解排列组合问题的常用方法pwj.ppt

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1、,pwj,解排列组合问题的十六种常用策略,2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题，提高学生分析问题和解决问题的能力。,3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。,教学目标,1.进一步理解和应用分步计数原理和 分类计数原理。,完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有:_种不同的方法,复习巩固,1.分类计数原理(加法原理)：,完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：

2、_种不同的方法,2.分步计数原理（乘法原理）：,分步计数原理各步相互依存，每步只能完成事件的一个阶段，不能完成整个事件,3.分类计数原理、分步计数原理区别：,分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。,总的原则合理分类和准确分步,解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。,解:分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：,根据分步及分类计数原理，不同的站法共有,例1.6个同学和2个老师排成一排照相，2个 老师站中间，学生甲不站排头，学生乙 不站排尾，共有多少种不同的排法？,1）若甲在排尾上，则剩下的5

3、人可自由安排，有 种方法.,若甲在第2、3、6、7位，则排尾的排法有 种，1位的排法有 种,第2、3、6、7位的排法有 种，根据分步计数原理，不同的站法有 种。,再安排老师，有2种方法。,（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个 无重复数字的五位偶数？,个位数为零：,个位数为2或4：,所以,练 习 1,（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个 无重复数字且能被五整除的五位数？,分类：后两位数字为5或0：,个位数为0：,个位数为5：,（3）0，1，2，3，4，5可组成多少个 无重复数字且大于31250的五位数？,分类：,（4）31250是由0，1，2，3，4，5组成的无重复 数字的五位数中从小到

4、大第几个数？,方法一：（排除法）,方法二：（直接法）,解决排列组合综合性问题的一般过程如下:,1.认真审题弄清要做什么事。,2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还 是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多 少步及多少类。,3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是 组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多 少个元素。,解决排列组合综合性问题，往往类与步相交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。,一.特殊元素和特殊位置优先策略,例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？,解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不合要求的元素占了这两个位置:,先排末位共有_

5、;,然后排首位共有_;,最后排其它位置共有_;,1.7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？,练习题,位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。,2（08辽宁卷10）一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则

6、不同的安排方案共有（）A24种 B36种 C48种D72种,解析：依题若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙来完成，故完成方案共有 种；若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由甲、丙二人之一来完成，故完成方案共有()；则不同的安排方案共有:种。,二.相邻元素捆绑策略,例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁 相邻,共有多少种不同的排法.,解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行“松绑”！,1.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为（）,练习题,要求某几个元素必须排在一起的问题,

7、可以用“捆绑法”来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列(即要“松绑”!),2.变式（08浙江卷17）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是（用数字作答)。,解析：本小题主要考查排列组合知识。依题先排除1和2的剩余4个元素有 种方案，再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体，有种插法，不同的安排方案共有 种。,三.不相邻问题插空策略,例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个 独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？,解:分两步进

8、行:第一步排2个相声和3个独唱共 有 种;,某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）,练习题,元素相离问题，可先把没有位置要求的元素进行排队，再把不相邻元素插入中间和两端.,四.定序问题缩倍、空位、插入等策略,例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定，共有多少不同的排法？,解:,(缩倍法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：,（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 种方法，其

9、余的三个位置甲乙丙共有 种坐法，则共有 种 方法.,1,思考:可以先让甲乙丙就坐吗?,（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把 其余四人依次插入共有_种法。,4*5*6*7=840,定序问题可以用“缩倍法”，还可转化为“占位插空模型”来处理。,练习题,10人身高各不相同,排成前后两排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？,五.重排问题求幂策略,例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法？,解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有 种分法;,7,某班新年联欢会原定的5个节目已排成 节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那

10、么不同插法的种数为（）,42,2.某8层大楼，在一楼时电梯上来8名乘客,他们到各自所住的一层下电梯,则下电梯的方法有（）种。,练习题,六.多排问题直排策略,例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在 前排,丁在后排,共有多少排法,解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成一排.,有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是_,练习题,一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.,七.排列组合混合问题先选后排策略,例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球

11、,共有多少种不同的装法？,解:第一步从5个球中选出2个组成复合元素共 有_种方法.再把5个元素(包含一个复合 元素)装入4个不同的盒内有_种方法.,根据分步计数原理装球的方法共有_,解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?,练习题,一个班有6名战士,其中正副班长各1人,现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正、副班长有且只有1人参加,则不同的选法有_ 种。,八.小集团问题先整体后局部策略,例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中在1,两个奇数之间只有两个偶数,这样的五位数有多少个？,解：把,5当作一个小集团与排队共有_种排法

12、;再排小集团内部共有_种排法，由分步计数原理共有_种排法.,.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,幅油画,幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不在 两端，那么共有陈列方式的种数为_,2.5男生和女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有_种。,小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。,九.元素相同问题隔板策略,例10.有10个运动员名额，要分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？,解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。,在个空档中选个位置插块隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法，故

