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1、6.1 测量误差概述6.2偶然误差的特性6.3评定精度的指标6.4误差传播定律6.5等精度观测值的平差6.6 不等精度观测值的平差,第6章 误差理论的基本知识,6.1 测量误差概述,何谓误差？误差就是某未知量的观测值与其真值的差数。该差数称为真误差。即,式中i为真误差；Li为观测值；X表示真值。,1、仪器误差：测量工作中要使用测量仪器。任何仪器只具有一定 限度的精密度，使观测值的精密度受到限制。,2、观测者误差：由于观测者的视觉、听觉等感官的鉴别能力有一 定的局限，所以在仪器的安置、使用中会产生误差，如整平误差、照准误差、读数误差等。,6.1.1 测量误差的来源 产生测量误差的原因很多，其来源
2、概括起来有以下三个方面。,3、外界条件的影响：测量工作都是在一定的外界环境条件下进行的，如温度、风力、大气折光等因素，这些因素的差异和变化都会直接对观测结果产生影响，必然给观测结果带来误差。,通常把仪器条件、观测者的技术条件（包括使用的方法）及外界条件这三方面因素综合起来，称为观测条件。观测条件相同的各次观测称为等精度观测。相反，观测条件之中，只要有一个不相同的各次观测称为不等精度观测。,6.1.2 测量误差的分类,按测量误差对观测结果影响性质的不同，可将测量误差分为系统误差和偶然误差两大类：,1.系统误差 定义：在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大小和正负符号固定不变，或按一
3、定规律变化的误差，称为系统误差。,系统误差具有累积性，对观测结果的影响很大，但它们的符号和大小有一定的规律。因此，系统误差可以采用适当的措施消除或减弱其影响。,通常可采用以下三种方法：(1)观测前对仪器进行检校(2)采用适当的观测方法，例如正倒镜观测 法。(3)研究系统误差的大小，事后对观测值加以改正。,定义：在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，误差的出现的符号和大小都不一定，表现出偶然性，这种误差称为偶然误差，又称随机误差。例如，水准尺读数时的估读误差，经纬仪测角的瞄准误差等等。对于单个偶然误差没有什么规律，但大量偶然误差则具有一定的统计规律。,2.偶然误差,3、粗差定义：观测数据中存在
4、的粗大误差 粗差是由于作业人员的疏忽大意而造成的错误。例如，在观测时读错、记错等等，在观测结果中是不允许存在错误的。只要观测者认真负责和细心地作业，粗差是可以避免的。,在观测过程中，系统误差和偶然误差往往是同时存在的。当观测值中有显著的系统误差时，偶然误差就居于次要地位，观测误差呈现出系统的性质；反之，呈现出偶然的性质。因此，对一组剔除了粗差的观测值，首先应寻找、判断和排除系统误差，或将其控制在允许的范围内，然后根据偶然误差的特性对该组观测值进行数学处理，求出最接近未知量真值的估值，称为最或是值；同时，评定观测结果质量的优劣，即评定精度。这项工作在测量上称为测量平差，简称平差。,6-2偶然误差
5、的特性,设某个量的真值为X，对此量进行n观测，得到的观测值为L1，L2，Ln，每次观测发生的偶然误差（即真差）为1，2，n，则,(i=1，2，n),在观测过程中，不可避免会产生偶然误差，偶然误差是测量误差理论主要讨研究对象。根据偶然误差的特性对该组观测值进行数学处理，求出最接近于未知量真值的估值，称为最或然值(或称最或是值)。,对于单个偶然误差没有什么规律，但大量偶然误差则具有一定的统计规律。下面举一实例加以说明：,【例1】在相同的观测条件下，观测365个三角形的三个内角，由于存在偶然误差，使得每个三角形内角之和不等于真值180，用下式计算真差i：,把这365个真误差按其绝对值的大小排列，列于
6、下表：,对称性：绝对值相等的正负误差出现的机会相等；抵偿性：偶然误差的算术平均值趋近于零，即,1.有界性：在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；2.集中性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；,正态分布与标准差,直方图与误差分布曲线,在相同观测条件下所得到的一组独立观测的误差，当误差的总个数n足够大时，误差出现的可能性就趋于稳定。这就是说，在一定的观测条件下，对应着一种确定的分布，表示这种分布的曲线称为误差分布曲线。在概率论中，把这种误差分布称为正态分布,标准差参数 是观测误差的标准差（方根差或均方根差）,对偶然误差分布曲线形状的影响,愈小，曲线顶点愈高，误差分布比较密集
