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1、第四章 直线与平面、两平面的相对位置,4-1 直线与平面平行 两平面平行,4-2 直线与平面的交点 两平面的交线,4-3 直线与平面垂直 两平面垂直,内 容 提 要,4-4 点、线、面综合题举例,本章重点讨论的三个问题：1、在投影图上如何绘制及判断直线与平面和两平面的平行问题。2、如果直线与平面及两平面不平行，在投影图上如何求其交点或交线。3、在投影图上如何绘制及判断直线与平面和两平面的垂直问题。,返回,4-1 直线与平面平行 两平 面平行,一、直线与平面平行,若一直线平行于某平面上的任一直线，则该直线与平面平行。,据此可以解决:,1.作直线平行于已知平面,2.作平面平行于已知直线,3.判断直
2、线是否于平面平行,例题4.1 试过点N作水平线MN平行于ABC平面,分析,作图,1.在ABC平面上任作一水平线BD,2.过点N作直线MN平行与直线BD,d,m,m,d,直线 MN 即为所求,例题4.2 试过点A作平面ABC平行于直线MN,分析,作图,1.作直线ACMN,2.过点A任作直线AB,ABC 即为所求,b,c,c,b,例题4.3 试判断直线EF是否平行于平面ABC,b,a,b,c,e,a,c,e,X,O,分析,作图,在ABC平面上任作一辅助线CD,且使cdef(或cdef),2.求出ABC上的CD直线的另一投影cd(或cd),因ef不平行cd故EF不平行与 ABC,f,f,d,d,A,
3、B,C,M,N,E,F,m,n,a,b,c,e(f),当直线与投影面垂直面平行时,则该直线必有一个投影与平面具有积聚性的那个投影平行,且在平面有积聚性的那个投影面上反映直线与平面间的真实距离。,当直线与平面同时垂直与同一投影面时,该直线必与该平面平行,且在它们垂直的那个投影面上反映它们之间的真实距离。,线面平行的特殊情况,m,n,a,b,c,e(f),m,n,a,b,c,e,f,X,O,二、平面与平面平行,若一平面内两相交直线对应平行于另一平面上的相交两直线，则这两平面相互平行。,据此可以解决:,1.作平面平行于已知平面,2.判断两是否平面平行,4-1 直线与平面平行 两平 面平行,一、直线与
4、平面平行,例题4.4 试作EFGABC平面,e,分析,作图,在ABC内作直线AMEF,MNFG(amef,mnfg),2.求出AM,MN的正面投影,m,n,3.过f作efam、fgmn,则EFG即为所求,g,例题4.5 判断EFG与ABC平面是否平行,g,f,a,b,c,e,g,b,c,e,f,a,X,O,bc平行gf但bc 不平行gf,例题4.5 判断EFG与ABC平面是否平行,g,f,a,b,c,e,g,b,c,e,f,a,X,O,ba平行ge但ba 不平行ge,bc平行gf但bc 不平行gf,因此，EFG与ABC平面不平行,例题4.6 判断两平面是否平行,d,f,g,e,c,b,a,a,
5、f,g,d,b,c,e,h,h,例题4.7 判断两平面是否平行,d,f,e,c,b,a,a,f,d,b,c,e,ac平行df但ac 不平行df,例题4.7 判断两平面是否平行,d,f,e,c,b,a,a,f,d,b,c,e,ac平行df但ac 不平行df,bc平行de但bc 不平行de,因此两平面不平行,A,B,C,G,H,E,F,e,f,a,c,b,h,若两平行平面同时垂直于同一投影面,则它们在该平面上的积聚性投影必然相互平行,且反映两平行平面之间的真实距离。,面面平行的特殊情况,e,f,a,c,b,h,g,h,f,g,e,b,a,c,4-2 直线与平面相交 两平 面相交,直线与平面相交,必
6、有一个交点,它是直线与平面的共有点。,平面与平面相交,必有一个交线,它是两平面的共有线。,求解交线的方法:,1.作出交线上的两个共有点,2.作出交线上的一个共有点及交线的方向,求作交点或交线的过程:,1.求出交点或交线的投影,2.判别可见性,4-2 直线与平面相交 两平 面相交,一、利用积聚性求交点和交线,1.一般位置直线与特殊位置平面相交,A,B,C,a,b,c,F,E,K,f,e,k,k,k,作图步骤,1.利用积聚性求出K点水平投影k,2.利用点在线上的投影特性求出K点正面投影k,3.判别可见性,y1y2,即点在点前方，EK正面投影可见,1,2,1(2),4-2 直线与平面相交 两平 面相
