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1、2023/8/7,1,（一）平面图形的面积,（三）平面曲线的弧长,（二）空间立体的体积,第四节 定积分的应用,三、小结,一、定积分的微元法,二、定积分在几何学中的应用,2023/8/7,2,1.问题的提出,一、定积分的微元法,2023/8/7,3,第一步 分割（化整为零）,第二步 近似代替(以直代曲）,第三步 求和（积零为整，给出“整”的近似值）,第四步 取极限,2023/8/7,4,x,y,o,2023/8/7,5,2.将量U表示成定积分表示式的条件,2023/8/7,6,3.将量U表示成定积分表示式的步骤：,记,(1)选取积分变量：根据问题的具体情况，适当选取坐标系，确定积分变量及其变化区
2、间；,例如 选x为积分变量，并确定它的变化区间a,b;,(2)确定被积表达式；,称为整体量U的微元或元素,称上述方法为定积分的元素法;,元素法的实质：化整为零取元素，无限累加作积分。,2023/8/7,7,1.直角坐标系情形,（被积函数上-下）,（一）平面图形的面积,二、定积分在几何上的应用,2023/8/7,8,思考：由曲线、与直线、所围成的平面图形的面积,（被积函数右-左）,2023/8/7,9,解,两曲线的交点，,面积元素,选 为积分变量,解方程组,能否选y为积分变量?,2023/8/7,10,先求两曲线的交点,选y为积分变量,解法二,面积元素,2023/8/7,11,解,两曲线的交点,
3、选 为积分变量,注 被积函数为“右-左”右为直线，左为抛物线,2023/8/7,12,解,两曲线的交点,例2,选x为积分变量,2023/8/7,13,能否选y为积分变量?,选y为积分变量比较好！,2023/8/7,14,1.选择积分变量时：,(1)尽量少分块(2)积分容易。,2.准确的作图.,注意：,2023/8/7,15,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,o,x,y,2023/8/7,16,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,2023/8/7,17,练习：写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。,（1）,（2）,2023/8/7,18,练习写出下
4、列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。,（4）,（5）,2023/8/7,19,这样，平面上任意一点 M 的位置就可以用 OM 的长度 r和从 Ox 到 OM 的角度 来刻画，记作(r,)，叫做 M 点在这个极坐标系中的极坐标。,2、极坐标的情形,在平面上取一点 O，从 O 出发引一条射线 Ox，并 取定一个长度单位和计算角度的正方向（通常取逆时针 方向），就构成了一个平面极坐标系。,极坐标的概念,2023/8/7,20,极坐标和直角坐标的关系,设在平面上取定了一个极坐标系，以极轴为 x 轴，直线=/2 为 y 轴，就得到一个直角坐标系。,于是平面任意一点 M 的直角坐标(x,y)和极坐标
5、(r,)之间有下列关系：,y,或,2023/8/7,21,面积元素,曲边扇形的面积,极坐标系下平面图形的面积,2023/8/7,22,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,2023/8/7,23,解,利用对称性知,2023/8/7,24,1.平行截面面积为已知的立体的体积,过x=a,x=b的两个平行平面截曲面得到一个几何体，任取x,x+dx,过x和x+dx作垂直与x轴的平面，截的部分几何体的体积可近似的看作柱体体积。,立体体积,(二)空间立体的体积,2023/8/7,25,解,建立坐标系，,底圆方程为,截面面积,立体体积,2023/8/7,26,定义：旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一
6、条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,2.旋转体的体积,2023/8/7,27,旋转体的体积的求法,f(x),a,b,2023/8/7,28,旋转体的体积为,2023/8/7,29,即：,2023/8/7,30,例6 求由椭圆 绕 轴旋转而成的椭球体的体积.,解 将椭圆方程化为,因此所求的体积为,体积元素,2023/8/7,31,例7 求由曲线 与直线、围成的图形,绕 轴旋转而成的旋转体体积.,2023/8/7,32,解,2023/8/7,33,2023/8/7,34,结论：光滑曲线弧是可求长的。,光滑曲线：,（三）平面曲线的弧长,2023/8/7,35,1、平面曲线弧长
7、的概念,2023/8/7,36,弧长元素为,弧长,(1)直角坐标情形,在x,x+dx的一段弧长用点（x,f(x)处切线上相应的小直线段长度来近似代替,2023/8/7,37,解：,故所求星形线的周长为：,2023/8/7,38,设曲线弧为,弧长,(2)参数方程情形,2023/8/7,39,由对称性,有,例2,2023/8/7,40,解,的全长,所以,2023/8/7,41,曲线弧为,弧长,(3)极坐标情形,2023/8/7,42,故所求心形线的周长为：,解：,函数图像关于极轴对称，故其周长,两倍，,由于,2023/8/7,43,解,2023/8/7,44,2、求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.,三、小结,3、旋转体的体积,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,4、弧长的公式,绕 轴旋转一周,绕 轴旋转一周,1、定积分的微元法,
