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1、 2014届学士学位毕业论文三对角矩阵的逆的算法及MATLAB实现学 号：12204431姓 名： 班 级：12级专升本班指导教师： 专 业：数学与应用数学系 别：数学系完成时间： 年 月学生诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的论文 是我个人在导师 指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得长治学院数学系或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名： 日期： 论文使用授权说明本人完全了解长治学院数学系有关保留、使用学位论文的规
2、定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。签名： 日期： 指导教师声明书本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。 学位论文指导教师签名： 时间 摘要三对角矩阵在现实生活中有很多的应用，因此三对角矩阵的计算近年来被广泛地研究。分块周期三对角矩阵在科学和工程计算方面应用广泛，块三对角矩阵和分块带状矩阵在数学、物理和工程上的很多问题中都有重要的应用。本文基于三对角矩阵的结构特点，给出了利用解线性方程组的方法、LU
3、分解的方法求三对角矩阵逆矩阵的新算法，这些新算法运算量小，节省内存，在整个计算过程中，只需要进行较少次的乘除运算，新算法比传统算法的计算复杂度和计算时间要低。 其次，通过算例来表示该算法的有效性和可行性。 最后，利用MATLAB编程来实现三对角矩阵逆矩阵的新算法。关键词：分块周期三对角矩阵；块三对角矩阵；分块带状三对角矩阵；解线性方程组；LU分解法；逆矩阵；MATLABTriple diagonal matrix inverse algorithm and MATLABAbstractTriple diagonal matrix in real life there are many appl
4、ications, so the triple diagonal matrix calculation was widely studied in recent years. Block periodic triple diagonal matrix is applied widely in science and engineering calculation, and the block triple diagonal matrix block banded matrices in mathematics, physics and engineering has important app
5、lications in many of the problems, in this paper, based on the structure characteristics of triple diagonal matrices, is given by using the method of solving linear equations, the recursive method, LU decomposition of the new method to calculate the inverse matrix of triple diagonal matrix algorithm
6、, the new algorithm computational complexity is small, save memory, in the whole computing process, only needs less arithmetic, a new algorithm than the traditional algorithm of computing complexity and computing time.Second by an example to show the feasibility and effectiveness of the algorithmFin
7、ally, using MATLAB to realize the triple diagonal matrix inverse matrix of the new algorithmKey words: Block periodic triple diagonal matrix; Block-triple diagonal matrix; Block banded triple diagonal matrix; Solution of linear equations; LU decomposition method; inverse matrix; MATLAB.目录1.引言52.基础知识