7、；反之较离散。,多余观测,为了防止错误的发生和提高观测成果的质量，测量工作中进行多于必要观测的观测，称为多余观测。例如，一段距离往返观测，如果往测必要的观测，则返测称多余观测；一个三角形观测3个角度，观测其中2个角为必要观测，观测第3个角度称多余观测。有了多余观测，观测值之间或与理论值比较必产生差值（不符值、闭合差），因此可以根据差值大小评定测量的精度（精确程度），当差值超过某一数值，就可认为观测值有错误，称为误差超限。差值不超限，这些误差认为是偶然误差，进行某种数学处理称为平差，最后求得观测值的最或然值，即求得未知量的最后结果。,6.3 评定精度的指标,观测值接近真值的程度，称为准确度。愈接
8、近真值，其准确度愈高。系统误差对观测值的准确度影响极大，因此，在观测前，应认真检校仪器，观测时采用适当的观测法，观测后对观测的结果加以计算改正，从而消除系统误差或减弱至最低可以接受的程度。一组观测值之间相互符合的程度（或其离散程度），称为精密度。一观测列的偶然误差大小反映出观测值的精密度。准确度与精密度两者均高的观测值才称得上高精度的观测值。所谓精度包含准确度和精密度。,打靶实例说明准确度与精密度两概念,数字的精度是取决于小数点后的位数，相同单位的两个数，小数点后位数越多，表示精度越高。因此，小数点后位数不可随意取舍。例如，17.62m与17.621m，后者准确到mm，前者只准确到cm。从这里
9、可知：17.62m与17.620m，这两个数并不相等，17.620m准确至毫米，毫米位为0。因此，对一个数字既不能随意添加0，也不能随意消去0。,1、中误差 根据数理统计推导中误差m为,式中：各偶然误差平方和，n偶然误差 的个数。,m表示该组观测值的中误差，它代表该组观测值中任一个观测值的误差。根据推导可知偶然误差分布曲线拐点的横坐标 拐=m这就是中误差的几何意义。,【例2】：甲、乙两组，各自在同精度条件下对某一三角形的三个内角观测10次，算得三角形闭合差i 如下：甲组：+30,-20,-40,+20,0,-40,+30,+20,-30,-10 乙组：+10,-10,-60,+20,+20,+
10、30,-50,0,+30,-10试问哪一组观测值精度高？,试解：计算甲乙两组的平均误差进行比较：,用平均误差衡量结果是：甲=乙。但是，乙组观测列中有较大的观测误差，乙组观测精度应该低于甲组，计算平均误差反映不出来，所以平均误差衡量观测值的精度是不可靠的。,正确解法：用中误差公式计算得:,2、极限误差（容许误差）,定义：由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超出一定的限值。这个限值就是 极限误差。,y,P（-m+m）68.3,P（-2m+2m）95.4,P（-3m+3m）99.7,在区间（-m，m）内偶然误差出现的概率值为68.3。说明大于一倍中误差的偶然误差出现的
11、概率为31.7。,在区间（-2m，2m）内偶然误差的概率值为95.4。说明大于二倍中误差的偶然误差出现的概率仅为4.6。,在实际测量中观测次数很有限，绝对值大于2m或2m的误差出现机会很小，故取二倍或三倍中误差作为容许误差（多采用2m），即,容=2m 或 容=3m,在区间（-3m，3m）内偶然误差的概率值为99.7。说明大于三倍中误差的偶然误差出现的概率仅为0.3。,对于衡量精度来说，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的质量。例如，测得某两段距离：一段长100m，另一段长200m，观测值的中误差均为0.02m。从表面上看，似乎二者精度相同，但就单位长度来说，二者的精度并不相同。这时应采用另一
