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1、概率论与数 理 统 计,1.3古典概型与几何概型,一、古典概型的概念及计算,二、古典概型的计算,主要内容,三、几何概型,一、古典概型的概念,定义：,有限性,样本空间的元素（即基本事件）只有有限个，,等可能性,每个基本事件出现的可能性是相等的，即,则称此试验为古典型随机试验，简称为古典概型。,一个随机试验如果有如下特征：,定义：设古典概型的所有基本事件为：为：，事件A含有其中的k个基本事件，则定义事件A的概率为,例：掷两枚硬币，A=“两个都正面朝上”，B=“恰好一个正面朝上”。,二、概率的古典定义,例：投骰子A=“出现1点”，B=“出现2点”,G=“出现奇数点”,“出现6点”,例从0至9这10个
2、数中有放回的任取两个数字，试求它们之和等于5的概率,很明显这是一个古典概型问题，但如果读者不假思索地把取出的两个数之和作为基本事件，从而样本空间为，那就错了,因为对于这19个结果来说，它们不是等可能的。例如“和等于1”只有取到（0，1）与（1，0）这两种情形；“和等于4”却有取到（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0）五种情形。显然后者比前者发生的可能性大。正确的解法为：n=1010=100 取出的两数之和等于5由（0，5），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（5，0）这6个基本事件组成，k=6，则,排列组合有关知识复习,1.排列 从 n 个不同的元素中取出 r
3、 个(不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有,全排列,种,种,2.组合(1)从 n 个不同的元素中取出 r 个(不放 回地）组成一组，不同的分法共有,(2)多组组合 把 n 个元素分成 k 个不同的组,（组编号），各组分别有,个元素，,不同的分法共有,种,种,3.一些常用等式,二、古典概率计算的一些例子,（1）、摸球问题,例1.3.1 在盒子中有五个球（三个白球、二个黑球）从中,例1.3.2 在盒子中有十个相同的球，分别标为号码1，2，,例1.3.3 一套五册的选集，随机地放到书架上，,试求下列事件的概率：,一白、一黑的概率？,偶数的概率。,任取两个。问取出的两个球都是白球的概率？,
4、3，9，10，从中任摸一球，求此球的号码,（1）第一卷出现在旁边,（2）第三卷恰好在中央,（3）各卷自左向右或自右向左恰成12345的顺序,（4）某三卷放在一起,解,（1）设A=“第一卷出现在旁边”，,（2）设B=“第三卷恰好在中央”，,（3）设C=“各卷自左向右或自右向左恰成12345的顺序”，,（4）设D=“某三卷放在一起”，,例设有40件产品，其中有3件次品，现从中抽取3件，求下列的概率,（1）3件中恰有1件次品,（2）3件中恰有2件次品,（3）3件全是次品,（4）3件全是正品,（5）3件中至少1件次品,（1）设A=“3件中恰有1件次品”，,解,（2）设B=“3件中恰有2件次品”，,（3
5、）设C=“3件全是次品”，,（4）设D=“3件全是正品”，,（5）设E=“3件中至少1件次品”，,（2）分房问题,例1.3.5 设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住（nN），求下列事件的概率：,指定的n个房间各有一人住,恰好有n个房间，其中各有一人,设有 k 个不同的球,每个球等可能地落入 N 个盒子中（）,设每个盒子容球数无限,求下列事件的概率:,（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；,（4）恰有 k 个盒子中各有一球；,（3）某指定的一个盒子没有球；,（5）至少有两个球在同一盒子中；,（6）每个盒子至多有一个球.,例(分房模型),（2）某指定的一个盒子恰有m个球；,