8、62.1 定义162.2 定义262.3 定义373.分块周期三对角矩阵逆的新算法73.1 分块三对角矩阵的一些性质73.2 求分块周期三对角矩阵逆矩阵的新算法104.块三对角矩阵的逆的算法114.1 块三对角矩阵的一些性质114.2 块三对角矩阵的逆134.2.1 块三对角矩阵逆的性质135.三对角矩阵逆元素的表示145.1 一般三对角矩阵145.2 用解线性方程组的方法求三对角矩阵的逆的算法165.2.1 基本原理与算法165.2.2三对角矩阵的逆矩阵的算法186.三对角矩阵逆的算法的MATLAB实现187.结束语188.参考文献18附录19致谢191.引言1.1 课题来源及选题意义三对角
9、矩阵是计算数学的重要组成部分。它是研究代数问题的三对角矩阵快速算法及有关理论的一门学科，它既涉及数学理论方面的研究，又涉及工程设计方面的研究。随着科学技术的发展和计算机的普及，矩阵理论和方法得到了越来越广泛的应用。在近代数学、工程技术、经济理论及管理科学中，大量地涉及到矩阵的理论，特别是一些具有特殊结构的三对角矩阵，相应的计算规模也越来越大。近十几年来，国防科技和国民经济建设的许多领域中就不断地提出了大型或超大型科学计算问题。由于矩阵在各个学术领域和重要应用课题中所起的不可替代的作用，故有必要对其进行细致的研究。科学技术和工程应用中需要进行大量地矩阵计算，而这些矩阵自身往往具备一些特殊的结构，
10、这既是本文所研究的一类重要而特殊的稀疏矩阵三对角矩阵的求逆问题，该类矩阵经常出现在信号处理、图像处理和数值分析等学科的一些应用问题中。在该类矩阵的有关研究中，求逆是一个重要的问题，且一直是人们的研究热点，目前已有一些研究三对角矩阵求逆的成果。由于在许多科学技术与工程应用中，经常会出现大量的三对角矩阵的逆的算法进行计算，所以我们有必要对三对角矩阵的逆的算法进行研究。1.2 研究现状对于三对角矩阵逆的算法及MATLAB实现，目前很多学者根据一些三对角矩阵的特殊结构，用不同的方法对三对角矩阵逆的算法及MATLAB实现做了很多研究，并取得一定的成就。例如2012年杜永恩，陆全，徐仲利用LU和UL分解，
11、并使用Sheman-Morrison-Woodbury 公式，得到一个求分块周期三对角矩阵逆矩阵的新算法(见2)；冉瑞生和黄廷祝利用LU和UL分解给出了两个绞形块分解，建立了一个块三对角矩阵求逆的算法（见3）；刘长河,刘世祥,汪元伦用解线性方程组方法得到求逆的算法（见5）；余承依,陈跃辉,赵立群利用周期三对角矩阵的结构特点,借助矩阵的Crout分解的方法给出了一种求三对角矩阵逆矩阵的的算法（见6）；车毅,徐仲,雷小娜利用递归方法给出了求分块周期三对角矩阵的逆矩阵的一种新算法（见7）；冉瑞生,黄廷祝,刘兴平等研究了具有Doolittle分解的三对角矩阵的求逆，得到一个求逆的算法(见8)。不少学者
12、研究了三对角矩阵的逆，并进一步给出了求三对角矩阵逆矩阵的新算法，而且新算法的计算量要比传统算法小，计算效率有显著提高，但其算法的实现还有待探究文中，为了讨论的方便，记三对角矩阵为（1.1）且定义n个数：=，=-（=2,n）。为方便起见，我们约定若, =1。.本文研究以求解分块周期三对角矩阵逆矩阵的新算法、块三对角矩阵逆矩阵的新算法、分块带状三对角矩阵求逆的算法、三对角矩阵逆元素的表示、稀疏矩阵的逆的算法，用算例来表示该算法的有效性和可行性。最后用MATLAB编程来实现三对角矩阵求逆矩阵的算法。2.基础知识2.1 定义1 阶矩阵 称为三对角矩阵. 如果，当. 2.2 定义2 设分块周期三对角矩阵
13、有如下形式：（2.1）其中，的元素，,都是阶方阵。若，则矩阵为分块三对角矩阵；若，矩阵中的元素，都是实数，则矩阵为周期三对角矩阵，且若，且，则矩阵为对称周期三对角矩阵。2.3 定义3 设块三对角矩阵具有如下形式（2.2）所有的块均是阶矩阵且非奇，负号仅是为了符号处理上的方便而添加的。设是的顺序主子矩阵，其中的所有对角块矩阵即是的对角块矩阵，。假定的所有顺序主子块矩阵，均非奇异。为了讨论的方便，设，其中是矩阵。3.分块周期三对角矩阵逆的新算法3.1 分块三对角矩阵的一些性质引理1 设是分块三对角矩阵，则可分解为：其中，可按：，计算。证明(1)因为所以 (2)因为= 所以 .引理2(Sherman
14、-Morrison公式) 设是阶可逆方阵，均是维列向量，则当且仅当时，是可逆的，且：引理3(Sherman-Morrison-Woodbury公式) 设是阶可逆方阵，,均为矩阵，则当且仅当可逆时，是可逆的，且：证明：令 则（3.1）令 则（3.1）式为 （3.2）在（3.2）式左右两端同时乘以 令，则（3.2）为 可得， 又所以 所以引理4 设是分块三对角矩阵，且是顺序主子阵可逆。设 存在，则存在4个矩阵： ， 均为阶方阵，使得：，或其中对所有的都有。且，可如下求得：给定，：（1），。（2），。（3），。（4），。其中，有引理1得到。3.2 求分块周期三对角矩阵逆矩阵的新算法给定阶可逆方阵,
15、,令, ,构造向量：, （3.3）则分块周期三对角矩阵可表示为：其中 （3.4） 由引理3的Sherman-Morrison-Woodbury公式可得：由此可得如下结论。若是如（2.1）所示的分块周期三对角矩阵，如（3.3）和（3.4）中定义，设可逆，则可逆的充要条件是可逆，且的元素可由如下算法计算得到：任意选定，可逆，。，给定， ， ， ， ，, .以上所得即为分块周期三对角矩阵的逆矩阵，当取时，分块周期三对角矩阵子块都是1阶的实数，则式（2）中的矩阵为周期三对角矩阵，根据以上算法可得到求周期三对角矩阵逆矩阵的新算法。4.块三对角矩阵的逆的算法4.1 块三对角矩阵的一些性质引理1 设是一个块