12、种衡量精度的标准，即相对误差。,3、相对误差,相对误差是误差的绝对值与观测值之比，在测量上通常将其分子化为1的分子式，即,式中：K为相对误差,第1段：,第2段：,因此第2段精度高于第1段,相对中误差常用在距离与坐标误差的计算中。角度误差不用相对中误差，因角度误差与角度本身大小无关。,常用几种相对误差计算式：,6-4误差传播定律,在实际测量工作中，某些量的大小往往不是直接观测到的，而是间接观测到的，即观测其它未知量，并通过一定的函数关系间接计算求得的。,非线性函数,表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间关系的定律称为误差传播定律。,例如：h=a-b 线性函数,误差传播定律：,倍数函数：y=Kx
13、,则,【例4】：在1：500地形图上量得某两点间的距离dAB=51.2mm,其中误差 md=0.2mm，求该两点的地面水平距离DAB 的值及其中误差 mD。,1.倍数函数,DAB=25.6m 0.1m,（1）和差函数 y=x1x2 且x1、x2独立。则,【例3】：已知当水准仪距标尺75m时，一次读数中误差为（包括照准误差、气泡置中误差及水准标尺刻划中误差），若以二倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测n站所得高差闭合差的容许误差。,2.和差函数,【解】：水准测量每一站高差：,则每站高差中误差,观测n站所得总高差,则n站总高差h的总误差,若以二倍中误差为容许误差，则高差闭合差容许误差为,【例4
14、】：DJ6型光学经纬仪观测角度，瞄准误差为m瞄，读数误差为m读，求(1)观测一个方向的中误差m方；(2)半测回的测角中误差 m半(3)两个半测回较差的容许值容；,(1)观测一个方向的中误差m方 观测一个方向包含瞄准误差m瞄与读数误差 m读，,(2)半测回的测角中误差 m半,(3)两个半测回较差的容许值容,容=312=36 考虑到其他因素，测回法规定两个半测回较差的容许值 容=40,（2）当和差函数为 y=x1x2xn 设x1、x2、xn的中误差分别为m1、m2、mn时，则,即函数y的中误差的平方等于各观测值xi中误差的平方和。当x1、x2、xn为等精度观测值时，则 m1=m2=m3=mn=m此
15、时上式改变为,线性函数 y=K1x1+K2x2+.+Knxn,3.线性函数,即线性函数中误差的平方，等于各常数与相应观测值中误差乘积的平方和。,【例5】对某量等精度观测n次，观测值为l1、l2ln，设已知各观测值的中误差m1=m2=mn=m，求等精度观测值算术平均值x及其中误差mx。,【解】等精度观测值算术平均值x,上式表明，算术平均值的中误差比观测值中误差缩小了n倍，即算术平均值的精度比观测值精度提高n倍。测量工作中进行多余观测，取多次观测值的平均值作为最后的结果，就是这个道理。但是，当n增加到一定程度后(例如n=6)，M值的减小的速度变得十分很慢，所以为了达到提高观测成果精度的目的，不能单
16、靠无限制地增加观测次数，应综合采用提高仪器精度等级、选用合理的的观测方法及适当增加观测次数等措施，才是正确的途径。,上式可改写为,算术平均值x的中误差mx,【例6】经纬仪一测回测角中误差为m=9，求5测回平均值中误差为多少？欲使角度平均值中误差不大于3.5，问至少要测几个测回？,按公式：,上式作一些变换得：,n=7测回,一般函数,4.一般函数,【例7】测得两点地面斜距L=225.850.06m，地面的倾斜角=17301，求两点间的高差h及其中误差mh。,【解】根据题意可写出计算高差h公式为 h=Lsin,将上式微分转为中误差，上式可写成,现举2实例说明解题步骤：例1：量得圆半径R=31.3mm
17、，其中误差mR=0.3mm,求圆面积 的中误差。例2：某房屋,长边量得结果:800.02m,短边量得结果:40 0.01m 求房屋面积中误差。,误差传播定律应用总结,第一步：列出数学方程。例1：S=R2 例2：S=ab,第二步：将方程进行微分，例2有2个变量则须全微分。例1：dS=2R dR 例2：dS=a db+b da,第三步：将微分转为中误差。例1：mS=2 R mR=2 3.1416 31.3 0.3=59mm 例2：,一、未知量的最或然值 对某个未知量进行n次等精度的观测，其观测值分别为l1、l2、l3ln，将这些观测值取算术平均值x作该未知量的最可靠值，称为最或然值（或称最或是值）
