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1、本章教学目标：(1)单个正态总体均值和方差的区间估计。(2)总体比例的区间估计。(3)均值和比例置信区间估计中的样本容量确定。(4)两个正态总体的均值差和方差比的区间估计。(5)单侧置信区间估计。,第6章 置信区间估计,2,由于点估计存在误差，因此仅对总体参数作出点估计是不够的，还需要了解估计的精度及其误差。参数的区间估计就是在给定的可信度下，估计未知参数的可能取值范围。,设 为总体分布的未知参数，,若由样本确定的两,个统计量,和,对给定的概率(01)，,满足,则称随机区间,为 的置信度为1-的,置信区间。,区间估计,一.总体方差 2 的区间估计,1.2 分布,设总体 XN(0,1)，,X1,
2、X2,Xn 为 X 的,一个样本，,则它们的平方和,为服从自由度为 n 的 2 分布，,记为,2 2(n),6.1 单个正态总体均值和方差的区间估计,若对于随机变量 X1,X2,Xn，,存在一组不全为,零的常数 c1,c2,cn，,使,c1 X1+c2 X2+cn Xn=0,则称变量 X1,X2,Xn 线性相关，,或称它们间存在,一个线性约束条件；,若 X1,X2,Xn 间存在 k 个独立,的线性约束条件，,则它们中仅有 n-k 个独立的变量，,并称平方和,的自由度为 n-k。,“自由度”的含义,2 分布密度函数的图形,x,f(x),o,n=1,n=4,n=10,由给定的概率 和自由度，可查表
3、得到,2 分布的右侧 分位点,为 2分布中满足下式的的右侧 分位点：,f(x),x,o,语法规则如下：格式：CHIINV(,n)功能：返回,可用 Excel 的统计函数 CHIINV 返回,用 Excel 求,的值。,2.总体方差 2 的区间估计,设总体 XN(,2)，,/2,/2,1-,从而 2 的置信度为1-的置信区间为：,由,和 S2 分别为样本均值和样本方差。,可得,X1,X2,Xn 为 X 的容量为n的样本，,可以证明，,【例2】求例1中元件寿命方差 2 的 95%置信区间。,解：由例1，S2=196.52，n=10，/2=0.025，1-/2=0.975,故所求 2的置信区间为(1
4、35.22，358.82),(n-1)S2/,(n-1)S2/,=9196.52/19.023,=9196.52/2.7,=135.22,=358.82,课堂练习1,某车床加工的缸套外径尺寸 X N(,2)，现随机测得的 10 个加工后的某种缸套外径尺寸(mm)如下：90.01，90.01，90.02，90.03，89.99 89.98，89.97，90.00，90.01，89.99()求 2 的置信度为 95%的置信区间。,1.标准正态分布的右侧 分位点 Z Z 是标准正态分布中满足下式的右侧分位点：P Z Z=,z,1-,二.总体均值的区间估计,如图所示，,(Z)=1-，,因此，,可由正态
5、分布表,得到 Z。,如：要查 Z0.025，,由正态分布表可查得：,(1.96)=0.975=1-0.025，,故 Z0.025=1.96,由正态分布的性质可得,对给定的置信度1-，,z/2,/2,-z/2,/2,1-,N(0,1),由此可得,从而的置信度为 1-的置信区间为,为便于记忆和理解，将 的置信区间表示为如下形式：,2.2 已知时总体均值的区间估计,有,其中 d 称为估计的允许误差。,可用 Excel 的统计函数 NORMSINV 返回 Z。语法规则如下：格式：NORMSINV(1-)功能：返回 Z 的值。说明：NORMSINV()返回的是 Z1-的值。,用 Excel 求 Z,3.
