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1、第六节 傅里叶级数,一、三角级数 三角函数系的正交性二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数,一、三角级数 三角函数系的正交性,2、三角函数系为,1、三角级数,三角级数,3、三角函数系的正交性 三角函数系在 上正交,是指三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间 上的积分等于零.,即:,注意:在三角函数系中,两个相同函数的乘积在区间 上的积分不等于零，即:,二、函数展开成傅里叶级数,1、函数展开成傅里叶级数的含义:,并设三角级数可逐项积分.,将 代入三角级数的右端，得：,即：,类似可得：,3、收敛定理(狄里克雷充分条件),设 f(x)是周期为 的周期函数，如果它满足：(1)在一个周期内连
2、续或只有有限个第一类间断点；,则f(x)的傅里叶级数收敛，并且：,(2)在一个周期内至多只有有限个极值点.,当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x);当x是f(x)的间断点时，级数收敛于,狄里克雷充分条件的解释:,(1)即函数f(x)在 上不作无限次振动，函数的傅里叶级数在连续点处就收敛于该点的函数值f(x);,(2)在间断点，则收敛于该点的左极限与右极限的算术平均值.,通常把间断点分成两类：如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限f(x0-)及f(x0+)都存在，那么x0称为函数的第一类间断点.不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.,将f(x)展开成傅里叶级数.,(3)傅里叶展
3、开式为：,4、周期延拓:若f(x)不是周期为 的周期函数，只在 上有定义，并满足狄利克雷条件，可在 或 外补充函数定义，使f(x)拓广为周期为 的周期函数F(x)，称这种拓广函数定义域的过程为周期延拓.,例2 将函数,傅里叶级数.,(2)计算傅里叶系数:,(3)将傅里叶系数代入：,三、正弦级数和余弦级数,若f(x)为奇函数，则f(x)的傅里叶级数只含有正弦项，称这样的级数为正弦级数;,正弦级数：,因f(x)为奇函数，故可展为正弦级数,讨论:将定义在区间 上的函数f(x)展开为正弦级数或余弦级数.(非周期函数),2、F(x)展开成正弦级数(余弦级数),将奇(偶)延拓后的函数F(x)展开为傅立叶级数，即为F(x)的正弦级数或余弦级数.,解:(1)先求正弦级数:,(2)再求余弦级数,