18、，即,设某量的真值为X，观测值分别为l1、l2、l3ln，其相应的真差为1，2，3，n，则 1=l1-X 2=l2-X n=ln-X,6-5 等精度观测值的平差,将上式取和再除以观测次数n便得,式中x为算术平均值，显然,即当观测次数n无限多时，算术平均值x就趋向于未知量的真值X。当观测次数有限时，可以认为算术平均值是根据已有的观测数据所能求得的最接近真值的近似值，称为最或是值或最或然值，以它作为未知量的最后结果。,二、观测值中误差,当真值巳知时，真差可求得，则等精度观测值中误差m为：,通常未知量的真值无法求得，真误差 也是未知数，故不能直接用上式求出中误差。实际工作中，可利用各观测值的似真误差
19、vi来计算观测值的中误差。,观测值中误差：,li为观测值x为观测值的算术平均值,【例8】设对某角进行了5次同精度观测，观测结果如下表，试求其观测值的中误差，及最或然值的中误差。,观 测值,+3,0,+1,-3,-1,9,0,1,9,1,观测值中误差,最或然值中误差为,等精度双观测值的较差计算中误差,在边长观测中，一般采用往返观测，因此出现等精度双观测列，例如,相应双观测列之差：,如果观测是绝对正确的，那么每个差d都等于0，即d的真值为0。因此，d1、d2、dn可以认为是各差的真误差。按真差求中误差公式得,【例9】6条边长往返观测成果列于下表，求边长观测值的中误差为多少？,边长观测值的中误差m:
20、,表5-3 边长观测值的中误差计算表,6-6 不等精度观测值的平差,在对某量进行不等精度观测时，各观测结果的中误差不同。在不等精度观测中，因各观测的条件不同，所以各观测值具有不同的可靠程度。各不等精度观测值的不同可靠程度，可用一个数值来表示，该数值称为权，用P表示。“权”是权衡轻重的意思。观测值的精度高，可靠性也强，则权也大。,一、权的概念,设第一组观测了4次，观测值为l1、l2、l3、l4；第二组观测了2次，观测值为l1、l2。这些观测值的可靠程度度相同，则每组分别取算术平均值作为最后观测值。即,两组观测合并，相当于等精度观测6次，故两组观测值的最后结果应为,但对x1、x2来说，彼此是不等精
21、度观测。如果用x1、x2来计算，则上式计算实际是,从不等精度观点来看，观测值x1是4次观测值的平均值，x2是2次观测值的平均值，x1和x2的可靠性是不一样的，用4、2表示x1和x2相应的权，也可用用2、1表示x1和x2相应的权，分别代入上面公式，计算x结果是相同的。因此“权”可看作是一组比例数字，用比例数值大小来表示观测值的可靠程度。,设一组不同精度观测值为li，相应的中误差为mi，中误差愈小，可靠度愈大，即权愈大，故定义权为：,二、权与中误差的关系,式中m为任意常数，式中看出权与中误差的平方成反比。例如，不等精度观测值l1、l2、l3，其相应的中误差为m1=2、m2=4、m3=6，按上式计算
22、各观测值的权为：,由此可见，权是一组比例数字，值确定后，各观测值的权就确定。值不同，各观测值的权数值也不同，但权之间的比例关系不变。等于1的权称为单位权，而权等于1的观测值称为单位权观测值，单位观测值的中误差称为单位权中误差，上例中时，p1=1，即l1为单位权观测值，l1的中误差m1称为单位权中误差。,上例知：m1=2、m2=4、m3=6,【例10】设对某一未知量进行n次等精度的观测，求算术平均值的权。【解】设一侧回角度观测值的中误差为m。则算术平均值中误差为,n测回观测算术平均值的权：,由上例可知，取一测回观测值的权为1，则n测回算术平均值的权为n。可见角度观测值的权与其测回数成正比。,三、
23、不等精度观测值的最或然值-加权平均值,设对某量进行了n次不同精度观测，观测值为l1、l2 ln，其相应的权为p1、p2 pn，测量上取加权平均值为该量的最或然值x，即,四、不等精度观测值的精度评定,3.加权平均值的中误差,1.单位权观测中误差,2.观测值中误差,【例11】为求得P点高程，从已知三个水准点A、B、C向P点进行水准测量如图5-2。已知Ha=50.148m，Hb=54.032m，Hc=49.895m，A至P的高差hap=+1.535m，B至P的高差hbp=-2.332m，C至 P的高差hcp=+1.780m，路线长度 Lap=2.4km，Lbp=3.5km，Lcp=2.0km，求P点的高程最或然值及其中误差。,【解】表5-4 高程最或然值及其中误差计算表,单位权观测值中误差为:,P点高程最或然值中误差mx为：,
