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1、2023/8/7,第三章 真空中静电场的基本方程,2023/8/7,3.1 基本物理量,3.1.1.场源:电荷,线电荷密度,面电荷密度,体电荷密度,其位置用坐标(x,y,z)或表示为,2023/8/7,3.1.2.场量:,描述场的特性的物理量,(1).电场强度,(2).电位移矢量,描述介质特性的物理量,真空中的介电常数,介质的相对介电常数,纯数,没有单位,2023/8/7,3.2 真空中静电场的基本方程,3.2.1.基本方程,(2).环流定理,(1).高斯定理,(3).特性方程,本构关系式,(积分形式),2023/8/7,3.2 真空中静电场的基本方程,2.基本方程,(2).环流定理,(1).
2、高斯定理,(3).特性方程,本构关系式,(微分形式),面S任意,高斯定理散度定理,斯托克斯定理,2023/8/7,例 用高斯定律求无限长线电荷l在任意P点产生的电场强度。,解:过P点做如图所示同轴柱形高斯面,由电荷的对称性分析可知电场分布具有轴对称性,柱侧面上各点电场强度大小相等,3.1,3.2,3.4,3.7,2023/8/7,3.3 电位,在静电场中，某点P处的电位:,把单位正电荷从P点移到参考点Q的过程中静电力所作的功,电位参考点Q:,(a)任选,(b)当电荷不延伸到无穷远处时，一般把参考点Q选在无限远处,点电荷的电位表达式为:,带电体的电位表达式为:,3.3.1.定义：,2023/8/
3、7,电位与场强的关系,1.积分形式,2.微分形式,梯度沿标量函数升高的方向,-号:,电场强度沿电位降低的方向,2023/8/7,电偶极子,根据点电荷电位的表达式，,设每个电荷的电量为q，它们相距为d，,电偶极子是指相距很近的两个等值异号的电荷。,选用球坐标来求电偶极子在点P的电位及电场,电偶极子在P点的电位为,2023/8/7,定义电偶极矩矢量:,当两电荷之间距相对于到观察点的距离非常小,r1,r2,r三者近乎平行，因此r1-r2d cos，r1r2rr，,电矩大小 为p=qd,方向由负电荷指向正电荷，,则P点的电位可以写成下列形式:,电偶极子,将其代入上式得电偶极子的电位:,2023/8/7
4、,电偶极子在P点处的电场强度:,电偶极子的电场线,电偶极子,因为,而且,2023/8/7,3.8 电介质的极化 极化强度,3.81.理想电介质（Ideal Dielectric）,内部没有自由电子，它的所有带电粒子受很强的内部约束力束缚着，因此称为束缚电荷(Bound Charge)。,3.8.2.分类,无极分子:,无极分子正负电荷的作用中心是重合的,有极分子:,有极分子正负电荷作用中心不重合,形成电偶极子,由于分子的热运动，不同电偶极子的偶极矩的方向不同，,宏观角度看，所有分子的等效电偶极矩的矢量和为零,对外不呈现电性。,2023/8/7,3.8.3.电介质的极化(Polarized),在外
5、加电场力的作用下,等效电偶极矩的矢量和不再为零.,(1)无极分子正、负电荷的作用中心不再重合,位移极化,(2)有极分子的电矩发生转向,转向极化,极化的结果是在电介质的内部和表面形成极化电荷，,极化电荷在介质内激发出与外电场方向相反的电场，,从而使介质内的电场不同于介质外的电场。,2023/8/7,3.8.4.极化强度矢量(Polarization Intensity Vector),介质在外电场作用下发生了极化，,为了描述介质极化的状态，引入极化强度矢量,在极化电介质中取一小体积V,V内的电偶极矩总和:,极化强度矢量:,单位体积内的电偶极矩和,极化强度也可以表示为:,:V内分子的平均偶极矩，,
6、N:每单位体积内的分子数，,在线性、均匀、各向同性的介质中,每个分子的电矩:,极化强度与电场强度满足下列关系:,2023/8/7,束缚面电荷密度,束缚体电荷密度,2023/8/7,若媒质参数与场强方向无关,称为各向同性(isotropic)媒质;,若媒质参数与场强大小无关,称为线性(linear)媒质;,若媒质参数与位置无关,称为均匀(homogeneous)媒质;,若媒质参数与场强频率无关,称为非色散媒质;反之称为色散(dispersive)媒质。,2023/8/7,3.9 介质中的高斯定理 边界条件,任意媒质中电通量密度为,根据:,可得:,在任意介质中，高斯定理:,2023/8/7,3.9
