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1、,二次函数,26.1 二次函数的性质,二次函数 y=ax+bx+c 的符号问题,知识点一：,抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：,与y轴的正半轴相交,c0,与y轴的负半轴相交,c0,经过坐标原点,c=0,（1）a的符号：,由抛物线的开口方向确定,如果y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0);那么AB=|x1-x2|=,C,x1,x2,1.抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的条件是什么？,变式：不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a0）的值永远是正值的条件是什么？,你知道吗？不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a0）的值永远是非负数的条件是什么？,知
2、识点二：,a0,b2-4ac0,a0,b2-4ac0,知识点二：,2、抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的条 件是什么？,变式：不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a0）的值永远是负值的条件是什么？,你知道吗？不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a0）的值永远是非正数的条件是什么？,知识点三：,抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：,（5）a+b+c的符号：,由x=1时抛物线上的点的位置确定,点在x轴上方,点在x轴下方,点在x轴上,a+b+c0,a+b+c0,a+b+c=0,（6）a-b+c的符号：,由x=-1时抛物线上的点的位置确定,点在x轴上方,点在x轴下方,点在x轴上,a-
3、b+c0,a-b+c0,a-b+c=0,1、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：,x,y,o,a0,b0,0.,练习,2、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：,x,y,o,a0,b0,c=0,0.,练习,3、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：,x,y,o,a0,0.,练习,4、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：,x,y,o,a0,b=0,c0,=0.,练习,5、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：,x,y,o,a0,b=0,c=0,=0.,练习,6、抛物线y=a
4、x2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：,x,y,o,a0,c0,0.,练习,7、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（，a）在（）,A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限,x,o,y,a0,c0,D,练习,8、已知：一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图象是图中的（）,（A）,（B）,（C）,（D）,C,练习,9、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：abc0；b=2a；a+b+c0；a+b-c0;a-b+c0正确的个数是（）A、2个 B、3个C、4个 D、5个,C,练习,10、已知
5、：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：b0；c0；4a+2b+c 0；（a+c）2b2，其中正确的个数是（）A、4个 B、3个C、2个 D、1个,B,练习,因为a+b+c0所以b-a-c两边同时平方,11、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中下不正确的是（）A、abc0 B、b2-4ac0C、2a+b0 D、4a-2b+c0,D,练习,-b2a-2a,2a+b0,1、抛物线y=x2-8x+m的顶点在 x轴上则m=.,2、抛物线 y=x2+bx+1的顶点在 y轴上则b=_,3、抛物线 y=x2+bx+1对称轴是直线x=2则b=_,16,0,-4,练一练
6、：,1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：abc0；b=2a；a+b+c0；a+b-c0;a-b+c0正确的个数是（）A、2个 B、3个C、4个 D、5个,C,4错,练一练：,2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中下正确的是（）A、abc0 B、b2-4ac0C、2a+b0 D、4a-2b+c0,D,1.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c，且a0,a-b+c0,则一定有()A.b2-4ac0 B.b2-4ac=0 C.b2-4ac0 D.b2-4ac0,二、典型例题分析,A,2.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图 像如图所示，则
7、点M（b,c/a)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,D,-1,a 0,c 0,3.(河北省)在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图像大致为(),B,4.(山西省)二次函数y=x2+bx+c 的图像如图所示，则函数值 y0时，对应的x取值范围 是.,-3x1,.,-3,-3,5、已知二次函数y=ax2+bx+c的 图像如图所示，下列结论：a+b+c0，a-b+c0；abc0；b=2a 中正确个数为()A.4个 B.3个 C.2个 D.1个,A,6、无论m为任何实数，二次函数y=x2-(2-m)x+m 的图像总是过点()A.(1，3)B.(
