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1、16:41,1/35,第三讲 Matlab的变量与矩阵,16:41,2/35,一、变量,1、赋值语句变量=表达式其中表达式是用运算符将有关运算量连接起来的式子，其结果是一个矩阵 a=3+4i;b=5-sqrt(13)+exp(1.52)；C=1,3,4;D=This is a string;,16:41,3/35,2、内存变量的删除与修改who 显示工作内存中的变量、变量名whos 显示变量的详细信息，如维数、元素个数、占用字节clear 清除变量clc 清屏,16:41,4/35,二、矩阵的建立(1),1.直接输入法 最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素。具体方法如下：将矩阵的元
2、素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分隔。a1=1 2 3A2=1,2,3A3=1;2;3,16:41,5/35,二、矩阵的建立(2),2.行向量的建立 冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是：x=初值:增量:终值 x=e1:e2:e3 其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。x初值：终值 增量省略，则步长默认为1 t=0:0.01:10 n=1:100;,16:41,6/35,在MATLAB中，还可以用linspace函数产生行向量。调用格式为：linspace(a,b,n)其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n
3、是元素总数。显然，linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。,16:41,7/35,二、矩阵的建立(3),3.大矩阵的建立 法一：（1）在Command Window（命令窗口）里，向一个新变量赋“空”阵。A=；(2)在WorkSpace（工作空间口）中，双击该变量，打开数组编辑器,16:41,8/35,法二：由小矩阵或向量建立大矩阵。a1 1 1;2 2 2;b=3 3 3;c=a b 错 ca;b对,16:41,9/35,二、矩阵的建立(4),4.利用for end语句建立矩阵1）利用单层循环语句format rat%使用分数来表示数值 x=zeros(1,8);
4、%x是一个1行8列的零矩阵 for i=1:8,x(i)=1/i;end,16:41,10/35,2）利用多层循环语句 a=zeros(5,5);for i=1:5,for j=1:5,a(i,j)=1/(i+j-1);end end,16:41,11/35,二、矩阵的建立(5),5.利用M文件建立矩阵 对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个M文件。下面通过一个简单例子来说明如何利用M文件创建矩阵。例：利用M文件建立矩阵。(1)启动有关编辑程序或MATLAB文本编辑器，并输入待建矩阵：需要加方括号。(2)把输入的内容以纯文本方式存盘(设文件名为mymatrix.m)。(3)在MATL
5、AB命令窗口中输入mymatrix，即运行该M文件，就会自动建立一个名为ans的矩阵，可供以后使用。,16:41,12/35,三、矩阵的元素提取与拆分,1、用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。在MATLAB中，矩阵元素按列存储，先第一列，再第二列，依次类推。例如：A=1,2,3;4,5,6;A(3)ans=2 显然，序号(index)与下标(subscript)是一一对应的，以mn矩阵A为例，矩阵元素A(i,j)的序号为(j-1)*m+i。其相互转换关系也可利用sub2ind和ind2sub函数求得。,16:41,13/35,2、提取子矩阵(1)利用冒
6、号表达式获得子矩阵 A(:,j)表示取A矩阵的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩阵第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩阵第i行、第j列的元素。A(i:i+m,:)表示取A矩阵第ii+m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩阵第kk+m列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩阵第ii+m行内，并在第kk+m列中的所有元素。A(i,j,k,l,m,n表示取A矩阵的i，j，k行与l，m，n相交处的元素,16:41,14/35,四、初等赋值矩阵,zeros(m,n)建立m行，n列，元素值全为0的矩阵ones(m,n)m*n全1矩阵eye(m,n)%m*n单位矩阵rand（m，n
7、）01间均匀分布randn（m，n）均值0，标准差为1的正态分布,16:41,15/35,五、特殊矩阵(1),1、魔术矩阵 魔术矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。对于n阶魔术矩阵，其元素由1,2,3,nn共nn个整数组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数magic(n)，其功能是生成一个n阶魔方阵。magic（n）nn的魔术矩阵 magic（3）8 1 6 3 5 7 4 9 2 n0且不等于2,16:41,16/35,五、特殊矩阵(2),2、范得蒙矩阵 范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列
8、的点乘积。可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在MATLAB中，函数vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。vander(1,2,3,4)ans=1 1 1 1 8 4 2 1 27 9 3 1 64 16 4 1,16:41,17/35,五、特殊矩阵(3),3、希尔伯特矩阵 在MATLAB中，生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。通项为，使用一般方法求逆会因为原始数据的微小扰动而产生不 可靠的计算结果。MATLAB中，有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函数invhilb(n)，其功能是求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。a=hilb(4)a=1.0000 0.5000 0.3333
9、0.2500 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429,16:41,18/35,五、特殊矩阵(4),4、托普利兹矩阵 托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。生成托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x,y)，它生成一个以x为第一列，y为第一行的托普利兹矩阵。这里x,y均为向量，两者不必等长。toeplitz(x)用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵。toeplitz(1:3,1:2:5)ans=1 3 5 2 1 3 3 2
