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1、研究课程标准 优化课堂教学,周 凯,数学教学应根据具体的教学内容，注意使学生在获得间接经验的同时也能够获得直接经验，即从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习，不断提高发现、提出问题和分析、解决问题的能力.,要点：1.教学活动要注重“课程目标”的整体实现2.注重对基础知识、基本技能的理解和掌握3.注重引导学生经历数学知识的形成和应用的过程,1.教学活动要注重“课程目标”的整体实现,数学教学不仅要使学生获得数学的知识技能，而且要把“知识技能”、“数学思考”、“问题解
2、决”、“情感态度”四个目标有机结合，从整体上实现课程目标.对此，无论是设计、实施课堂教学方案，还是组织各类教学活动，不但要重视学生获得知识技能，而且要通过创设问题激发学生的学习兴趣，通过充分展开“过程”引导学生独立思考和合作交流，感悟数学的基本思想.,案例1“零指数幂”的教学方案设计,“零指数幂”的教学应包括两个层面：（1）“零指数幂”教学的知识技能目标是了解零指数幂的意义，并会进行简单的计算.“零指数幂”的意义:a0=1（a0）是指数概念扩充过程中的一个“规定”，而不是“证明”（不是因为2323=23-3=20，2323=88=1，所以20=1）应确保学生能正确获得关于“零指数幂”的知识.（
3、2）虽然“零指数幂”的意义是一种“规定”，但教学中不能单纯地要求学生记住这个“规定”，并进行相应的操练，而应较为充分地展开“过程”，引导学生感悟这种“规定”的合理性.,引导学生经历以下探索过程：（1）提出猜想：20=1 通过计算2323提出问题：2323=88=1是简单的事实.但是，假如用同底数幂的运算性质，则2323=23-3=20，那么20是什么意义呢？这样，通过探索活动，数学面临了新的挑战（此时，学生一般能接受“20=1”的结论，于是提出猜想）.,（2）质疑这种猜想是否合理 采用如下途径引导学生探索猜想的合理性：用细胞分裂作为情境，提出问题：一个细胞分裂1次变2个，分裂2次变4个，分裂3
4、次变8个那么，一个细胞没有分裂时为几个？观察数轴上表示2的正整数次幂16、8、4、2的点的位置变化，有什么规律？,观察下列式子中指数、幂的变化，你发现了什么规律？24=1623=822=421=22？=1 这样，通过探索活动学生就能较充分地感受“20=1”的合理性.于是，做出“零指数幂”意义的“规定”：a0=1（a0）.,（3）验证这个规定与原有“幂的运算性质”是相容的、和谐的.如，运用幂的运算性质：a5a0=a50=a5；根据零指数幂意义的规定：a5a0=a51=a5.,这样，学生学习“零指数幂”将经历如下的过程：面对挑战提出猜想（“规定”）说明猜想的合理性做出“规定”验证这种“规定”与原有
5、知识体系的和谐性数学得到进一步发展.这样设计“零指数幂”的教学过程，能较为充分地体现数学自身发展的轨迹，有助于学生感受数学如何在自身的矛盾运动中，不断地得到发展.经历了这样的探索过程，学生就能借助学习“零指数幂”所获得的数学活动经验，科学地研究其他相关的数学问题.像这样，把学生在知识技能、数学思考、问题解决、情感态度方面的发展作为课堂教学的“聚焦点”，就把握了数学教学的本质，使学生学会数学地思考问题.,案例2 探索“垂线段最短”的性质,问题1 如图1，怎样测量跳远的成绩？图1 如图2，从人行横道线上 图2 点P处过马路，怎样走线路最短？你能把最短的线路画出来吗？,问题2 如图3，点P在直线l外
6、，点O、O1、O2、O3在直线l上，其中POl，PO叫做点P到直线l的垂线段.量出线段PO、PO1、PO2、PO3的长度.在这些线段中，哪一条最短？图3,问题3 如图4，P是直线l外一点，POl，垂足为O，O1、O2是l上任意两点.（1）在图中，画出所给图形沿直线l翻折后的图形；（2）你能说明POPO1，POPO2吗？图4,“问题1”是从生活实际提出问题，引导学生运用生活经验感知垂线段的性质；“问题2”是从数学内部提出问题，运用数学活动探索垂线段的性质；问题3是引导学生运用说理的方法证实垂线段的性质.这样，在引导学生探索垂线段性质的过程中，较为充分地经历了“观察、操作猜想、探索推理”的认识过程