7、交,一、利用积聚性求交点和交线,1.一般位置直线与特殊位置平面相交,2.特殊位置直线与一般位置平面相交,a,b,c,b,a,c,e(f),e,f,k,k,d,d,分析,EF在正面的投影有积聚性，故交点K的正面投影必与EF的正面投影重合，利用面上取点的方法可求出交点K的水平投影,作图,4-2 直线与平面相交 两平 面相交,一、利用积聚性求交点和交线,1.一般位置直线与特殊位置平面相交,2.特殊位置直线与一般位置平面相交,3.特殊位置平面与一般位置平面相交,作图步骤,1.利用积聚性求出KL的水平投影kl,2.利用点在线上的投影特性求出K点正面投影k，l,3.判别可见性,1(2),4-2 直线与平面
8、相交 两平 面相交,一、利用积聚性求交点和交线,1.一般位置直线与特殊位置平面相交,2.特殊位置直线与一般位置平面相交,3.特殊位置平面与一般位置平面相交,二、利用辅助平面求交点和交线,一般位置直线与一般位置平面相交,作图,判别可见性,Z1ZM,AK的水平投影ak可见,YY,AK的正面投影ak不可见,4-2 直线与平面相交 两平 面相交,一、利用积聚性求交点和交线,1.一般位置直线与特殊位置平面相交,2.特殊位置直线与一般位置平面相交,3.特殊位置平面与一般位置平面相交,二、利用辅助平面求交点和交线,一般位置直线与一般位置平面相交,一般位置平面与一般位置平面相交,三、利用辅助投影求交点和交线,
9、作图步骤,1.将ABC变换为铅垂面,2.求出交线的辅助投影l1 n1,3.求出交线的正面投影和水平投影,4.判别可见性,1.YY,AB的正面投影可见,2.ZZ,DF的水平投影可见,a,b,c,b,a,c,e,f,e,f,d,d,d,f,g,e,c,b,a,a,f,g,d,b,c,e,h,h,例一 求作两平面的交线并判断可见性,例二 求作两平面的交线并判断可见性,4-3 直线与平面垂直 两平 面垂直,一、直线与平面垂直,若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。,据此可以解决:,1.作直线垂直平面或平面垂直直线,2.判断线面是否垂直,作 图 举 例:,若一直线垂直于一平面、则直线的水
10、平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。,若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。,例题1：平面由 BDF给定，试过定点K作平面的法线。,返回,K,F,D,B,在BDF上作正平线DC和水平线AB,2.作kh dc;kh ab,例题2：平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于定平面。,DC为正平线,判断mn是否垂直dc,2.在平面内作水平线EF,判断mn是否垂直ef,直线MN不垂直给定平面,例题3：试过定点S作一平面垂直于已知直线EF。,e,s,O,X,e
11、,f,f,s,S,F,E,过S点分别作正平线 SN、水平线SM,使 水平SNEF SMEF,4-3 直线与平面垂直 两平 面垂直,一、直线与平面垂直,二、平面与平面垂直,若一直线垂直于定平面则包含该直线的所有平面都垂直于该平面。,据此可以解决:,1.作平面垂直平面,2.判断面面是否垂直,实质问题是作面垂直,例题4：平面由 BDF给定，试过定点K作平面垂直 BDF。,例题5：判断 DEF、GHK是否与 ABC垂直。,g,h,c,a,b,f,d,e,k,h,g,f,e,d,c,b,a,h,DEF ABC,4-4 点线面综合题举例,画法几何问题，归纳起来大体分为定位问题和度量问题两大类。,（2）空间
12、分析,轨迹分析法 逆推法,（4）解答分析,（3）投影作图,（1）题意分析,分析有哪些几何条件，有无几何元素在空间处于特殊位置，明确求解的几何元素或几何量。,例题1 过点K作直线KS平行于三角形ABC并与直线EF相交。,(1)过K作平面平行三角形ABC,(2)求出EF与辅助平面的交点S,(3)连KS即为所求,例题1 过点K作直线KS平行于三角形ABC并与直线EF相交。,例题2：求交叉两直线AB和CD的公垂线MN。,分 析,m,n1,m1,例题3：求三角形ABC及BCD两平面之间的夹角。,d,b,a,d,c,b,a,c,X,例题4 以DC为直角边作等腰直角CDE(CDE=90)且与ABCD平面垂直。,e1,例题5：已知等边三角形ABC,点C在H面上,求此三角形的两面投影。,b,a,b,a,X,1.求边AB的实长,2.求边AC的水平投影,3.求边BC的水平投影,4.求c,c并连线,