8、1，0)C.(-1，3)D.(-1，0),C,当x=1时,y=a+b+c,当x=-1时,y=a-b+c,a 0,x=-b/2a=-1,D,7.(安徽)二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图，则下列a、b、c间的关系判断正确的是()A.ab 0 D.a-b+c 0,8.(绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的 图像如图，则不等式bx+a0的 解为()A.x a/b B.x-a/b C.x a/b D.x-a/b,D,a 0,b 0,c 0,a 0,b 0,9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么下列判断不正确的有()A.abc0 B.b2-4ac0 C.2a+b0 D.4a-2b
9、+c0,D,X=-b/2a1-b2a2a+b0,当x=-2时,y=4a-2b+c,0,D,10、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两 个交点，则a的取值范围是()A.a0 B.a-4/9 C.a 9/4 D.a9/4且a0,11.某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直，如图所示).如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面40/3米，则水流落地点B离墙的距离OB是()A.2米 B.3米 C.4米 D.5米,B,O,抛物线顶点M（1,40/3)与y轴交点A(0.10),求得抛物线解析式;,求出抛物线与x轴的交点;,1、(青海省)如图所示，已知抛物线
10、 y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(x1,0)，B(x2，0)，且x1+x2=4，x1x2=3，(1)求此抛物线的解析式；(2)设此抛物线与y轴的交点为C，过点B、C作直线，求此直线的解析式；(3)求ABC的面积.,(1)y=-x2+4x-3,(2)y=x-3,(3)3,三、综合应用 能力提升,2、已知;二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1).(1)求证:不论m为何值时,函数的图像与x轴总有交点,并指出m为何值时,只有一个交点；(2)当m为何值时,函数图像过原点,并指出此时函数图像与x轴的另一个交点；(3)若函数图像的顶点在第四象限,求m的取值范围.,(2)另一个交点坐标为(
11、1，0),(3)当m-1且m3时,抛物线的顶点在第四象限,确定二次函数解析式,用待定系数法求二次函数解析式，要根据给定条件的特点选择合适的方法来求解,一般地，在所给条件中已知顶点坐标时，可设顶点式y=a(x-h)2+k，在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称轴，可设交点式y=a(x-x1)(x-x2);在所给的三个条件是任意三点时，可设一般式y=ax2+bx+c;然后组成三元一次方程组来求解。,例:已知关于x的二次函数,当x=1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析试.,待定系数法,例：根据下列条件，分别求出对应
12、的二次函数解析式,（1）已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3),（2）已知抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图像过（0，-3）,已知顶点坐标设顶点式y=a(x-h)2+k顶点是（1，2）设y=a(x-1)2+2，又过点（2，3）a(2-1)2+2=3，a=1 y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3,已知与x轴两交点横坐标，设交点式y=a(x-x1)(x-x2)由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3，设y=a(x-1)(x-3),过（0，-3），a(0-1)(0-3)=-3,a=-1 y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3,(3)已知二次函数的图像过（-1，2），（0，1），（
13、2，-7）,已知普通三点设一般式y=ax2+bx+c,设y=ax2+bx+c过（-1，2），（0，1），（2，-7）三点,y=-x2-2x+1,例：已知一抛物线与x轴的交点A（-2，0），B（1，0）且经过点C（2，8）（1）求该抛物线的解析式（2）求该抛物线的顶点坐标,解：设这个抛物线的表达式为Y=ax2+bx+c,由已知，抛物线过点（-2，0），B（1，0），C（2，8）三点，得,4a-2b+c=0,a+b+c=0,4a+2b+c=8,解这个方程组得，,a=2,b=2,C=-4,所以该抛物线的表达式为y=2x2+2x-4,(2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x+1/2)2-
14、9/2,所以该抛物线的顶点坐标为（-1/2，-9/2）,例：如图，已知二次函数 的图像经过点A和点B（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离,解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入 得 解得二次函数的表达式为（2）对称轴为；顶点坐标为（2，-10）（3）将（m，m）代入，得，解得 m0，不合题意，舍去m=6点P与点Q关于对称轴 对称，点Q到x轴的距离为6,抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：,（1）a的符号：,由抛物线的开口方向确定,小结,
