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1、目的：熟悉常见的两类集合的势，掌握其 基本性质。重点与难点：可数集合的性质，连续势的 性质。,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,一可数集合 定义 凡是与自然数对等的集称为可数集或可列集，凡与R1对等的集称为具有连续势。可数集性质：定理2 任何无穷集都包含一个可数子集。,证明：假设 是一个无穷集，任取，因 无穷，故 亦无穷，因此又可以从 中任取一个元素，显然，假如已从 中取出 个元素，则由 是无穷集知 仍是无穷集，从而可从中取出一个元素，由归纳法知可从 中取出互不相同得元素,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,排成一无穷序列：，显然 是 的可数子列。证毕。,
2、第3讲 势的定义-可数集合与连续势,定理3 可数集合的无穷子集仍是可数的。证明：假设 是可数集，是 的无穷子集，由定理2，含可数子集，于是，但，故，从而 也是可数的。证毕。,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,定理4 设 是可数集，是有限集或可数 集，则 可数。证明：由于 有限或可数，故 有限或可数，所以 可以写成，或，又因 可数，从而 可以写成，将 按如下方法排列：当 时，将 排成,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,当 将 排成无论哪种情形，显然都是可数的。证毕。,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,定理5 有限个或可数个有限集或可数集的 并仍是有限集或可数集。证明：不妨假设 是一列有限或
3、可数集（有限个集合情形证明相仿）。将 中元素排列成，（如果 是有限集，则排列成）。于是 表示 中的,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,第 个元素，记，则对任意自然数，满足 的数组 必为有限个，首先按 从小到大的顺序进行编号，即将 编为对每个，将 重新写成,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,即按第一个下标 从小到大的顺序排列，应该注意的是 中可能含一些重复的元素，暂且将重复元素留着，最后将 排成在上述序列中，去掉重复元素，则剩下的是有限集或可数集。证毕。,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,如果说 表示正整数，表示一个有限集与可数集之并的势，表示 个可数集
4、之并的势，表示可数个可数集之并的势，则定理5蕴含了下列各式：（1）（2）（3）（4）,定理6。证明：记，显然 是可数集，故 可数；同理每个 也可数，从而 可数，于是,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,是可数的，即。证毕。定理6告诉我们，尽管有理数全体在数轴上处处稠密，然而，它和自然数集却是对等的，这与我们的直觉是多么不同！,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,问题1：可数集合的性质与有限集合的性 质有何异同？其本质差别是什么？,前面已经看到，可数集是无穷集中势最小者，下面的命题指出，任一无穷集并上一个可数集不影响它的势。,第3讲 势的定义-可数集合与连续势
5、,命题1 假设 是无穷集，是可数集或有限集，则。证明：由 可数或有限知 也可数或有限，且，故不妨假设 与 不相交。由定理2知 含可数子集，不妨记为，则 仍可数，于是 与,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,对等，又 与自身对等，不妨设 是 与 的1-1对应，是 到自身的恒等映射，则令，易知 是,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,的1-1对应，从而。证毕。二无限集的特征 问题2:有限集与无限集的本质差别是否也 体现在一般的无限集？这种差别是 否正是无限集的特征？,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,命题2 是无穷集当且仅当它可以与其 真子集对等。证明：先证必要性，若 可数，则结论显然，故不妨设
6、 不是可数集，由定理2，含可数子集，由于 非可数，所以 仍是无穷集，由命题1立知,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,即 与其真子集 对等。为证充分性，我们要证，若 与其真子集对等，必是无穷集。假若不然，是有限集，不妨设为，与其真子集对等，记与 对等的真子集为，是 与 之间的1-1对应。则，注意,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,且因 是一一的，故对不同的，。故 是 中 个不同的元素，于是。然而。这说明。这个矛盾意味着 必是无穷集。证毕。,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,在例2中，我们已经看到 与 是不对等的，因此 是一个不可数集合，我们也知道 是最小的无穷集，所以。有一个很有意思的问题
7、，存不存在这样的集合，其势位于 与 之间？即。Cantor首先考虑了这个问题，但他未能解决。他猜测，没有这个中,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,间势，这就是著名的连续统假设，严格说来，至今没有人能证明是否存在这种势，但大家普遍承认Cantor的猜测，并将此作为集合论的一条公理。人们已经证明，这条公理与集合论的其它公理是相互独立的，换言之，无论是承认还是否认这条公理，都不会与其它公理发生冲突。,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,三具有连续势的集合例3 只要ab则。令 则 是(a,b)到 的一个1-1对应，故。显然当 的势均为C。同样 的势也为C。,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,第3讲
8、 势的定义-可数集合与连续势,定理7 如果 都是势小于或等 于 的集合，且其中至少有一个的 势是，则 的势是。证明：不失一般性，假设，令，则,因此一定存在 的子集，使，设 是 与 之间的一个11对应关系，定义，当。易见 便是 和 之间的一个11对应关系，因而。另一方面,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,，由Bernstein定理知 的势为。证毕。定理7实际是说，可数个势不超过 的集合之并，其势也不超过，用公式表示就是：。,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,以上看到的都是直线上的点集，平面内点集的势又有多大呢？我们先来看整个平面 的势。有一点是显然的，即。问题在于 是大于 还是等于。我们可以
9、把 看作，其中的元素是数组，由于 与 有相同的势，故 与 有相同的势，因而只需考察 的势。如果将 与 按适当顺序排成一个新的数，便,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,有可能将 与 的一个子集对等。不妨设。显然我们可以按下述方式来排列，即令。到 的这种对应关系是不是一对一的呢？如果 确定，对应的,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,显然也是唯一确定的，但是，用小数表示一个数，其表示法不一定唯一，比如1也可以表示成，因此，这里要作一个规定，即不允许出现只有有限个数字非零的情况，在这种规定下，表示法就唯一了。然后作对应关系,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,则是 到 的某个子集的11对应，故，进而，这说明。类似方法可证明下面的,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,第3讲 势的定义-可数集合与连续势,定理8。此处 指可数个 的笛卡尔积。,
