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1、第三章 导数及其应用,3.1.1 变化率问题,很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的越来越慢从数学的角度，如何描述这种现象呢？,问题1:气球膨胀率,气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是：,用V 表示r得：,“随着气球内空气容量的增加，气球半径增加的越来越慢”的意思是：,随着气球体积的增大，当气球体积_时，相应半径的_越来越小.,增加量相同,增加量,当V从0增加到1L时，气球的半径增加了,当V从1增加到2L时，气球的半径增加了,r(1)-r(0)0.62(dm),气球的平均膨胀率为,r(2)-r(1)0.16(dm)
2、,气球的平均膨胀率为,动画,观看,第一次,第二次,0.62dm,0.16dm,观察小新接连两次吹气球时，气球的膨胀程度。,当V从0增加到1L时，,当V从1L增加到2L时，,可以看出，随着气球的体积逐渐变大，气球的平均膨胀率逐渐变小了。,当气球的空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？,思考,问题2 高台跳水,=4.05(m/s),=-8.2(m/s),平均速度,在某段时间内，高度相对于时间的变化率用_描述。,平均变化率的定义,如果上述两个问题中的函数关系用f(x)表示，那么问题中的变化率可用式子,上式称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。,习惯上记：,x=x2-x1,y=f(x
3、2)-f(x1),则平均变化率为,x2=x1+x,另一种形式,则平均变化率为,注意：1.式子 中x、y 是一个整体符号，而不是与x,y相乘。,2.式子 中x、y 的值可正、可负，但 的x值不能为0,y 的值可以为0,3.若函数f(x)为常函数时,y=0,4.变式,例1 已知f(x)=2x2+1(1)求:其从x1到x2的平均变化率；(2)求:其从x0到x0+x的平均变化率，并求x0=1,x=时，的平均变化率。,=2(x1+x2),=4x0+2x,当x0=1,x=时，,（1）计算函数改变量（2）计算自变量改变量,小结：求平均变化率的步骤：,y=f(x2)-f(x1),x=x2-x1,（3）平均变化
4、率为,练习：求函数y=5x2+6在区间2，2+x 内的平均变化率。,解：y=5(2+x)2+6-(522+6)=20 x+5x2,思考?,观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?,O,A,B,x,y,Y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1=x,f(x2)-f(x1)=y,直线AB的斜率,这是平均变化率的几何意义,小结：,气球平均膨胀率,平均速度,平均变化率定义,平均变化率几何意义,小 结:,1.函数f(x)从x1到x2的平均变化率：,2.函数f(x)从x1到x2的平均变化率平均变化率的几何意义：,直线AB的斜率,探究：,答:(1)不是。先上升，后下降。,(2)平均速度只能粗略的描述运动员的运动状态它并不能反映某一刻的运动状态。,计算运动员在0t 这段时间里的平均速度：v=_，思考下面的问题：(1)运动员在这段时间里是静止 的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员 的运动状态有什么问题？,0m/s,
