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1、,第一节 不定积分的概念及性质,第二节 不定积分的积分方法,一元函数积分学及其应用,第三节 定积分的概念,第四节 微积分基本公式,第五节 定积分的积分方法,第六节 广义积分,第七节 定积分的应用,一、不定积分的概念,二、基本积分公式,三、不定积分的性质,第一节 不定积分的概念及性质,1原函数的概念,原函数说明：,一、不定积分的概念,2.不定积分的概念,例 1 求下列不定积分：,积分运算与微分运算之间的互逆关系：,由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公,式可以相应地得出下列积分公式：,二、基本积分公式,性质1 被积函数中不为零的常数因子可提到积分,号外，即,性质2 两个函数代数和的积分，等
2、于各函数积分,的代数和，即,例 4 求下列不定积分：,三、不定积分的性质,例 5 求下列不定积分:,例 6 求下列不定积分：,(2),得,思考题,2思考下列问题：,一、换元积分法,二、分部积分法,三、简单有理数的积分,第二节 不定积分的积分方法,1第一换元积分法(凑微分法),直接验证得知,计算正确,，我们可以把原积分作下列变形后计算：,换和计算：,一、换元积分法,还成立?回答是肯定的,我们有下述定理：,可一般化为下列计算程 序：,下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧,例 6 求下列积分：,解（1）,本题六个积分今后经常用到，可以作为公式使用,例 7 求下列积分：,解 本题积分前，需先用代数
3、运算或三角变换对被 积函数做适当变形,本题说明，选用不同的积分方法，可能得出不同形式 的积分结果,第二换元积分法,一般地说，当被积函数含有,二、分部积分法,解一 分项，凑微分,解五 分部积分,利用多项式除法，总可把假分式化为一多项式与真 分式之和，例如,多项式部分可以逐项积分，因此以下只讨论真分式的积 分法,三、简单有理式的积分,化真分式为部分分式之和举例说明：,有理真分式的积分：有理真分式的积分大体有下面 三种形式:,前两种积分，简单凑微分法即可获解，下面举例说 明（3）式的积分方法,思考题,1.第一换元法（即凑微分法）与第二换元法的区别是 什么？,一、定积分的实际背景,二、定积分的概念,三
4、、定积分的几何意义,四、定积分的性质,3.2.1 定积分的概念与性质,1.曲边梯形的面积 曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直 于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲 边梯形，如左下图所示.,一、定积分的实际背景,曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示：,2变速直线运动的路程,二、定积分的概念,定理1,定理2,存在定理,例1 利用定义计算定积分,
5、解,三、定积分的几何意义,四、定积分的性质,仍有,解,令,于是,解,由积分中值定理知有,使,思考题,一、变上限的定积分,二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式,微积分基本公式,微积分基本公式,一、变上限的定积分,如右图所示:,定理的重要意义：,（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.,（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.,例 2 求下列函数的导数：,证明,由复合函数求导法，得到,二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式,例4 求定积分：,思考题,一、定积分的换元积分法,二、定积分的分部积分法,定积分的积分方法,定积分的积分方法,一、定积分的换元积分
6、法,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,注意:求定积分一定要注意定积分的存在性.,奇函数,例6 计算,解,（2）原式,偶函数,在对称区间,上是奇函数，故,（1）因为,二、定积分的分部积分法,例10 计算,解,令,则,且当,所以,一、无穷区间上的广义积分,二、无界函数的广义积分,3.3 广 义 积 分,3.3 广 义 积 分,一、无穷区间上的广义积分,无穷区间（无穷限）的广义积分也称为第一类广义积分.,二、被积函数有无穷间断点的广义积分,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,说明:,无界函数的积分又称作第二类广义积分,无界点常称,为瑕点(奇点).,例如,间断点,而不是广义积分.,则本质上
7、是定积分,注意:若瑕点,的计算表达式:,则也有类似牛 莱公式的,若 b 为瑕点,则,若 a 为瑕点,则,若 a,b 都为瑕点,则,则,可相消吗?,例6.证明广义积分,证:当 q=1 时,当 q 1 时收敛;q1,时发散.,当 q1 时,所以当 q 1 时,该广义积分收敛,其值为,当 q 1 时,该广义积分发散.,一、定积分应用的微元法,二、用定积分求平面图形的面积,三、用定积分求体积,四、平面曲线的弧长,定积分的应用,五、定积分的物理应用,六、经济应用问题举例,定积分的应用,用定积分计算的量的特点：,一、定积分应用的微元法,用定积分概念解决实际问题的四个步骤：,定积分应用的微元法：,微元法中微
8、元的两点说明：,1.直角坐标系下的面积计算,二、用定积分求平面图形的面积,2.极坐标下的面积计算,1.平行截面面积为已知的立体体积,三、用定积分求体积,解 取坐标系如图，则底圆方程为,.,2、旋转体体积,四、平面曲线的弧长,思考题,1.功,(1)变力沿直线做功,定积分的物理应用,于是功为,若移至无穷远处，则做功为,于是所求的功为,例2 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体.在等温条件下,由于气体的膨胀,把容器中的一个活塞从点a处推移到点b处.计算在移动过程中,气体压力所作的功.,解,在点x处,因为VxS,所以作用在活塞上的力为,(2)抽水做功,于是功为,2.液体对平面薄板的压力,于是，端面所受的压力为,3.转动惯量,4 引力,解,建立坐标系如图,将典型小段近似看成质点,小段的质量为,小段与质点的距离为,引力,水平方向的分力元素,由对称性知，引力在铅直方向分力为,
