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1、第一章 行列式,一.二（三）阶行列式,二.排列与逆序,三.n 阶行列式的定义,四.行列式的性质,五.行列式按一行（列）展开,六.Cramer 法则,行列式概念的形成,行列式的基本性质及计算方法,（定义）,利用行列式求解线性方程组,本章主要讨论以上三个问题。,首先来看行列式概念的形成,问题的提出：,求解二、三元线性方程组,二阶、三阶行列式,引出,一.二阶与三阶行列式,1.二阶行列式,二元线性方程组：,由消元法，得,得,同理，得,于是，当,时，方程组有唯一解,为便于记忆，引进记号,称记号,为二阶行列式,其中，数,称为元素,为行标，表明元素位于第 行,为列标，表明元素位于第 列,注：,(1)二阶行列
2、式 算出来是一个数。,(2)记忆方法：对角线法则,主对角线上两元素之积 副对角线上两元素之积,因此，上述二元线性方程组的解可表示为,综上，令,则，,称 D 为方程组的系数行列式。,例1：,解方程组,解：,因为,所以,2.三阶行列式,类似地，为讨论三元线性方程组,引进记号,称之为三阶行列式,其中，数,称为元素,为行标，,为列标。,注：,(1)三阶行列式 算出来也是一个数。,(2)记忆方法：对角线法则,例：,对于三元线性方程组，若其系数行列式,可以验证，方程组有唯一解，,其中，,课堂练习：,P31 1.1 1.2,二.排列与逆序,定义1：,由自然数1，2，n 组成的一个有序数组称为一个n 元排列。
3、,例如：,1，2，3，4，5,5，1，2，3，4,5，3，2，1，4,都是数1，2，3，4，5的一个排列。,考虑：n个数的不同排列有 个。,n!,自然排列：,按数的大小次序，由小到大排列。,考虑：,n元排列中，自然排列只有一种,除此之外，任一n元排列都一定出现较大数码排在较小数码之前的情况。,定义2：,在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这两个数构成一个逆序。,一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的,奇排列：,逆序数为奇数的排列。,偶排列：,逆序数为偶数的排列。,逆序数,计算排列的逆序数的方法：,法1：,n个数的任一n元排列，先看数1，看有多少个比1大的数排在1前面，记为,
4、再看有多少个比2大的数排在2前面，记为,继续下去，最后至数n，前面比n大的数显然没有，,则此排列的逆序数为,法2：,n 元排列,的逆序数,法3：,例1：,求排列 3，2，5，1，4 的逆序数。,解：,（法1）,（法2）,（法3）,例2：,求排列 4，5，3，1，6，2 的逆序数。,课堂练习：,p32 1.3,加,（7）1，3，2n1，2，4，2n,（8）1，3，2n1，2n，2n2，4，2,思考 p32 1.4,考虑，在 1，2，3 的全排列中,有 个偶排列：,有 个奇排列：,123，231，312,132，213，321,3,3,一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各占一半,定义3：,把
5、一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换。,将相邻的两个数对换，称为相邻对换。,定理1：,对换改变排列的奇偶性。,（书p10定理1.2.1）,证明思路：,先证相邻变换，再证一般对换。,定理2：,时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占,一半，各为,个。,（书p11定理1.2.2）,证明：,设n个数的排列中，,奇排列有 p 个，偶排列有 q 个，,则 pqn！,对 p 个奇排列，施行同一对换，,则由定理1得到 p 个偶排列。（而且是p个不同的偶排列）,因为总共有 q 个偶排列，所以,同理,所以,三.n阶行列式的定义,观察三阶行列式,寻找规律：,1.三阶行列式是
6、3！项的代数和。,2.每一项都是 元素的乘积。,3.（每项的符号规律）,取自不同行、不同列的 3 个,其任一项可写成：,其中,是123的一个排列,当,是偶排列时，项,取正号,当,是奇排列时，项,取负号,二阶行列式有类似规律。,根据二、三阶行列式的构造规律，我们来定义n阶行列式,定义1：,n 阶行列式,指的是n！项的代数和，,其中每一项都是取自不同行、不同列的 n 个元素的乘积，,其一般项为,这里,是12n的一个排列,当,是偶排列时，项前面带正号,当,是奇排列时，项前面带负号,即,其中,表示对所有n元排列取和,注：,(1)当n=1时，一阶行列式,此处,不是a的绝对值，,例如行列式,定义表明，计算
7、n阶行列式，首先必须作出所有的可能的位于不同行、不同列的n个元素的乘积，把这些乘积的元素的第一个下标（行标）按自然顺序排列，然后看第二个下标（列标）所成的奇偶性来决定这一项的符号。,例1：,写出四阶行列式中含有因子,的项。,例2：,若,为四阶行列式的项，试确定i与k，使前两项带正号，后一项带负号。,例4：,计算四阶行列式,例3：,计算行列式,四个结论：,(1),上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）,(2),下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）,(3),（显然）,(4),符号定理：,令,是n阶行列式中的任一项，,则项,的符号等于,证明：,由行列式定义可知，确定项,的符号，,需要把各元素的
8、次序进行调动，使其行标成自然排列。,为此，我们先来研究若交换项（1）中某两个元素的位置时，其行标和列标排列的奇偶性如何变化。,对换任意两元素，相当于项（1）的元素行标排列及列标排列同时经过一次对换。,设对换前行标排列的逆序数为s，列标排列的逆序数为t。,设经过一次对换后行标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,由定理，对换改变排列的奇偶性,所以，,是奇数,也是奇数,所以,是偶数，,即,是偶数，,所以,与,同时为奇数或同时为偶数。,即，交换项（1）中任意两个元素的位置后，其行标和列标所构成的排列的逆序数之和的奇偶性不变。,另一方面，经过若干次对换项（1）中元素的次序，总可以把项（1）变为,所以,得
9、证。,由此，得行列式的等价定义,四.行列式的性质,性质1：,行列式与它的转置行列式相等。,称为D的转置行列式,证明：,则,由行列式定义,说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质 对列也成立，反之亦然。,性质2：,互换行列式的两行（列），行列式的值变号。,证明：,设,交换s、t 两行，得,s行,t行,由行列式定义可知，D中任一项可以写成,因为,（2）,（1）,显然这是,中取自不同行、不同列的n个元素的乘积，而且,（2）式右端的n个元素是按它们在,中所处的行标为自然顺序,排好的。因此,是,中的一项。,（3）,因为，排列,与排列,的,奇偶性相反，所以项（1）与项（3）相差一符号，这就证明了D的任
10、一项的反号是,中的项，同样可以证明,中的,任一项的反号也是D中的项。,因此，DD,记法,行列式的第s行：,行列式的第s列：,交换s、t两行：,交换s、t两列：,推论：,如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0。,证明：,把相同的两行互换，有DD，所以 D0,性质3：,用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数 k 乘此行列式。,推论：,行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面,记法,第s行乘以k：,第s列乘以k:,推论：,若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于0。,性质4：,即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。,性质5：,行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。,记法,数k乘第 t 行加到第 s 行上：,证明：,作,得,利用行列式性质计算：,目标,化为三角形行列式,例1：,计算,例2：,计算,例3：,计算,例4：,计算,注：,上述各例都用到把几个运算写在一起的省略写法，要注意各个运算次序一般不能颠倒，因为后一次运算是作用在前一次运算结果上。,例如：,课堂练习:,1.计算行列式,2.一个n阶行列式，它的元素满足,证明：当 n 为奇数时，此行列式为零。,4,1,