10、1,16:41,19/35,五、特殊矩阵(5),5、帕斯卡矩阵 我们知道，二次项(x+y)n展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵。函数pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。pascal(6)ans=1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 1 4 10 20 35 56 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 252,16:41,20/35,六、矩阵的算术运算,MATLAB的基本算术运算有：(加)、(减)、*(乘)、/(右除)、(左除)、(乘方)。注意，运算是
11、在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例。(1)矩阵加减运算 假定有两个矩阵A和B，则可以由A+B和A-B实现矩阵的加减运算。运算规则是：若A和B矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的加减运算，A和B矩阵的相应元素相加减。如果A与B的维数不相同，则MATLAB将给出错误信息，提示用户两个矩阵的维数不匹配。(2)矩阵乘法 假定有两个矩阵A和B，若A为mn矩阵，B为np矩阵，则C=A*B为mp矩阵。,16:41,21/35,(3)矩阵除法在MATLAB中，有两种矩阵除法运算：和/，分别表示左除和右除。如果A矩阵是非奇异方阵，则AB和B/A运算可以实现。AB等效于A的逆左乘B矩阵，也就是inv(
12、A)*B，而B/A等效于A矩阵的逆右乘B矩阵，也就是B*inv(A)。对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同，如3/4和43有相同的值，都等于0.75。又如，设a=10.5,25，则a/5=5a=2.1000 5.0000。对于矩阵来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系。对于矩阵运算，一般ABB/A。(4)矩阵的乘方 一个矩阵的乘方运算可以表示成Ax，要求A为方阵，x为标量。,16:41,22/35,七、矩阵的点运算,在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。点运算符有.*、./、.和.。两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进
13、行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。例：A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。A与B必须为同型阵列，或至少有一个为标量。对应于相应的元素 A=2 2;2 2 B=4 4;4 4;A.*B=8 8;8 8 B.A=16 1;16 16 A.B=2 2;2 2 A./B=0.5000 0.5000;0.5000 0.5000,16:41,23/35,八、逻辑运算,MATLAB提供了3种逻辑运算符：&(与)、|(或)和(非)一个逻辑运算函数：xor（异或）逻辑运算的运算法则为：(1)在逻辑运算中，确认非零元素为真，用1表示，零元素为假，用0表示。(2)设参与逻辑运算的是两个标量a和b，那么，a&
14、b a,b全为非零时，运算结果为1，否则为0。a|b a,b中只要有一个非零，运算结果为1。a 当a是零时，运算结果为1；当a非零时，运算结果为0。,16:41,24/35,(3)若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那么运算将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元素由1或0组成。(4)若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵，那么运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与矩阵同维的矩阵，其元素由1或0组成。(5)逻辑非是单目运算符，也服从矩阵运算规则。,16:41,25/35,九、关系运算,关系运算：=等于=不等于 大于=
15、大于等于如果成立，则为1；如果不成立，则为0在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最高，关系运算其次，逻辑运算优先级最低。例：C,16:41,26/35,十、矩阵分析(1),1、对角阵与三角阵 diag 产生或提取对角矩阵 diagonal：对角线 tril 产生下三角矩阵 triangle：三角形 low:下面 triu 产生上三角矩阵 up：上方,16:41,27/35,例：a=1:3;4:6;7:9adiag=diag(a)atril=tril(a)atriu=triu(a)b=a 2*abdiag=diag(b)btril=tril(b)btriu=triu(b),16:41,28/
16、35,十、矩阵分析(2),2、矩阵的转置与旋转 1）矩阵的转置 转置运算符是单撇号()。2）矩阵的旋转利用函数rot90(A,k)将矩阵A逆时针旋转90的k倍，当k为1时可省略。a=1 3 4 1 3 5 rot90（a，1）4 5 3 3 1 1,16:41,29/35,3）矩阵的左右翻转对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，依次类推。MATLAB对矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr(A)。4）矩阵的上下翻转MATLAB对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud(A)。,16:41,30/35,十、矩阵分析(3),3、矩阵特征运算 1）矩阵的秩矩阵线性
17、无关的行数与列数称为矩阵的秩。在MATLAB中，求矩阵秩的函数是rank(A)。2）矩阵的迹矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。在MATLAB中，求矩阵的迹的函数是trace(A)。,16:41,31/35,3）方阵的行列式把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对应的行列式的值。在MATLAB中，求方阵A所对应的行列式的值的函数是det(A)。4）矩阵的逆如果A是一个满秩方阵，A有逆矩阵AA1E，A1inv（a）,16:41,32/35,5）矩阵的伪逆如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个非满秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的
18、转置矩阵A同型的矩阵B，使得：ABA=ABAB=B此时称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。在MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是pinv(A)。,16:41,33/35,十、矩阵分析(4),4、矩阵的特征值与特征向量在MATLAB中，计算矩阵A（A必为方阵）的特征值和特征向量的函数是eig(A)，常用的调用格式有2种：(1)E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。(2)V,D=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。,16:41,34/35,例：a=1:3;4:6;7:9E=eig(a)V,D=eig(a)E=16.1168-1.1168-0.0000V=-0.2320-0.7858 0.4082-0.5253-0.0868-0.8165-0.8187 0.6123 0.4082D=16.1168 0 0 0-1.1168 0 0 0-0.0000,16:41,35/35,谢谢大家！,
