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1、第二章 数值微分和数值积分,数值微分,函数f(x)以离散点列给出时，而要求我们给出导数值，函数f(x)过于复杂,这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值,微积分中，关于导数的定义如下：,自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商,由Taylor展开,因此，有误差,向前差商,由Taylor展开,因此，有误差,向后差商,由Taylor展开,因此，有误差,中心差商,由误差表达式，h越小，误差越小，但同时舍入误差增大，所以，有个最佳步长,我们可以用事后误差估计的方法来确定,设D(h),D(h/2)分别为步长为h,h/2的差商公式。则,时的步长h/2就是合适的步长,f(x)=exp(x),例
2、：,插值是建立逼近函数的手段，用以研究原函数的性质。因此，可以用插值函数的导数近似为原函数的导数,误差,插值型数值微分,给定点列,且,，求,解：,例：,Taylor展开分析，可以知道，它们都是,称为三点公式,数值积分,关于积分，有Newton-Leibniz公式,但是，在很多情况下，还是要数值积分：,1、函数有离散数据组成,2、F(x)求不出,3、F(x)非常复杂,定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合,称为积分系数，与f(x)无关，与积分区间和积分点有关,代数精度,两个问题：,1、系数ai如何选取，即选取原则,2、若节点可以自由选取，取什么点好？,定义,对任意次数不高于k次的多项式f
3、(x)，数值积分没有误差,用插值函数的积分，作为数值积分,代数精度,由Lagrange插值的误差表达式，,，有,可以看出，至少n阶代数精度,插值型,Vandermonde行列式,使用尽可能高的代数精度,已知,求系数,所以，要存在唯一，mn，确定一个n1阶的方程组,是否有更好的方法使得代数精度为至少为n+1阶？,所以，m=n时存在唯一，且至少n阶代数精度。与节点的选取有关。,误差,一点数值积分,0阶代数精度,1阶代数精度,例：,Newton-Cotes 积分,若节点可以自由选取，则，一个自然的办法就是取等距节点。对区间做等距分割。,该数值积分称为Newton-Cotes积分,设节点步长,(b-a
4、),与步长h无关，可以预先求出,N1时,梯形公式,N2时,Simpson公式,1、梯形公式,此处用了积分中值定理,误差,2、Simpson公式,注意到，Simpson公式有3阶代数精度，因此为了对误差有更精确地估计，我们用3次多项式估计误差,为0,一般的有,因此，N-C积分，对偶数有n1阶代数精度，而奇数为n阶代数精度,复化积分,数值积分公式与多项式插值有很大的关系。因此Runge现象的存在，使得我们不能用太多的积分点计算。采用与插值时候类似，我们采用分段、低阶的方法,误差,做等距节点，,复化梯形公式,由均值定理知,可以看出，复化梯形公式是收敛的。,误差,做等距节点，,复化Simpson公式,
5、由均值定理知,可以看出，复化Simpson公式是收敛的。,例：计算,解：,其中,=3.138988494,其中,=3.141592502,3、积分的自适应计算,函数变化有急有缓，为了照顾变化剧烈部分的误差，我们需要加密格点。对于变化缓慢的部分，加密格点会造成计算的浪费。以此我们介绍一种算法，可以自动在变化剧烈的地方加密格点计算，而变化缓慢的地方，则取稀疏的格点。,先看看事后误差估计（不同的误差表达式，事后误差估计式是不同的）,以复化梯形公式为例,n等分区间,2n等分区间,近似有：,类似，复化Simpsom公式,自适应计算,记,为复化一次，2次的Simpson公式,控制,求,是,4、Romber
6、g积分,由前面的事后误差估计式，,则，,这启发我们，可以用低阶的公式组合后称为一个高阶的公式。,类似，,记,为以步长为h的某数值积分公式，有,有如下的Euler-Maclaurin定理,若,为2m阶公式，则,Romberg积分就是不断地用如上定理组合低阶公式为高阶公式，进而计算积分,Romberg 算法：,?,?,?,重积分的计算,在微积分中，二重积分的计算是用化为累次积分的方法进行的。计算二重数值积分也同样采用累次积分的计算过程。简化起见，我们仅讨论矩形区域上的二重积分。对非矩形区域的积分，大多可以变化为矩形区域上的累次积分。,a,b,c,d为常数，f在D上连续。将它变为化累次积分,首先来看
7、看复化梯形公式的二重推广,做等距节点，x轴，y轴分别有：,先计算,，将x作为常数，有,再将y作为常数，在x方向，计算上式的每一项的积分,二重积分的复化梯形公式,系数，在积分区域的四个角点为1/4，4个边界为1/2，内部节点为1,误差,类似前面有：,记,二重积分的复化Simpson公式,误差,Gauss型积分公式,Newton-Cotes积分公式，可以知道n为偶数时，n1个点数值积分公式有n1阶精度。是否有更高的代数精度呢？n个点的数值积分公式，最高可以到多少代数精度？本节会解决这个问题。,例：在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量，则有4个未知量可以列出4个方程：（以f(x)在-1,1为
8、例）,可解出：,可以看出，数值积分公式,具有3阶代数精度，比梯形公式1阶代数精度高,n个积分点的数值积分公式，最高2n1阶,证明：,取,易知：,也就是说，数值积分公式，对一个2n+2阶的多项式是有误差的，所以，n1个点的数值积分公式不超过2n1阶,如何构造最高阶精度的公式？,定理,一般性，考虑积分：,称为权函数,定义两个可积函数的内积为：,两个函数正交，就是指这两个函数的内积为0,利用Schmidt正交化过程，,变为正交基,就可以将多项式基函数,以n阶正交多项式的n个零点为积分点的数值积分公式有2n1阶的代数精度,Gauss点,Gauss积分，记为Gn(f),证明：,具有一个很好的性质：,(2
9、)求出pn(x)的n个零点x1,x2,xn 即为Gsuss点.,(1)求出区间a,b上权函数为W(x)的正交多项式pn(x).,(3)计算积分系数,Gauss型求积公式的构造方法,解 按 Schemite 正交化过程作出正交多项式:,例：,故两点Gauss公式为,积分系数为,P2(x)的两个零点为,区间-1,1上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式,称为Gauss-Legendre求积公式,其Gauss点为Legendre多项式的零点.,(1)Gauss-Legendre求积公式,公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到.,几种Gauss型求积公式,由,因此,a,b上权函数W(x)=
10、1的Gauss型求积公式为,Gauss 公式的余项：,/*设P为f 的过x0 xn的插值多项式*/,/*只要P 的阶数不大于2n+1，则下一步等式成立*/,插值多项式的余项,Q：什么样的插值多项式在 x0 xn 上有 2n+1 阶？,A：Hermite 多项式！,满足,区间0,)上权函数W(x)=e-x的Gauss型求积公式,称为Gauss-Laguerre求积公式,其Gauss点为Laguerre多项式的零点.,(2)Gauss-Laguerre求积公式,公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到.,由,所以,对0,+)上权函数W(x)=1的积分,也可以构造类似的Gauss-Laguerre求积公式:,(3)Gauss-Hermite求积公式,公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到.,