7、.,一个数学问题的发现和解决，往往要经历观察、猜想、归纳、说理等思维过程，而这个过程实际上就是数学知识和数学思想的发生过程，是学生在获得数学基础知识、基本技能的同时获得基本数学思想和基本数学活动经验的过程，这也是我们进一步研究其他图形性质的一个带普遍性的认识过程.,2.注重对基础知识、基本技能的 理解和掌握,凡是基础的，都是重要的.“知识技能”既是学生发展的基础性目标，又是落实“数学思考”、“问题解决”、“情感态度”目标的载体.,对基础知识、基本技能的教学，要注重如下2点：（1）数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的联系；（2）在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操
8、作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理；（3）注重使学生掌握解决问题的数学思想方法.,案例3 探索“三角形的内角和”,发现结论：（1）任意画一个三角形，用量角器量出各内角的度数，并求它们的和；（2）把ABC的3个内角剪开（如图5），然后把它们的顶点重合在同一点C，拼成图6.你得到什么结论？这样，通过操作、探索活动，发现了三角形3个内角之间的数量关系.（图5）（图6）,证明结论的正确性：如图7，作BC的延长线CD，过点C作CEAB，1=B，2=A.1+2+ACB=1800，A+B+ACB=1800，即三角形3个内角的和等于1800.图7,证明“三角形内角和定理”的关键是“作BC的延长线C
9、D，过点C作CEAB”，这一添加辅助线的方法正是通过操作、探索活动得到的，这是解决问题的“源”.课程标准强调：在数学教学过程中，要鼓励学生自主探索和合作交流，引导学生从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，使学生能主动地获取知识.因此，操作、探索活动成了数学教学中不可或缺的重要组成部分.,案例4 用直尺和圆规 作一个角等于已知角,如何体现课标提出的“在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理”的教学要求，是教师必须思考的.“用直尺和圆规作一个角等于已知角”的关键是如何引导学生分析、归纳出：点B在量角器的边缘弧上，并且与点A的距离随角的大小
10、的确定而确定.,“教材”不是单纯的“知识点”的代名词.教材在呈现知识的同时，必须注重过程与方法（数学思考和解决问题）、情感与态度等方面的目标.“教教材”还是“用教材”，是区分教师专业化程度的标尺：“教教材”是传统的“教书匠”的特征；“用教材”才符合新课程、新教材倡导的理念，即教师要创造性地“用”教材进行教学.,案例5 探索圆心角、弧、弦之间的相等关系,教学中，应安排如下几个层次引导学生探究：第1层次：提出一种特殊情况：BAC的一边经过圆心，引导学生观察、思考.对于圆心O与BAC的特殊位置关系，学生运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”及“等边对等角”的知识，不难得出结论：BAC=
11、1/2BOC.对于这一特殊情况，应同样采用由特殊到一般的方法加以处理：先给出圆心角的一些特殊度数，求同弧上的圆周角的度数，由些猜想结论；再对圆心角的一般情况，用说理方式推证出结论.,第2层次：创设问题情境，展开探究过程.（1）如图8，所对 的圆心角有多少个？所 对的圆周角有多少个？请在图中画出所对的圆 心角和圆周角，并与同学交流.（图8）（2）设 所对的圆周角为BAC，除了圆心O在BAC的一边上外，圆心O与BAC还有哪几种位置关系？对于这几种位置关系，结论 BAC=1/2BOC还成立吗？,这里创设问题情境的目的有两个：（1）引导学生通过画图、观察、实践，认识到一条弧所对的圆心角只有一个，而一条
12、弧所对的圆周角有无数多个.（2）通过探究圆心O与BAC的位置关系，为分类研究圆周角与圆心角之间的数量关系做好铺垫.,第3层次：用说理的方法，分类研究圆周角与圆心角之间的数量关系，实现由特殊到一般，再由一般到特殊的转化（如图9、图10所示）.图9 图10,“圆周角定理”的说理过程体现了非常典型的分类、转化思想：从特殊入手（BAC 的一边经过圆心，对于圆心O与BAC的特殊的位置关系，引导学生观察、思考）发展到一般，而解决一般情况又要用到特殊的结论（将圆心O与BAC的位置关系分为3类，并通过作直径AD将BAC转化成两角的和或差，转化成特殊情况、特殊位置）.这就是由特殊到一般，再由一般到特殊的数学思想
13、方法.,对基础知识、基本技能的教学，要处理好以下几个关系：,（1）“预设”与“生成”的关系 所谓“预设”，是教师围绕教学目标，在系统钻研教材内容和认真分析学生的知、情等实际情况，以及对相关教学行为结果进行反思的基础上，对教学过程的规划和设想.“生成”相对于“预设”而言.在生成教学观下，课堂教学过程错综复杂，灵活多变，教学过程应随着教学情境的变化而变化.,如何看待“预设”与“生成”的关系？,预设是前提，凡是预则立，不预则废.预设是课堂教学的基本特性，是保证教学质量的基本要求.生成是预设的超越和发展.没有充分的预设，就不可能有有效的生成，但特别要注意避免远离教学目标的自由生成.教学应是以预设性为主