7、.2 不同媒质分界面上的边界条件,(1)电通量密度的法向分量,媒质1,媒质2,分界面上作一个小的柱形闭合面,分界面的法线方向由2指向1,因柱形面上、下底面积S很小，,故穿过截面S的电通量密度可视为常数，,假设柱形面的高h0，,则其侧面积可以忽略不计,高斯定理,设分界面上存在的自由面电荷密度,2023/8/7,3.9.2 不同媒质分界面上的边界条件,(1)电通量密度的法向分量,高斯定理,分界面上的自由面电荷密度,得:,或:,(2)电位函数的法向导数,2023/8/7,3.9.2 不同媒质分界面上的边界条件,(3)电场强度E的切向分量,矩形闭合路径abcda,穿越媒质分界面,ab和cd的长度为l,
8、分界面的法线方向由媒质2指向1,h0,ab的方向,矩形平面的方向,场强环流定理,或:,分界面上电场强度的切向分量总是连续的,2023/8/7,3.9.2 不同媒质分界面上的边界条件,分界面上的自由面电荷密度,(4)电位函数,两种不同媒质的分界面上电位是连续的,h0,2023/8/7,(5)分界面上电场的方向,设分界面两侧的电场与法线n的夹角分别为1和2,在不同介质分界面上，电场强度和电通量密度一定改变方向,只有当1或2等于零时，分界面上的电场方向才不改变,例如平行板、同轴线和同心球中的电场,2023/8/7,不同媒质分界面上的边界条件1,分界面上的自由面电荷密度,两种不同媒质的分界面上电位是连
9、续的,媒质1,媒质2,分界面的法线方向由2指向1,或:,分界面上电场强度的切向分量总是连续的,2023/8/7,不同媒质分界面上的边界条件2,分界面上的自由面电荷密度,两种不同媒质的分界面上电位是连续的,媒质1,媒质2,分界面的法线方向由2指向1,或:,分界面上电场强度的切向分量总是连续的,2023/8/7,不同媒质分界面上的边界条件3,分界面上的自由面电荷密度,两种不同媒质的分界面上电位是连续的,媒质1,媒质2,分界面的法线方向由2指向1,或:,分界面上电场强度的切向分量总是连续的,当媒质2为导体时,当媒质2为导体时,2023/8/7,3.4 泊松方程 拉普拉斯方程,1.泊松方程,2.拉普拉
10、斯方程,高斯定理:,梯度关系:,本构关系式:,(电荷为零的地方),2023/8/7,3.7 唯一性定理,1、已知电荷分布求静电场的分布,场源分布确定时，静电场的分布也确定了。描述静电场的物理量（电场强度和电位）也确定了。,电场强度的求解方法：,（1）点电荷电场+叠加原理,（2）高斯定理（3种分布型问题）,（3）电位的梯度（需要先求电位的分布）,2023/8/7,3.7 唯一性定理,1、已知电荷分布求静电场的分布,电位的求解方法：,（1）点电荷电位+叠加原理,（2）定义求解（需已知场强分布）,（3）微分方程的方法,用微分方程的方法求出电位后，再求梯度的场强,此类问题称作边值问题,2023/8/7
11、,2、边值问题,理解为：微分方程方法求静电场的电位分布,即：给定边界条件求解有限区域内场的问题,三类给定边值：,当媒质不均匀时，还需加入辅助边界条件,（1）狄利克莱边界条件,（2）诺伊曼边界条件,（3）混合边界条件,如果场域扩展为无界区域，还需提出无限远处的边界条件。,微分方程与边界条件一起构成边值问题。,如果边界是导体,已知导体表面的电位：,2023/8/7,3、唯一性定理,给定边值的泊松方程和拉普拉斯方程有唯一解,三类给定边值：,当媒质不均匀时，还需加入辅助边界条件(不同媒质分界面上的边界条件),（1）,（2）,（3）,如果场域扩展为无界区域，还需提出无限远处的边界条件。,微分方程与边界条
12、件一起构成边值问题。,自然边界条件,方程:,2023/8/7,3、唯一性定理,在静电场中，在每一类边界条件下，,利用反证法证明在第一类边界条件下，,拉普拉斯方程的解是唯一的。,考虑一个由表面边界S包围的体积V，,泊松方程或拉普拉斯方程的解必定是唯一的。,由格林第一定理,令上式中=，得,由于2=0，所以有,设在给定边界上的电位时，拉普拉斯方程有1和2两个解，,由于拉普拉斯方程是线性的，两个解的差=1-2也满足方程2=0,在边界S上，电位1|S=2|S=|S，所以在边界S上的值为,|S=1|S-1|S=0，则得,2023/8/7,2023/8/7,例 长度为2l的线电荷，电荷的线密度为l，求:(1)空间任一点的电位函数；(2)线电荷平分面上的电位函数。,3.12 3.13,3.7 3.9,2023/8/7,矢量函数的旋度,2023/8/7,直角坐标系中,梯度表达式,柱坐标系#11.幻灯片 11中,球坐标系中,2023/8/7,直角坐标系,圆柱坐标系,球坐标系,散度的表达式:,
