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1、社会统计学,第三讲 随机现象与基础概率,知识点,随机现象及其特征概率的定义概率的加法定理概率的乘法定理概率与二项分布,一、随机现象及其特征,随机现象例子：全国每天有多少婴儿出生？多少人因车祸死亡？多少人结婚，多少人离婚？多少人晚间收看新闻联播？天气的变化？手术的成功？骰子的点数？,这些现象的共同点：在一定条件下（例如某天、某日）事物出现只具有可能性而但不具有必然性。这种现象就是随机现象，大量存在自然、经济、社会领域内。社会现象分成两种确定性现象和非确定性现象,确定性现象与非确定性现象,确定性现象:在一定的条件(S)下某种结果必然会发生的现象,此时现象的可能结果只有一个,并且事先就能够确定.EG
2、,向空中扔一石块必然会落地;标准大气压下水在100时肯定会沸腾.非确定性现象:指在某种条件实现后,某种结果可能发生也可能不发生的现象.也就是说,此时存在多种可能性,但究竟发生哪种结果事先却不能肯定.EG,向空中抛掷一枚硬币,落地后正面朝上的结果是不能事先确定的,从副洗好的扑克牌中任意抽出一张来，它是黑桃2的结果也是不能事先确定的。,问题：既然社会中存在大量的非确定性现象，那么预期或预测如何可能？,统计规律：从表面上看来非确定性现象好像是捉摸不定的，纯粹是偶然性起支配作用，但实际上，在研究了大量同类现象后，通常会揭示出一种确定的规律性，这就是所谓的统计规律。EG，如果无数次投掷硬币，就可以断定正
3、面朝上的次数与抛掷总次数的比接近1/2。,1、随机现象具有双重性：,偶然性：在一次试验或观察中事件出现的可能具有偶然性；可能会出现它表示为：若，可能统计规律性：在相同条件下，进行大量重复试验或观察时，随机事件出现可能的大小是稳定的。概率论研究的正是随机现象的统计规律性。,EG,重复投掷骰子，根据概率论，可以知道出现1点、2点、3点、4点、5点和6点的可能性均为1/6。2009年在武汉市发生的经济适用房抽签中出现的“六连号”事件。显然不符合概率论。,2、偶然性和规律性的关系,单独的现象具有偶然性，但对于大量的现象，具有规律性。“在表面上是偶然性在起作用的地方，这种偶然性始终是受内部的隐蔽着的规律
4、支配的，而问题在于发现这些规律。”恩格斯偶然事件（随机事件）的概率就是随机事件隐蔽着的规律。随机现象是概率论的研究对象，概率论是统计推论的理论（数学）基础，概率是统计推论的依据。统计推论的所有数学表都是以概率为基础的。,二、概率,随机事件（例子）：诞生的婴儿将是男孩；某人将活到80岁以上；明年报考公务员的人数将超过200万人；明天将下雨；,随机事件：对随机现象进行的观察或试验称为随机试验。在一定条件下所进行的随机试验中，可能发生或可能不发生的事情称为随机事件。通常用大写字母A、B、C等来表示。随机事件有两种极端情况：必然事件：如抛掷一枚在硬币若无支撑落于地上；不可能事件：如抛掷一枚硬币悬于空中
5、。,日常生活中，人们常用“比较级”来表示随机事件发生可能性的大小，例如：某生明年不可能考上大学；某生明年可能考上大学；某生明年很可能考上大学；,概率就是随机事件发生可能性大小的数量表示。概率的表达实质和这些“比较级”是一样的，只是更为精确。,下面是一些试验者（著名数学家）所做试验的记录,试验者 投掷总次数n 出现正面朝上的次数m（频数）频率=m/n狄摩根 2048 1061 0.518布丰 4040 2048 0.5069皮尔逊 12000 6019 0.5016皮尔逊 24000 12012 0.5005,2、随机事件的概率,在一组不变的条件S下，重复做n次试验，m为在n次试验中事件A发生的
6、次数。当n很大时，事件A发生的频率m/n稳定地在某一常数p附件摆动，并且随着试验次数n的增加，其摆动幅度会越来越小，则事件A称为随机事件，并把数值p称为随机事件A发生的概率，记作：P(A)=p,概率的取值范围（0，1）,不可能发生的事件，称为不可能事件，概率p=0;一定发生的事件，称为必然事件，概率p=1;一般的随机事件，发生的可能性处于“必然”与“不可能”之间，发生的概率为：0P(A)1概率值越大，这一事件发生的可能性越大。另外，如果记 为事件A的逆事件，表示“事件A不发生”，那么P(A)+P()=1。,三、概率的计算方法,1、频率法在相同条件下进行N次实验或观察，随机事件A出现的次数为n，
7、频次n与实验次数N的比值n/N，称作N次实验或观察中事件A的频率，即这一事件出现的概率,2、古典概率类型,在古典概率类型问题中，所有可能的试验结果是有限的，即试验的基本事件数是有限的，并且，所有这些基本事件都是等可能的。若事件组 满足下面三个条件，则称该事件为等可能完备事件组。（1）发生的机会相同（等可能性）；（2）在任何一次试验中，至少有一个发生（完备性）；（3）在任何一次试验中，最多只有一个发生（互不相容性）。,所谓古典概率：若 是一个等可能完备事件组，而事件A由其中的某m个基本事件所构成，则大量实践经验表明，事件A发生的概率为：P(A)=m/n,例题1：,抛掷一个骰子一次，问出现5点的概
8、率是多少？出现奇数点的概率是多少？,例题2,一个袋子中装有3白2黑共5个同样大小的塑料球。(1)从中任取一个，取到白球的概率是多少？(2)任取两球，全是白球的概率是多少？,复习：组合,一般来说，从n个不同元素中，任取m（mn)个元素编成一组，称为从n个不同元素中每次取m个元素的一个组合，这些组合的种数记作,n!表示n的阶乘，n!=n(n-1)(n-2)3 2 1,复习：排列,一般来说，从n个不同元素中，任取m（mn)个元素按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中每次取m个元素的一个排列，这些排列的种数记作,n!表示n的阶乘，n!=n(n-1)(n-2)3 2 1,排列和组合的区别,有顺序排