14、、生成性为辅的结构系统.预设性设计应考虑2个问题：一是“预设”应有弹性，应留有较大的包容性和自由度；二是“预设”应当是动态的，要考虑问题的开放带来的变化.（强调教师备课的作用）,教师在预设中要认真思考如下问题：学生是否已具备了学习新知识所必需的知识和技能以及相应的生活经验？哪些内容可以通过学生的预习来理解、掌握，不需要教师系统讲解？哪些内容是教学的重点、难点，需要教师在教学加以点拨、引导、讲解？哪些内容在教学中会引发学生的兴趣和思维，成为教学的兴奋点？这样，才能使预设具有针对性、开放性，使教师的教有效地促进学生的学.,教师应有一种本领：通过提问、交流，能把学生头脑中模糊的、甚至错误的认识“挤”
15、出来（这与有经验的医生，通过与病人的交流能把病根找到一样）.尽管这样的交流未必“顺畅”，可能会影响教师的“预设”，但这种课有生气，重实效，因为这种课能看到学生对问题的真正思维过程，从而强化对问题的分析过程、感悟过程.,（2）合情推理与演绎推理的关系,根据课程标准，“空间与图形”主要包括“空间观念”、“图形的运动变化”、“推理与证明”这3个主题.数学对发展推理能力的作用，人们早已认同并深信不疑.通过演绎推理培养学生的思维能力，通过推理确认图形的性质，是“空间与图形”学习的重要内容.,案例6 图11是一张正方形纸片，按图示尺寸把它剪成4块，按图12重新拼合.这4块能拼成一个长为13、宽为5的矩形吗
16、？为什么？图11 图12,“图11”的面积是64，而“图12”的面积是65，显然“图11”剪出的4块不能拼成一个长为13，宽为5的矩形.证明：如图13，过点D作AC的垂线，垂足为F.假设“图12”是矩形，那么“图12”的右下角应是直角，在“图13”中 有1+3=900.又2+3=900，所以1=2，ABCDEF.于是，根据相似三角形对应边成 比例，有，而这是不可能 的，即拼成的“图12”不是矩形.图13,这里，由于 误差很小，造成了我们视觉上的误差.这个例子从一个侧面说明：完全凭借直觉是不行的，还需要通过演绎推理来确认.,推理能力是学生的重要能力.基于此，即将公布的课程标准将标准（实验稿）中的
17、“图形的认识”、“图形与证明”这2个具体目标合并为“图形的性质”，这样在教材中就可以将合情推理与演绎推理融合起来，从余角、补角、对顶角起开始组织推理证明，避免教学上的“重复”.不过，“通过合情推理探索、推测图形的性质，运用图形的运动变化发现、确认图形的性质；通过演绎推理证明图形的性质”这一研究几何图形的思想方法，仍将会强化，不会回到旧教材的“学几何=学证明=学三段证”的老路子上去.,如何处理合情推理与演绎推理的关系？,课程标准对合情推理与演绎推理关系的表述为：在“空间与图形”的教学中，既要重视演绎推理，又要重视合情推理，在平面图形性质的教学中，应当组织学生经历操作、观察、猜想、证明的过程，做到
18、合情推理与演绎推理相结合.合情推理的实质是“发现”，关注合情推理能力的培养就是关注学生的创新能力.当然，由合情推理得到的猜想又需要通过演绎推理给出证明或举出反例.,学习“空间与图形”，不仅表现在从较复杂的图形中分解出基本图形，把握图形之间的相互转化关系，能根据图形的特征在逻辑上对图形关系进行分析、推理，还应表现在能运用图形形象地描述问题，利用直观进行思考，进行没有严格逻辑演绎体系的“形象化”的推理，而这种结合情境进行的思考，能直观地探索、确认图形运动变化的性质，获得研究图形的一种有效的方法.创新源于“问题”，往往发端于“直觉”.几何图形的直观形象为学生进行自主探索、创新活动提供了有利条件，解决
19、“图形与几何”问题，常常要运用观察、操作、运动变化等手段.,案例7 如图14，AB是O的直径，CD、EF是O的弦，且ABCD，ABEF，AB=10，CD=8，EF=6，求图中阴影部分的面积.（图14）（图15）思考方法 根据题设条件，运用有关面积计算公式直接求出图中阴影部分的面积有困难，于是对问题进行转化：（1）分别将点A、B沿直径平移到点O.由于ABCD，ABEF，于是图中阴影部分的面积转化为扇形COD、扇形EOF的面积（如图15）.,（2）将扇形EOF绕点O按逆时针 方向旋转，使OF与OD重合.由 题设条件AB=10，CD=8，EF=6，得旋转后的两个扇形构成一个 半圆（如图16），这样就
