学案4转化与化归思想.ppt

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1、1.化归思想方法:就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段或方法将问题通过变换使之转化,进而 达到使问题解决的一种方法,在解决数学问题时,常 遇到一些问题直接求解较为困难,需将原问题转化为 一个新问题(相对来说,对自己较为熟悉)通过对新问 题的求解,达到解决原问题的目的.2.转化思想方法:是实现问题的规范化、模式化以便 应用已知的理论、方法和技巧,达到问题的解决,其 思维过程的形式如图.解题的过程就是“转化”的过 程,“转化”是解数学题的重要思想方法之一.,学案4 转化与化归思想,3.转化具有多样性、层次性和重复性的特点,为了实施有效的转化,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论;既可

2、以变换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,这就是多样性.转化原则既可以应用于沟通数学与各分支学科的联系,从宏观上实现学科间的转化,又能调动各种方法与技术,从微观上解决多种具体问题,这是转化的层次.而解决问题时可以多次的使用转化,使问题逐次达到规范化,这是转化原则应用的重复性.,问题,规范问题,原问题的解答,解答,问题转化,已知理论、方法、技巧,问题还原,1.函数y=sin4x+cos2x的最小正周期是（）A.B.C.D.解析,B,2.在直角坐标系中,O是坐标原点,动点P在直线x=3上运 动,若从动点P向Q点的轨迹引切线,则所引切线长的最小值为（）A.4 B.5 C.D.解析 点Q的轨迹是

3、以(-2,-2)为圆心,半径为1的圆,要使所求切线长最小,只要使圆心到直线x=3的距 离最短即可.,C,3.设椭圆(ab0)的半焦距为c,直线l过（0,a)和(b,0),已知原点到l的距离等于,则椭 圆的离心率为（）A.B.C.D.解析 直线方程为l:ax+by-ab=0,所以，变形为12e4-31e2+7=0,再解出.,B,4.设O是坐标原点,A(1,1),若B(x,y)满足，则 取最小值时,点B的个数（）A.1 B.2 C.3 D.无数个解析 点B（x,y）满足画出可行域如图阴影部分,又A(1,1),B(x,y),令=x+y=t，则由t得几何意义可知，当过圆中B1、B2两点时，t的值最小，

4、此时tmin=3,所以 取最小值时,点B的个数为2.,B,题型一 等与不等的转化与化归【例1】若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取 值范围.解 方法一（看成函数的值域）ab=a+b+3，即a1或a-3,又a0,a1,故a-10.当且仅当,即a=3时取等号.,又a3时，是关于a的单调增函数.ab的取值范围是9，+）.方法二（看成不等式的解集）a，b为正数，ab9.【探究拓展】将一个等式转化成不等式，是求变量取值范围的重要方法，通常利用函数的单调性解答此类问题，或者利用基本不等式解答这类问题.,变式训练1 已知三实数a,b,c成等比数列,且a+b+c=m(m是正常数)，求b的取值范围

5、.解 方法一 设三个实数为 由a+b+c=m,得,方法二 因为a,b,c成等比数列，所以b2=ac,又a+b+c=m,所以则a、c是关于x的方程x2-(m-b)x+b2=0的两个实数根,所以=-(m-b)2-4b20,题型二 正与反的转化与化归【例2】试求常数m的范围,使曲线y=x2的所有弦都不 能被直线y=m(x-3)垂直平分.解 由题意可知，m0，所以设抛物线上两点 关于直线y=m(x-3)对称，于是有：,因为存在x1R使上式恒成立，即12m3+2m2+10,也即(2m+1)(6m2-2m+1)0.因为6m2-2m+10恒成立,所以2m+10,所以.即当 时,抛物线上存在两点关于直线y=m

6、(x-3)对称.所以当 时,曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x-3)垂直平分.,【探究拓展】在进行正与反的转化时,一定要搞清楚 问题的反面是什么,就本题而言,它的反面是“至少 存在一条弦能被直线y=m(x-3)垂直平分”,进而将 问题转化成对称问题,在解答问题时,正难则反是转 化的一种有效手段.变式训练2 已知a、b、c(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.证明“不能同时大于”包含多种情形,不易直 接证明,可用反证法证明.假设三式同时大于，,a、b、c(0,1),三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a.这与假设矛盾，故原命题正确.,题型三

7、以换元为手段的转化与化归【例3】已知函数f(x)=1-2a-2acos x-2sin2x的最小 值为g(a).(1)求g(a)的表达式；(2)若g(a)=,求实数a的值,并求此时f(x)的最大值.解（1）f(x)=2cos2x-2acos x-2a-1 令t=cos x,则-1t1,(2)由题意分析得:只有 一种情况，所以令,其中-2a2,解得a=-1,此时,所以当cos x=1,即x=2k(kZ)时，函数f(x)的最大值为5.【探究拓展】通过换元将三角问题转化成较为熟悉的二次函数问题,应特别注意换元后t-1,1,应讨论二次函数的对称轴与区间-1,1的位置关系,才能快速、准确解答此题.,变式训

8、练3 求函数 的最大值和最小值.解 设t=sin x+cos x ZZ,题型四 常量与变量的转化与化归【例4】设f(x)是定义在R上的单调递增函数，若 f(-1-ax-x2)f(-2-a)对任意a-1,1恒成立，求实数x的取值范围.解 由题意知,-1-ax-x2-2-a,即(1-x)a-x2+10,令g(a)=(1-x)a-x2+1,所以原不等式等价于 解得x(-,-21,+)，所以实数x的取值范围是(-,-21,+).,【探究拓展】在解答这类问题时,往往是通过变换主元的方式，转换思维方式从而使问题的解答变得简洁、明快.变式训练4 已知二次方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0中的a为正整