6、解,设(1)(6)的各事件分别为,则,例1.3.6“分房模型”的应用,生物系二年级有 n 个人，求至少有两,人生日相同（设为事件A)的概率.,解,本问题中的人可被视为“球”，365天为,365只“盒子”,若 n=64，,每个盒子至多有一个球.由例4（6）,为 n 个人的生日均不相同,这相当于,“分房模型”可应用于很多类似场合,信封,信,钥匙,门锁,女舞伴,生日,人,男舞伴,例1.3.7 在电话号码簿中人取一个号码（电话号码由7个数字组成），求取到的号码是由完全不同的数字组成的概率？,例从1，2，3，10这10个数中任取一个，假定各个数都以同样的概率被取中，取后还原，先后取7个数字，求下列事件的
7、概率：（1）7个数全不相同；（2）不含10与1；（3）5恰好出现两次；（4）5至少出现两次；（5）取到的最大数恰好为6。,解：,（4）5至少出现两次由5出现两次，5出现三次，5出现七次构成,3.随机取数问题,（5）取到的最大数恰好为6可分为6出现一次，两次，七次,解,例1.3.9在0,1,2,3,9中不重复地任取四个数，求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.,设 A为“能排成首位非零的四位偶数”,四位偶数的末位为偶数,故有 可能,而前三位数有 种取法,由于首位为零的四,位数有 种取法,所以有利于A发生的取,法共有 种.,三、几何概型,例如：我们在一个面积为 的区域 中,等可能地任意投点，这就是
8、一个几何概型。这里等可能的确切意义是这样的：设在区域 中有任意一个小区域A，如果它的面积为，则点落入A中的可能性大小与 成正比，而与A的位置及形状无关，如果“点落入小区域A”这个随机事件仍然记作A，则由 可得,这一类概率通常称作几何概率,定义：一个试验具有下列两个特征：,（1）每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示,（2）每次试验的各种结果是等可能的,这样的试验称为几何概型。,定义：设几何概型的样本空间可表示成有度量的区域，仍记为，事件A所对应的区域仍以A表示，则定义事件A的概率为,这个定义称为概率的几何定义，由 式确定的概率称为几何概率。,例 某公共汽车站每隔5分
9、钟来一辆汽车，设乘客在间隔的两辆车之间的任一时刻都可能到达车站，试求乘客等车不超过3分钟的概率。,解：设A=“乘客等车不超过3分钟”,例甲乙两人约定在6时到7时之间某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。,（1）、会面问题,例甲乙两人约定在6时到7时之间某处会面，并约定甲先到应等候乙一刻钟，乙先到应等候甲十分钟过时即可离去，求两人能会面的概率。,例在长度为T的时间段内，有长短不等的信号随机地进入接收机。长信号持续的时间为t1,短信号持续的时间为t2。试求这两个信号互不干扰的概率。,例蒲丰（Buffon）投针问题。平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为a(
10、a0)，向平面任意投掷一枚长为l(la)的针，试求针与平行线相交的概率。,例1.3.15从 中随机地取两个数，求其积不小于，其和不大于1的概率。,解：设所取的两个数为x、y，则样本空间为,设A=“两数其积不小于，其和不大于1”，,例5甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船停泊的时间是一小时，乙船停泊的时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率。,解：设甲、乙两艘轮船到达码头的时刻分别为x,y,由题意，若甲先到，则乙必须晚1小时到达，即,若乙先到，则甲必须晚2小时，即,如图中蓝色部分,设A=“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”，则,例6在三角形ABC中任取一点P，证明：的面积之比大于 的概率为。,证：如图,当点P落入 中时，,P,P,D,E,N,M,F,例7在线段AB上任取三点，求：,（1）位于 与 之间的概率；,（2）能构成一个三角形的概率。,解：,（1）设A=“位于 与 之间”，,线段AB的长为a,的长度分别为,点 位于 与 之间，则必须满足 或，,它是以O、E、F、G或O、A、B、E为顶点的两个四面体，,（2）设B=“能构成一个三角形”，,能构成一个三角形的充要条件是,它是一个以O、A、B、C、D为顶点的六面体，,其体积为,