6、t 分布,设 XN(0,1)，,Y 2(n)，,且 X 与 Y 相互,独立，,则随机变量,服从自由度为 n 的 t 分布，,记为 tt(n)。,t 分布密度函数的图形,标准正态分布分布是 t 分布的极限分布。当 n 很大时，t 分布近似于标准正态分布。,x,f(x),0,n=1,n=4,n=10,n=，N(0,1),t 分布的右侧 分位点 t(n),t(n)为 t 分布中满足下式的右侧 分位点：P t t(n)=由给定的概率，可查表得到 t(n)。由 t 分布的对称性，可得：t1-(n)=-t(n)。,t(n),t1-(n),=-t(n),可用 Excel 的统计函数 TINV 返回 t(n)
7、。语法规则如下：格式：TINV(2,n)功能:返回 t(n)的值。说明：TINV(,n)返回的是 t/2(n)的值。,用 Excel 求 t/2(n),4.2 未知时总体均值 的区间估计,t(n-1),设总体 XN(,2)，,和 S2 分别为样本均值和样本方差。,由此可得 的置信度为 1-的置信区间为,因此，对给定的置信度 1-，有,即,X1,X2,Xn 为 X 的容量为 n,的样本，,可以证明：,用样本比例代替总体比例，,设总体比例为 P，,则当 nP 和 n(1-P)都大于5时，,样本成数 p 近似服从均值为 P，,方差为 P(1-P)/n 的正态,分布。,从而,对给定的置信度1-，,由,
8、可得总体成数 P 的置信度,为 1-的置信区间为,6.2 总体比例的区间估计,【例3】求例1中元件平均寿命 的95%置信区间。,故所求 的 95%置信区间为,解：由例1，,/2=0.025，,=1423.1，,S=196.5，,=1-0.95=0.05，,n=10，,查表得 t0.025(9)=2.2622,可用 Excel 的【工具】“数据分析”“描述统计”求解正态总体均值 的置信区间。,课堂练习2：,某车床加工的缸套外径尺寸 XN(,2)，下面是随机测得的10个加工后的缸套外径尺寸(mm)，90.01，90.01，90.02，90.03，89.99 89.98，89.97，90.00，90
9、.01，89.99（，）求 的置信度为95%的置信区间；,【例4】某厂为了解产品的质量情况，随机抽取了300件产品进行检验，其中有5件次品，求该厂产品次品率的置信度为95%的置信区间。解：产品次品率为比例，=1-0.95=0.05，/2=0.025，n=300,，查表得 Z0.025=1.96，样本成数,该厂产品次品率的置信度为95%的置信区间为,案例思考题,国外民意调查机构在进行民意调查时，通常要求在95%的置信度下将调查的允许误差(即置信区间的 d 值)控制在3%以内。问为满足该调查精度要求，至少需要多大的样本？如果要求置信度达到99%，调查误差仍为3%，此时至少需要多大的样本？,案例思考
10、题解答(1),本案例中，,故需要的样本容量至少为,案例思考题解答(2),如果要求置信度达到99%，则Z/2=Z0.005=2.575，,6.3 样本容量确定,前面的分析都是在给定的样本容量和样本数据下求置信区间。但在实际应用中，应当在随机抽样前就确定所需抽取的样本容量。抽取的样本容量过大，虽然可以提高统计推断的精度，但将增加不必要的人力、物力、费用和时间开支；如果抽取的样本容量过小，则又会使统计推断的误差过大，推断结果就达不到必要的精度要求。确定样本容量的原则在满足所需的置信度和允许误差条件(置信区间的 d 值)下，确定所需的最低样本容量。,1.总体均值区间估计时样本容量的确定,在给定置信度和
11、允许误差 d 的条件下，由,可得,其中总体标准差或样本标准差也是未知的，通常可以先通过小规模抽样作出估计。由于使用的是近似公式，可知实际采用的最低样本容量应比计算结果稍大。,【例6】在例3 元件平均寿命的区间估计问题中，要求,在95%的置信度下，使估计的允许误差不超过其平均寿命的10%，并设已得到例1的先期抽样数据。求所需的最低样本容量。其他条件不变，在99%的置信度下求所需最低样本容量。解：由例1，,S=196.5，,d=1423/10=142.3,可知取 n=10 已能满足所给精度要求。,可知此时取 n=20 就能满足所给精度要求。在总体均值的区间估计中，通常 n=30 就称为大样本。在大
12、样本时，无论总体服从什么分布，都可用前述公式进行区间估计。,2.总体比例区间估计时样本容量的确定,其中样本成数 p 同样可先通过小规模抽样作出估计，也可根据其他信息估计，或取 0.5。,【例7】,某企业要重新制定产品抽样检验的规范。已知过去检验的次品率在3.6%左右，现要求允许误差不超过2%，置信度为95%。问每次至少应抽查多少产品？解：由题意，要推断的是总体成数，p=0.036，1-p=0.964，d=0.02，=0.05，z/2=z0.025=1.96,故每次至少应抽查 334 件产品。由此可知，在总体比例的区间估计问题中，要达到一定的精度要求，样本容量至少要在几百以上。,【例5】(1)求
13、例1中元件平均寿命的95%置信下限。(2)求元件寿命方差的95%置信上限。,解:(1),从而 的单侧 1-置信下限为,本例中，t 0.05(9)=1.8331，故所求置信下限为,196.5/,该在95%的置信度下，该元件的平均寿命大于1309.2小时。,=1390.2,可得,由,6.4 单侧置信限的区间估计,同理可得 2 的置信度为 1-的单侧置信上限为,本例中，,故所求2的95%置信上限为 9196.52/3.325=323.32(小时2)由以上分析可知，求单侧置信限与求双侧置信限的差别仅在于用相应分布的右侧 分位点代替双侧区间估计公式中的右侧/2 分位点。,解(2)：2 的置信上限,区间估计小结,P,2,2已知,2未知,双侧,双侧,双侧,双侧,单侧上限,单侧上限,单侧下限,单侧下限,
