征根，其重数为，则矩阵的列向量中由对应于的个线性无关的特征向量.证明 因可对角化，由定理2.3.
14、1得=0，=0.由此，中每一列非零向量都是方程组X=0解向量,即的特征向量.又有定理2.3.2知，所以的列向量组中有恰好对应于的个线性无关的特征向量.上述的结论表明，要构造可对角化矩阵A 的相似变换矩阵,完全可以不像传统的方法那样解方程组X=0，而只需对每一特征值（j=1,2,s）从矩阵乘积中直接找出个与对应的线性无关的特征向量，这样所得的个特征向量为列作一阶矩阵即可.推论2 若阶可对角化矩阵只有两个相异特征值（重）和（重），则矩阵（或的 (或)个线性无关列向量就是对应（或）的特征向量的极大无关组. 这一结论进一步表明，在可对角化矩阵只有2个相异特征值的情况下，不仅不需要解方程组，而且不需要计
15、算矩阵的乘积就可以把对应于不同特征值的特征向量立即求出.例4 求下列矩阵A相似变换矩阵. (1)= （2）=解 （1）的特征值=12，=3（二重）,由于,所以A可对角化，有推论2知的一个特征向量（取的第3列）的2个线性无关的特征向量故相似变换矩阵=，（2）A的特征值=-1(二重)，=5，=1，而=,由推论2可得的特征向量.的特征向量分别为于是相似变换矩阵为P=A=diag(-1,-1,5,-1).上文讨论了矩阵是否可对角化的判定及矩阵对角化方法问题，给出了简便易行的判定和求法.区别于传统的方法，定理2.3.1定理2.3.2及推论把矩阵对角化问题归结为矩阵的乘法运算，不需要解方程组就可以得到特征
16、向量及相似变换矩阵,但是上述方法都没有达到特征值，特征向量，相似变换矩阵同步求解的效果.下面引入-矩阵，改进在一般情形下矩阵对角化的方法，使判定和求解一步到位并得到矩阵对角化十分简单的方法，主要依据下面两个定理.2.4 引入-矩阵推出数字矩阵可对角化的充要条件定理2.4.1 设A是数域上的n阶方阵，为其特征矩阵E为n阶单位阵.如果经过初等变换化为对角阵,则A的特征值为的对角线上元素的乘积的多项式的根. （证明略）定理2.4.2 在定理2.4.1 的假设下，如果经初等变换化为,且为对角阵，则（1） 对于A的每个特征值，中与的零行对应的行向量生成属于的特征子空间.（2） 若A的特征值都在内，设为A
17、的全部不同的特征值，其重数分别为，则A可以对角化的充要条件是中零行的数目=的重数（i=1,2,s）证明 (1)因为与的秩为，则总有可逆的-矩阵,使.待添加的隐藏文字内容3即对施行对应的一些行初等变换和对应的一些列初等变换可使化为对角阵，有 (1)这里相当于初等列变换的右乘作用在而不作用于E.因为=，所以=.于是对A的每个特征值有=diag()设中有个零行，相应的个为0的对角元记为，取中对应的列向量,则 =0.因为可逆，所以 =0 （2）由于可逆，故列满秩，从而由（2）知正是属于的个线性无关的特征向量，再从（1）式，注意到中个非零行是行满秩的.由中定理1知属于的线性无关的特征向量就是中与的零行对
18、应的行向量，他们生成对应的特征子空间.(2) 可对角化秩=,即=（i=1,2,s） 证毕. 基于以上讨论我们不难得到矩阵对角化的简单方法，其步骤如下：(1)对作初等变换化为,其中，则A的特征值恰是=0的根.(2) 如果的特征向量全在P内，且对每个有中零行数目=的重数，则可以对角化，否则不可对角化.(3) 对于每个，在中取出与中零行对应的行向量得A属于线性无关的特征向量.(4) 若可以对角化，作可逆矩阵，则，为阶矩阵.例5 判定下列矩阵可否对角化，若可以求可逆矩阵T，使为对角阵.(1) = (2) =解 故的特征值是(二重),因中的零行数目的重数,故不可对角化.(2) 故的特征值为（2重根）,
19、.又中零行数=2=的重数；的零行数=1=的重数,故可对角化，且由= 可得出是A属于2的线性无关特征向量由=得是属于-4的线性无关的特征向量.令T=,则 参考文献1 北京大学数学系.高等代数.北京：高等教育出版社，第88版，1988. 2 许以超.代数学引论.上海：社会科学技术出版社，19663 钱吉林.矩阵及其广义矩阵.武汉：华中师范大学出版社. 4 王心介.高等代数与解析几何.北京：科学出版社,2002. 5 张远达.线性代数原理.上海：上海教育出版社，1980. 6 彭海明.对“矩阵特征值与特征向量同步求解方法探讨”的改进意见.数学通报，1993(2):45-47. 7 刘国洪.王宝智.利用矩阵的初等行变换对矩阵的特征值和特征向量同步求解,数学通报,1996,2.
