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1、第三节 全微分,一、全微分的定义二、全微分存在的必要条件三、全微分存在的充分条件,一、全微分的定义,设二元函数y=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义.当自变量x，y在点(x0,y0)的该邻域内分别取得增量 和 时，函数的全增量为,一元函数y=f(x)在点x0处的微分：,其中,例1 设矩形金属薄板长为x，宽为y，则面积S=xy.薄板受热膨胀，长自x0增加，宽自y0增加，其面积相应增加,全增量 由 三项组成.比其余两项小得多.,所以全增量 只是 的函数.,将增量 分离出 和 的线性部分,再加上一项比 高阶的无穷小.,又因为x0，y0为常数，,定义8.6 设二元函数z=f(x,y)在点(
2、x0,y0)的某邻域内有定义，如果z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量,可表示为,其中A，B与 无关，是比 高阶的无穷小，则称 为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分，记作dz，即,也称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微.,与一元函数类似，全微分dz是 的线性函数，是比 高阶的无穷小.当 充分小时，可用全微分dz作为函数的全增量 的近似值.,二、全微分存在的必要条件,定理8.2(全微分存在的必要条件)如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微,则f(x,y)在该点的两个偏导数存在,并且 A=fx(x0,y0),B=fy(x0,y0).,取，此时，则有,两边同除
3、以，再令，取极限，得,这个可定理得到全微分的计算公式：,与一元函数微分类似，规定自变量x，y的增量等于自变量的微分dx，dy，即.于是全微分又可写成,如果函数f(x,y)在开区域D内每一点处都可微，则称f(x,y)在域D内是可微的.这样，域D内任一点处的全微分为,或写成,定理8.3(全微分存在的必要条件)如果函数z=f(x,y)在(x0,y0)点可微，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续.,证 根据函数可微的定义，有,当 时，有，,根据函数连续性定义，z=f(x,y)在点(x0,y0)处是连续的.,因此,三、全微分存在的充分条件,例如,在点(0,0)处不连续,故由定理10.3可知,在
4、(0,0)点是不可微的.但这个函数在(0,0)点的两个偏导数是存在的且,该例说明，尽管函数在(0,0)点的两个偏导数存在，但函数在(0,0)点仍是不可微的，即定理10.2的逆定理是不成立的.下面的定理给出了函数z=f(x,y)可微的充分条件.,定理8.4(全微分存在的充分条件)设函数z=f(x,y)在点(x,y)存在连续的偏导数，则函数z=f(x,y)在点(x,y)可微.,上面三个定理可以完全推广到三元和三元以上的多元函数.如三元函数u=f(x,y,z)的全微分存在，则有,例2 求 的全微分.,解,而且它在Oxy平面上处处连续，所以在点(x,y)处的全微分为,例3 求 的全微分.,解,例4 求z=xe-xy+arcsinxy的全微分.,解,例5 求 在点(2,1)处的全微分.,解 由于 是连续函数，且,所以在点(2,1)处的全微分为,例6 求z=xy在点(2,3)处,关于 的全增量与全微分.,解,将各值代入上式，得到,例7 求 的全微分.,解,