9、列；无顺序组合；两者的联系：,四、概率的加法运算,1、特殊情况 若事件A与事件B互不相容（互斥），即两件事情不可能同时发生，那么事件A或事件B发生的概率等于两事件单独发生概率之和：P(A+B)=P(A)+P(B),例3：抛掷骰子一次，若事件A表示出现5点的情况，事件B表示出现6点的情况。那么，抛掷骰子一次，出现5点或6点的概率为：例4：某年级共有学生100名，其中来自广东省的有25名，来自广西省的有10名，问任抽一名，来自两广的概率是多少？,2、一般情况,对于任意两个事件A和B，满足事件A和事件B互不相容，则事件“A+B”的概率为事件A的概率与事件B的概率之和减去事件A与事件B同时发生的概率公
10、式为：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),例题5：,为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响，某大学统计出学生父亲具有大学文化程度的占25%，母亲具有大学文化程度的占18%，而父母双方都具有大学文化的占10%，问学生中任抽一名，父代至少有一名具有大学文化程度的概率是多少？,例6：,若事件A表示抛掷骰子一次，出现偶数点的情况，事件B表示出现的点数大于3的情况。请问，抛掷骰子一次，出现偶数点或点数大于3的概率为：,四、概率的乘法定理,1、特殊情况 若事件A与事件B相互独立，即事件A的发生不影响事件B的发生，同时事件B的发生也不影响事件B的发生，那么事件A和事件B同时发生的概率为：P(AB
11、)=P(A)P(B)推论：,例7：抛掷一枚硬币10次，求10次都正面朝上的概率。,2、一般情况对于任意两个事件A和B，乘法公式为：P(AB)=P(A)P(B/A),P(B/A)又称为条件概率，表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。,例8：盒中装有16个球，其中6个为玻璃球，剩下10个为木质球。而玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的。现从中任取1个，问得到蓝色玻璃球的概率是多少？,概率在日常生活中运用的例子:,1.你结交了一位新朋友,问她是否有孩子.她说有两个.你问,有女孩吧?她说有.那么两个孩子都是女孩的概率是多少?2.你结交了一位新朋友,问她是否有孩
12、子.她说有两个.你问大的是女孩吧?她说是.那么两个孩子都是女孩的概率是多少?,五、概率与二项分布,1、概率分布,概率分布是指对随机变量取不同值时的概率的描述,一般用概率分布函数进行描 述.,2.离散型变量与连续型变量,根据随机变量的类型,可以分为：离散型变量：随机变量只能取特定的数值（一般是整数）。(如家庭成员数;硬币正面朝上的次数等)连续型变量：变量在两个数值界限之间可以取任何数值。（如雨量、射击的距离、身高、体重等。）,(1)离散型随机变量的概率分布,.,设离散型随机变量 的一切可能值为且对应于,有,则上式称为随机变量X的概率分布或概率函数,通常也可以表示为:,即每个概率值在0与1之间,即
13、所有变量对应的概率值之和等于1.,概率分布与频率分布的区别,概率分布是基于理论而建立起的分布，是理论分布；频率分布是随机变量的统计分布，是一次随机试验的结果。当试验次数很大，频率分布会越来越接近概率分布。,(2)连续型随机变量的概率分布,对于随机变量X，如果存在一个非负的可积函数f(x)(-x+),使对任意的a、b都有(ab)都有:则称随机变量X具有连续型的分布,并称f(x)为概率密度函数或密度.,3.二项分布,二项分布是一种具有广泛用途的离散型随机变量的概率分布,它是由贝努里创始的,因此又称为贝努里分布.,(1)二项试验的概率公式,一个二项实验是一个满足如下条件的实验:第一.实验由确定的试验
14、数所组成;第二.每个试验只有两个可能的结果,通常称为”成功”和”失败”;第三.任一试验的结果独立于任何其他试验结果;第四.在各次实验中,”成功”的概率和”失败”的概率都是固定的常数,并且他们的和等于1.,对于一个二项实验,设在单次试验中,事件A发生(成功)的概率为P,事件A不发生(失败)的概率为q,即且,则在n次试验中事件A恰 好发生m次的概率为 的二项展开式中当P的指数是m的那一项,即,例题:抛掷一枚骰子20次,则恰好出现7次”6点”的概率.解:这是一个二项实验,依题意,此时因此,20次中恰好出现7次6点的概率为:,如果单次试验中,事件成功与失败的概率相等,即 则上述二项实验的概率公式可简化
15、为:,例题:抛掷一枚硬币10次,求(1)10次都正面朝上的概率;(2)4次正面朝上的概率;(3)8次都正面朝上的概率.,(2)二项分布(binomial distribution),依据上面的二项实验的概率公式,可以将n次试验中事件成功的所有可能情况(从0次成功一直到n次成功)的概率都求出来,这样就得到了一个二项分布.此时 随机变量X概率分布为:,二项分布是一个典型的离散型概论分布,因为此时随机变量X的取值只能是孤立的离散的自然数:0,1,2.当 时,二项分布是对称的;当 时,二项分布是不对称的,但当n越来越大时,不对称性逐渐不明显,即当 时,该分布也趋于对称,并且,当 时,整个二项分布趋于正态分布.另外,二项分布的数学期望,方差,