13、共有_种分法。,练习题,10个相同的球装入5个盒中,每盒至少一球，有多少种装法？,2.x+y+z+w=100求这个方程的自然数解 的组数,将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为,十.正难则反总体淘汰策略,例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三 个数，使其和为不小于10的偶数,不同的 取法有多少种？（1998年奥赛题.）,解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很 困难,可用总体淘汰法。,再淘汰和小于10的偶数共_个,符合条件的取法共有_种.,9,+,我们班有43位同学,从中任

14、抽5人,其中正、副班长，团支部书记，至少有一人在内的抽法有多少种?,练习题,有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.,十一.平均分组问题除法策略,例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本，共有多少不同的分法？,解:分三步取书得 种方法,但这里出现 重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF 若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 种取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种

15、分法,故共有 种分法。,1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4 个队,有多少分法？,.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 排2名，则不同的安排方案种数为:,平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以平均分组后一定要除以(n为均分的组数)，以避免重复计数。,十二.合理分类与分步策略,例13.在一次演唱会上共10名演员,其中5人只会唱歌，2人只会跳舞，3人为全能演员。现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?,解：,研究10名演员,本题还有如下分类标准：*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准;*以3个全能演员是否选上跳舞

16、人员为标准;*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准.都可以得到正确结果!,解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定,要贯穿于解题过程的始终。,1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个 座谈会，若这4人中必须既有男生,又有 女生，则不同的选法共有_,练习题,3成人2小孩乘船游玩,有三艘船,若1号船最多乘3人,2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘 一只船,则这3人共有多少种乘船方法?,3.由1，2，3，4，5，6六个数字可以组成 多少个无重复且是6的倍数的五位数

17、？,分析数字特征：6的倍数既是2的倍数又是3的倍数。其中3的倍数又满足“各个数位上的数字之和是3的倍数”的特征。把6分成4组，（3，3），（6），（1，5），（2，4），每组的数字和都是3的倍数。因此可分成两类讨论；,第一类：由1，2，4，5，6作数码；首先从2，4，6中任选一个作个位数字有，然后其余四个数在其他数位上全排列有，所以,第二类：由1，2，3，4，5作数码。依上法有,4.（天津卷16）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有_种（用数字作答）432

18、,解析：数字之和为10的情况有4，4，1，1、4，3，2，1、3，3，2，2所以共有 种不同排法,5.（海南卷9）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（）A.20种B.30种 C.40种D.60种,甲在星期一有 种安排方法，甲在星期二有 种安排方法，甲在星期三有 种安排方法，总共有 种,十三.等价转换、构造模型策略,例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的 九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关 掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种

19、？,解：把此问题当作一个排队模型：在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏熄灯 有_ 种,一些不易理解的排列组合题，如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决！,练习题,1.某排共有10个座位,若4人就坐,每人左右两边都有空位,那么不同的坐法有多少种?,等价于4人插5空模型:,练习2、12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法和种数为（）（08安徽，12）,从后排选出4人，占位填空模型前排6个位置中的两个：,十四.实际操作穷举策略,例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2 3,

20、4,5的五个盒子,现将5个球投入这五 个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法？,解：从5个球中取出2个与盒子对号有_种,还剩下3球3盒序号不能对应，,对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果！,同理3号球装5号盒时，4,5号球有也只有种装法,由分步计数原理有种投法。,练习题,同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起 来,然后每人各拿一张别人写的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？,9,2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则 不同的着色方法有_种.,72,十五.分解

21、与合成策略,例16.30030能被多少个不同的正偶数整除.,分析：先把30030分解成质因数的乘积形式:30030=235 7 1113,依题 意可知正偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有 的正偶因数为：,思考:已知圆上有12个不同的点，过每两个点作一条直线，那么所有这些直线在已知圆内的交点个数为（）,B,解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四 面体共有_个;,3,358=174,分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的

22、问题都要用到这种解题策略.,例17.正方体8个顶点可连成多少对异面直线？,十六.化归策略,例18.25人排成55方队,现从中选3人,要 求3人中任何两人不在同一行也不在同一 列,不同的 选法有多少种？,解：,将这个问题退化成9人排成33方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法？若从其中的一行中任选1人后,把这人所在的行和列都划掉：,从55方队中选取3行3列有_种选法，所以从55方队选不在同一行也不在同一列的3人有_种选法。,如此继续下去.从33方队中选3人的方法有_种。再从55方队选出33方队便可解决问题；,总结:方阵选n人则有：（）（）！种不同的方法。,处理复杂的排列组

23、合问题时，可以把这个问题退化成一个简单的问题，通过这个简单的问题的解决来找到解题方法，从而进一步解决原来的问题，这种方法叫做“化归策略”。,某城市的街区由12个全等的矩形区组成，其中实线表示马路，则从A走到B的最短路径有多少种？,练习题,C,小结 本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用，把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。,