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1、2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,1,第3章 一元函数积分学及其应用,第1节 定积分的概念，存在条件与性质第2节 微积分基本公式与基本定理第3节 两种基本积分法第4节 定积分的应用第5节 反常积分第6节 几类简单的微分方程,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,2,积分问题,微分方程问题,推广,第6节 几类简单的微分方程,本节仅讨论几类能直接利用积分方法求解的简单微分方程及其应用.ch7章对微分方程的理论及其求解将进行较为系统的介绍,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,3,第6节 几类简单的微分方程,6.1 几个基本概念6.2
2、可分离变量的微分方程6.3 一阶线性微分方程6.4 变量代换法6.5 可降阶的高阶方程6.6 应用举例,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,4,解,6.1、几个基本概念,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,5,解,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,6,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,7,微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,分类1:常微分方程,偏微分方程.,20
3、08年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,8,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类2:,微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,9,分类3:线性与非线性微分方程.,分类4:单个微分方程与微分方程组.,如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程.,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,10,微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,微分方程的解的分类：,(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程
4、的阶数相同.,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,11,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,通解的图象:积分曲线族.,初始条件:用来确定任意常数的条件.,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,12,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,13,解,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,14,所求特解为,补充:,微分方程的初等解法:初等积分法.,求解微分方程,求积分,(通解可用初等函
5、数或积分表示出来),2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,15,6.2 可分离变量的微分方程,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,16,定义,分离变量法步骤:,1.分离变量;,2.两端积分-隐式通解.,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,17,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,18,例4 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,19,例5,解,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,20
6、,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,例如,线性的;,6.3 一阶线形微分方程,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,21,齐次方程的通解为,1.线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,22,2.线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐方程通解形式,与齐方程通解相比:,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,23,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质:未知函数的变量代换.,作变换,2008年12月17日,南京航空航天大学 理
7、学院 数学系,24,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,25,解,例1,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,26,求一连续可导函数,使其满足下列方程:,提示:,令,则有,利用公式可求出,例2,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,27,6.4 变量代换法,2 伯努利方程,1 齐次方程,3 其他的变量替换法举例,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,28,6.4 变量代换法,的微分方程称为
8、齐次方程.,(2)解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,(1)定义,1 齐次方程,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,29,例 1 求解微分方程,微分方程的解为,解,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,30,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,2 伯努利方程,解法:需经过变量代换化为线性微分方程.,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,31,求出通解后，将 代入即得,代入上式,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,32,解,例 2,2008年12月1
9、7日,南京航空航天大学 理学院 数学系,33,解,代入原方程,原方程的通解为,3 其他的变量替换法举例,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,34,通解为,解,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,35,EX,3.,1,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,36,1,解,代入原方程,原方程的通解,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,37,解,分离变量法得,所求通解为,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,38,3.,解,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,39,(h,k
10、为待,例5 求解可化为齐次方程的方程,作变换,原方程化为,令,解出 h,k,(齐次方程),定常数),2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,40,求出其通解后,即得,原方程的通解.,原方程可化为,令,(可分离变量方程),2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,41,解,代入原方程得,例,方程变为,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,42,分离变量,得,得原方程的通解,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,43,6.5 可降阶的高阶方程,1、型,降阶,n阶降到n-1阶,2、型,3、型,2008年12月17日,南京航空航
11、天大学 理学院 数学系,44,型,代入原方程,得,解法：,特点：,P(x)的(n-k)阶方程,可得通解.,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,45,解,代入原方程,解线性方程,得,两端积分,得,原方程通解为,例 1,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,46,型,求得其解为,原方程通解为,特点：,解法：,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,47,解,代入原方程得,原方程通解为,例 2,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,48,6.6、微分方程应用举例,应用微分方程解决实际问题的基本步骤：,（1）分析问题，建立
12、起实际问题的数学,模型常微分方程（组）,（2）求解与分析这一数学模型，即求出,相应的常微分方程（组）的解，或,是精确解或近似解，其中还包括分,析解的特性,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,49,（3）用所得的数学结果（解的形式和数,值定性分析等）回过头去解决实际,问题，从而预测某些自然现象甚至,社会现象中的特定性质，以便达到,能动地改变世界解决实际问题的目的。,1.根据规律列方程，,2.微分分析法（微元法），,3.模拟近似法。,基本方法,例1,解,衰变规律,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,51,例2,解,2008年12月17日,南京航空航天大学
13、 理学院 数学系,52,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,53,例3,解,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,54,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:,可分离变量,所求规律为,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,56,例4,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,57,解,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,58,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,59,某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有 的,为了降低车间内空气中 的含量,用
14、一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内 的百分比降低到多少?,例4,解,设鼓风机开动后 时刻 的含量为,在 内,的通入量,的排出量,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,60,6分钟后,车间内 的百分比降低到,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,61,例5,解,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,62,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,63,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,64,注意,2008年
15、12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,65,积分得,故有,得,(抛物线),故旋转曲面为旋转抛物面,方程为,将方程化为,(齐次方程),2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,66,例6 设物体A从点(0,1)出发，以速度大,小为常数v沿 y轴方向运动。物体 B从点(-1,0),与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终,指向A。试建立物体B的运,动轨迹 所满足的微分方程，,并写出初值条件。,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,67,【解】如图，设在时刻t，物体B位于点M(x,y),此时物体A位于点N(0,1+vt)。轨线在点,M的切线指向点N。由两点式知，M处,的切线斜率为,即,但这还不是轨迹所满足的微分方程，因为,其中含有时间t，要设法消去t。,2008年12月17日,南京航空航天大学 理学院 数学系,68,点M处物体B的运动速度大小,代入得,再求导，得,初始条件：,即为物体B的运动轨迹所满足的微分方程,