16、三对角矩阵，其中，均是阶矩阵。设 和存在。设存在，记为，其中均是矩阵，于是，即：（4.1）式中，和均是阶矩阵序列。引理2 设是一个形如式（2.2）的块三对角矩阵，则可以被分解为：（4.2）式中矩阵序列，可按下式计算：， （4.3）引理3设是一个形如式（2.2）的块三对角矩阵，则可以被分解为：（4.4）式中矩阵序列，可按下式计算：（4.5）下面给出的两个绞形块分解：引理4设是一个形如式（2.2）的块三对角矩阵，则可以被分解为：(4.6)式中（4.7）证明：用的列乘以的第行，可得；用的第行乘以的第列，并由矩阵迭代式（12）可得。同样，可给出 的表达式。用的第行乘以的第列，并由式（11）、（12）有
17、。设，可得。引理5设是一个形如式（2.2）的块三对角矩阵，则可以被分解为：（4.8）式中（4.9）4.2 块三对角矩阵的逆根据引理4，并注意和的特殊结构，易得引理6.4.2.1 块三对角矩阵逆的性质引理6设是形如式（2.2）的块三对角矩阵，设，的第列为：若 和均非奇，被称为“proper”。在此条件下，可给出矩阵序列, , 和的表达式，并可进一步给出他们的计算式。定理1设是形如式（2.2）的块三对角矩阵，设，形如式(4.8)，则对任一: , ， 证明：首先给出的第列，易知：， ， 注意到的特殊结构，第列的第一个和最后一个块元素、可分别表示为：，对照引理6，可得：于是由引理46有： 这样，由引理
18、1，有：，注意到上面的讨论仅给出了形如（4.8）式的矩阵的第列。然而，设，矩阵分解式（4.6）即是分解式（4.4），而设和，分解式（4.8）即是分解式（4.2）于是的第一列为： ，的第列可类似得到。易知，又由分解式（4.2）、（4.4），可得，。由定理1易得下面的矩阵计算式。定理2 引理1中的序列、和可按下面的迭代算式计算得到：， ， ， ， ， 5.三对角矩阵逆元素的表示5.1 一般三对角矩阵简记阶三对角矩阵为定理1 设满足 ； 其中 ； 则下列结论成立： 为非奇异。 可由下述快速算法求得。第一步 令 ， ；， ；， 第二部 计算 ， ；， 第三部 对于分别计算， 的逆元素可由下式给出：，
19、这里约定， 5.2 用解线性方程组的方法求三对角矩阵的逆的算法 5.2.1 基本原理与算法 设为三对角矩阵，非奇异，且，则每个方程组： （5.0）均为三对角方程组。这个方程组对应的齐次线性方程组同为：（5.1）由的非奇异性，可知方程组（5.1）只有零解。在方程组（5.1）中，取，由递推式得一向量（5.2）。其中，满足方程组（5.1）中的前个方程。在方程组（5.1）中，取，由递推式 (5.3)得另一个向量(5.4)。其中，满足方程组（5.1）中的最后个方程。现在，从方程组（5.1）中依次去掉第（）个方程，得个方程组：（5.5）对于（5.4）中的任一组方程组，由（5.2）所表示的向量的部分向量满足
20、其前个方程，(5.4)中向量的部分向量满足其中的后个方程。若，记，取 (5.6)若，取 (5.7)无论(5.6),(5.7)给出的均为非零向量。这样，对应于个方程组()()，可得出个非零向量。显然满足方程组(5.1)中除第个方程外的任何方程，而不满足第个方程，即当=1时， (5.8),当时， (5.9)当时， (5.10),事实上，若(5.8)(5.10)给出的某，则为方程组(5.1)的解，这与方程组(5.1)只有零解矛盾。于是，用上面的方法求出的个向量()分别是下列个方程组 （）之解，即 （）从而 （）为方程组（5.0）中第个方程之解，于是.5.2.2三对角矩阵的逆矩阵的算法 算法：1.输入
21、数组，2.取由公式(5.2)求出向量，取，由公式(5.3)求出向量3.对，若，取计算若，取.由(5.8)(5.10)求出.输出矩阵的第列.6.三对角矩阵逆的算法的MATLAB实现7.结束语8.参考文献1刘刚, 黄廷祝. 三对角与五对角Toeplitz矩阵求逆的算法J.纯粹数学与应用数学，2010,26(2):292-293.2杜永恩, 陆全, 徐仲. 求分块周期三对角矩阵逆矩阵的新算法J.计算机工程与应用,2012,48（17）:41-43.3冉瑞生, 黄廷祝. 块三对角矩阵的逆J.电子科技大学学报,2007(4),36(2) : 340-342. 4沈光星, 三对角矩阵求逆的快速算法和逆元素
22、的表示式J.应用数学学报，1995（10）,18(4)：511-517.5刘长河, 刘世祥, 汪元伦. 用解线性方程组方法求三对角矩阵的逆J.北京建筑工程学院学报,2004(9),20（3）:63-66.6余承依, 陈跃辉, 赵立群.求三对角和周期三对角矩阵逆矩阵的一种新算法J.长江大学学报(自然科学版),2010（3）,7（1）:126-128.7车毅, 徐仲, 雷小娜. 分块周期三对角矩阵逆矩阵的新算法J.纺织高校基础科学学报,2011（3）,24（1）:15-20.8冉瑞生, 黄廷祝, 刘兴平,谷同祥. 三对角矩阵求逆的算法J.应用数学和力学,2009（2）,30（2）:238-244.9赵立群. 一些稀疏矩阵的逆和行列式的计算D.漳州：漳州师范学院，2011.10崔喜宁. 第一十二届中国青年信息与管理学者大会论文集:A集C.西安：西安财经学院，2010.