9、数，问a取何值时此方程至少有一个整数根.解 原方程即是(x2+4x+4)a=2x+7，x=-2不是原方程的解，又a为正整数，即x2+2x-30，,解得-3x1.又x是整数且x-2,x=-3,-1,0,1,把它们分别代入原方程得又因为a为正常数，故当a=1或a=5时,原方程至少有一个整数根.,【考题再现】已知奇函数f(x)的定义域为实数集R,且f(x)在0,+)上是增函数,当 时,是否存在这样的实 数 m,使 对所有 的 均成立?若存在,求出所有适合条件的实 数m;若不存在,请说明理由.,【解题示范】解 由f(x)是R上的奇函数可得f(0)=0,再利用f(x)的单 调性,则可把原不等式转化为关于

10、 的三角不等式.f(x)在R上为奇函数,又在0,+)上是增函数,故 f(x)在R上为增函数,且f(0)=0.2分由题设条件可得,又由f(x)为奇函数,可得 4分f(x)在R上为增函数,6分,令 0t1.于是问题转化为对一切0t1,不等式t2-mt+2m-20恒成立.8分t2-2m(t-2),即又 10分 11分存在实数m满足题设的条件,12分,转化思想方法包含三个基本要素：1.把什么东西转化,即转化的对象；2.转化到何处去,即转化的目标；3.如何进行转化,即转化的方法.转化思想方法应遵循以下五条原则：1.熟悉化原则:将陌生的问题转化成熟悉的问题,以利 于我们运用熟悉的知识、经验和问题来解决.2

11、.简单化原则:将复杂问题转化成简单问题,通过对简 单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某 种解题的启示和依据.,3.和谐化原则:转化问题的条件或结论,使其表现形式 更符合数与形内部所表示和谐统一的形式,或者转化 命题,使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们 的思维规律.4.直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的 问题来解决.5.正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,应想到 考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题 获得解决或证明的可能性.,一、选择题1.已知向量a=(1,1),b=(x,-1),若a与b所成的角不是 锐角，则x的取值范围是（）A.(-,1)B.(-,1

12、C.(-1,1 D.(1,+)解析 假设a与b所成的角是锐角，则 得x1,所以a与b所成的角不是锐角时，x的取值范围是（-,1.,B,2.已知abc,a+b+c=0,当0 x1时,代数式ax2+bx+c的值是（）A.正数 B.负数 C.0 D.介于-1到0之间解析 由abc,a+b+c=0知a0,c0,令f(x)=ax2+bx+c,则f(0)=c0,f(1)=a+b+c=0,设m是f(x)=0的另一根，则 所以在区间(0,1)上,f(x)=ax2+bx+c0.,B,3.若直线2ax-by+2=0(a0,b0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则 的最小值是（）A.2 B.C.D

13、.4解析 圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=4，所以圆心为M(-1,2),半径R=2,则已知直线过圆心,即a+b=1,所以,D,4.设函数f(x)对于任意实数x都有f(x+1)=f(1-x)恒成 立，且方程f(x)=0有2 009个解，则这2 009个解的 和是（）A.0 B.-1 C.2 009 D.4 018解析 由题意可知,函数f(x)的图象关于直线x=1对 称,而方程f(x)=0有2 009个解,所以f(1)=0,即x=1是 它的一个根,其它根关于x=1对称,所以这2 009个解 的和是1 0042+1=2 009.,C,5.在RtABC中,C=90,BC=a,AC=b,则AB

14、C外接圆的半径为,运用类比方法,在四面体 SABC中,若SA、SB、SC两两垂直,SA=a,SB=b,SC=c,则四面体SABC外接球的半径R等于（）A.B.C.D.,解析 因为在四面体SABC中,有SA、SB、SC两两垂 直,则可以SA、SB、SC为棱把四面体补成长方体,所 以长方体的对角线长为,又因四面体 SABC与补成的长方体有相同的外接球，所以 答案 B,6.已知椭圆(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,P为椭圆上的一点,且|PF1|PF2|的最大值 的取值范围是2c2,3c2,其中 则椭圆的离心 率的取值范围为（）A.B.C.D.,解析 因为|PF1|+|PF2|=2a，即(|P

15、F1|PF2|)max=a2，所以2c2a23c2,答案 A,二、填空题7.=_.解析 原式=,8.已知a,b,x,yR,a2+b2=4,ax+by=6,则x2+y2的最小 值为_.解析 由题意可设 则 所以 即x2+y2=r2=,9,9.直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A、B两点并向抛物线 的准线作垂线.垂足分别为D、C，则梯形ABCD的面 积为_.解析 由 得x2-10 x+9=0,解得x1=9,x2=1,如图，梯形面积 S=(|AD|+|BC|)|CD|=(x1+x2+p)|y1-y2|=(9+1+2)2(3+1)=48.,48,10.已知函数f(x)满足f(1)=2,则f(1)f（2）f（2 009）=_.解析 由题意得，所以f(x)是以4为周期的函数，且f(1)f(2)f(3)f(4)=1，所以f(1)f(2)f(2 009)=1502f(2 009)=f(5024+1)=f(1)=2.,2,三、解答题11.设二次函数f(x)=x2+bx+c(b，cR),且对任意实 数（1）求证：b+c=-1；（2）求证：c3.证明(1)因 又 所以-1，1,则 即f(1)0,f(1)0,所以f(1)=0,即b+c=-1.(2)由(1)可知f(3)0,即9+3b+c0,又b+c=-1,所以9-3(1+c)+c0,即6-2c0,所以c3.,解,返回,