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1、第四章平面任意力系,4 平面任意力系,平面任意力系向作用面内一点的简化 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 物体系统的平衡静定和超静定问题 平面简单桁架的内力计算,4.1.1 力线平移定理,定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点O，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点O的矩。,力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。,4.1 平面任意力系向作用面内一点简化,说明：,MO,4.1.2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,4.1.2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,平面汇交力系力，R(主矢，作用在简化中心),平面力 偶 系力偶，MO(主矩，作用在
2、该平面上),平面任意力系,平面汇交力系+平面力偶系,其中平面汇交力系的合力为,平面力偶系的合成结果为,平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系的主矢。主矢与简化中心的位置无关。,4.1.2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化中心的位置有关。,4.1.2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O。这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩和简化中心的位置有关。,一物体的一端完全固定在另一物体上所
3、构成的约束称为固定端支座。,4.1.2.2 平面固定端约束,MA,YA,XA,RA,MA,4.2 平面任意力系简化结果分析,四种情况：(1)R0，MO0;(2)R 0，MO 0;(3)R 0，MO0;(4)R 0，MO0,(1)平面任意力系简化为一个力偶的情形,原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简化中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。,R 0，MO0,4.2 平面任意力系简化结果分析,(2)平面任意力系简化为一个合力的情形合力矩定理,如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面力系简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。,如果主矢和主矩均不等于零，此时还可进一步简化为一合力。如图,d,
4、R,R,MO,结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和。这就是平面任意力系的合力矩定理。,4.2 平面任意力系简化结果分析,FR,从图中可以看出,所以,由主矩的定义知：,结论：1、合力的大小等于线荷载所组成几何图形的面积。2、合力的方向与线荷载的方向相同。3、合力的作用线通过荷载图的形心。,4.2.2 平行分布线荷载的简化,1、均布荷载,2、三角形荷载,3、梯形荷载,可以看作一个三角形荷载和一个均布荷载的叠加,例 图示力系，已知：P1=100N,P2=50N,P3=200N,图中距离 单位cm。求：1、力系主矢及对A点之矩？2、力系简化最后结果。,解：,1
5、、建立坐标系,x,y,2、X=Fx=P3=200N,Y=Fy=P1+P2=100+50=150N,主矢,=36.9,A,B,C,x,y,2、简化最终结果,LA=,mA,主矢,主矩,最终结果,合力,大小：,方向:=36.9,位置图示：,方向：,=36.9,在A点左还是右？,4.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,4.3.1 平衡条件,平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即,4.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,4.3.2 平衡方程,即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零，所有各力对任一点之矩的
6、代数和等于零。上式称为平面任意力系的平衡方程。,由于,所以,解：以刚架为研究对象，受力如图。,解之得：,例1,例1 求图示刚架的约束反力。,A,P,a,b,q,P,q,FAy,FAx,MA,例2,例2 求图示梁的支座反力。,解：以梁为研究对象，受力如图。,解之得：,P,q,m,FB,FAy,FAx,例3,例3 悬臂吊车如图所示。横梁AB长l2.5 m，重量P1.2 kN，拉杆CB的倾角a30，质量不计，载荷Q7.5 kN。求图示位置a2 m时拉杆的拉力和铰链A的约束反力。,例3,解：取横梁AB为研究对象。,P,Q,FT,FAy,FAx,a,a,从(3)式解出,代入(1)式解出,代入(2)式解出
7、,例3,C,如果再分别取B和C为矩心列平衡方程得,有效的方程组合是：1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；2,4,5；3,4,5,例5,例5 求图示三铰刚架的支座反力。,解：先以整体为研究对象，受力如图。,可解得：,FAx,FAy,FBx,FBy,例5,再以AC为研究对象，受力如图。,解得：,FAx,FAy,FCx,FCy,例6,例6求图示多跨静定梁的支座反力。,解：先以CD为研究对象，受力如图。,再以整体为研究对象，受力如图。,FCx,FCy,FD,q,F,FAx,FAy,FD,FB,q,解得,例7,例7 求图示结构固定端的约束反力。,解：先以BC为研究对象，受力如图。,再以AB部
8、分为研究对象，受力如图。,求得,FB,M,FC,FB,FAy,q,F,MA,FAx,例4,例8 组合结构如图所示，求支座反力和各杆的内力。,解：先以整体为研究对象，受力如图。,解之得：,FD,FAx,FAy,F1,F2,F3,C,x,y,45,例4,再以铰C为研究对象，受力如图，建立如图坐标。,例12,例12 两根铅直梁AB、CD与水平梁BC铰接，B、C、D均为光滑铰链，A为固定支座，各梁的长度均为l2 m，受力情况如图所示。已知水平力F6 kN，M4 kNm，q3 kN/m。求固定端A及铰链C的约束反力。,M,FBy,FBx,FCx,FCy,解:(1)取BC分析,求得结果为负说明与假设方向相
9、反。,例12,(2)取CD分析,F,FCx,FCy,FDx,FDy,求得结果为负说明与假设方向相反。,例12,M,q0,FCx,FCy,FAy,MA,FAx,(3)取AB、BC分析,求得结果为负说明与假设方向相反，即为顺时针方向。,x,1,2,3,4,E,A,C,B,D,例13,例13 编号为1、2、3、4的四根杆件组成平面结构，其中A、C、E为光滑铰链，B、D为光滑接触，E为中点，各杆自重不计。在水平杆 2 上作用一铅垂向下的力 F，试证明无论力 F 的位置 x 如何改变，其竖杆 1 总是受到大小等于F 的压力。,F,解：本题为求二力杆（杆1）的内力FA1或FC1。为此先取杆2、4及销钉A为研究对象，受力如图。,F,FA1,FEy,FEx,FND,b,上式中FND和FNB为未知量，必须先求得；为此再分别取整体和杆2为研究对象。,FNB,例13,F,FAy,FAx,取整体为研究对象，受力如图。,FNB,x,取水平杆2为研究对象，受力如图。,代入（a）式得,FA1为负值，说明杆1受压，且与x无关。,F,FND,FCy,FCx,