20、可以 求出图中阴影部分的面积.图16 让图形“动”起来是研究图形的好方法.“图形与几何”学习的本质就是研究图形在运动变化过程中的不变的关系.,3.注重引导学生经历数学知识 的形成和应用的过程,遵照课程标准，在课堂教学中应确立如下基本理念：学与教一定是一个整体：学生应该听的听到没有；该由学生做的做了没有；该由学生说的说了没有.教的关键是听与适度的点拨；学的关鍵是说与做.（有些课上学生不该听的也许听了很多）；课堂上哪些东西是学生该听、该做、该想、该说的，教师应该是明白的.,这里透着一个重要思想：要把教学作为一个过程来进行，而不是仅作为结果来进行.教学中，学生迫切想知道的是对问题的思维过程，而不是老
21、师抛给学生的结果.因为，教师备课中已经探究到了的问题，对教师来说是已知，对学生则是未知的，上课时，教师把自己思维过程中失败的部分隐瞒了，把最有意义、最有启发的东西抽掉了，学生看到的只是教师成功的结果（这对学生来说似乎是天上掉下来的），看不到教师失败、思维受阻与挣脱困境的过程，这对学生来说根本无法迁移.教学中，教师要注重营造主动学习、自主探究的学习氛围，注重引导学生经历数学知识的形成和应用的过程.,“创设情境”和“自主探索”是展开数学知识的形成和应用过程，落实课程总体目标的主要教学方式.“问题情境”是否“好”，一般是相对的，主要是看是否切合学生实际，是否对学生认识问题有帮助；是否能体现通俗性、切
22、实性、适度性（学生易接受）.情境创设对比 从生活中提出问题情境 从数学内部提出问题情境,课程标准强调：“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.”数学探究是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程.探究学习应渗透在教学过程中，要更多关注学生的探究的习惯、探究的意识、探究的方法，更多关注学生探究的过程而不是结果.探究活动应成为数学课堂教学的常态.,案例8 让学生体验探究活动的困难点,在“勾股定理”习题课上，教师出了一道题：如图17，在ABC中，AB=4，AC=5，BC=6，求BC边上的高AD.学生读题后，教师问：“设BD=x，则CD等于多少？”学生答：“CD=6-x.”教师：“
23、请同学们自行求解.”图17 为什么问这样的问题？教师的意图很明显：此题若设AD=x，则,这样解 题就会发生困难.,教师的“担心”正是解题的“关键”，这就是当前学生为什么“上课听得懂，自己不会做”、“题目穿肠过，精神实质心中留不住”的根源！要让学生体验探究活动的困难点，然后再通过教师的点拨，使学生体会“关键点”，认识到困难在何处？如何避难就易？探究活动的“价值”不但是获得知识，而且应引导学生在探究的过程中感受数学思想，获得数学活动经验.,案例9 探索“三角形中位线的性质”,学生对“三角形中位线的性质”的探索、证明存在如下难点：（1）课标末列入“经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边”
24、的教学内容，这实际上是“三角形中位线的判定定理”.这样，在三角形中位线的性质的探索、证明中，就不能抓住三角形中位线的判定与三角形中位线的性质的内在联系，进行探索、证明.（2）如何分析辅助线添加的方法，探索辅助线添加的“源”.,问题情境：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？操作探索：（1）在三角形纸片ABC中，分别 取AB、AC的中点D、E，连接DE；（2）沿DE将ABC剪成两部分，并将ADE绕点E旋转1800，得四 边形BCFD（如图18）.四边形BCFD是平行四边形吗？图18,这样，通过问题情境“怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边
25、形”的操作、探索活动，就分析出了添加辅助线的方法，找到了解决问题的“源”,感悟了其中的数学思想，获得了数学活动的经验.探究活动能有序展开的关键是“问题”的设计：既要关注探究过程的“路”，又要关注探究思维的“度”.,开展探究活动应注意以下几点：（1）鼓励学生在独立思考的基础上，与他人合作交流.没有每个学生的独立思考，合作交流就缺乏基础；没有同学间的合作交流，个人的思考有时难以深入.（2）课堂教学是在有限时间内完成特定任务的一种认知活动，必须把握好学生自主探究的时间和探究思维的难度.,（3）给学生自主探究足够的“自由度”.如果探究活动仅是为了让学生得到教师预设的“结果”，那么这样的探究就失去了本来的意义，因为“过程”本身就是目标.（4）处理好“探究”与“示范”的关系.对学生的探究活动，教师不但要给予启发、引导，而且应适时地进行归纳，明晰探究所得到的结论并给出“示范”.,谢 谢！,
