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1、,2.3 向量组线性相关性的等价刻画,2.3 向量组线性相关性的等价刻画,定理2.2.向量组1,2,s线性相关,存在一组不全为零的数k1,k2,ks,使得k11+k22+kss=0.,证明:()1,2,s线性相关,r(A)s,其中A=(1,2,s),存在s阶可逆矩阵P使得APes=0,令(k1,k2,ks)=(Pes)T，,则(k1,k2,ks)0且,k11+k22+kss=0.,第二章 n维列向量,2.3 向量组线性相关性的等价刻画,()设k1,k2,ks不全为零且,不妨设k1 0,则,k11+k22+kss=0.,根据推论2.1可知 1,2,s线性相关.,因而1,2,s能由2,s线性表示.
2、,第二章 n维列向量,2.3 向量组线性相关性的等价刻画,推论2.4.若1,2,s线性相关,反之,若1,2,s,s+1,t线性 无关,则1,2,s也线性无关.,则1,2,s,s+1,t也线性相 关.,第二章 n维列向量,2.3 向量组线性相关性的等价刻画,若向量组,线性相关,其中1,2,s是维数相同的列向量,1,2,s也是维数相同的列向量,则1,2,s也是线性相关的.,反之,若1,2,s线性无关,则,也是线性无关的.,11,2 2,s s,第二章 n维列向量,2.3 向量组线性相关性的等价刻画,推论2.5.1,2,s线性无关,由k11+k22+kss=0可推出,k1=k2=ks=0.,例2.6
3、 设n维列向量和nn矩阵A满足,Ak1 0,但Ak=0,证明:向量组,A,A2,Ak1 线性无关.,第二章 n维列向量,2.3 向量组线性相关性的等价刻画,定理2.3.向量组1,2,s线性相关,1,2,s至少有一个可以由其余 s1个向量线性表示.,定理2.4.若向量组1,2,s线性无关,而,1,2,s,线性相关,则 一定 能由1,2,s线性表示,并且表示的方式是唯一的.,第二章 n维列向量,2.3 向量组线性相关性的等价刻画,例2.7 证明:n个n维列向量1,2,n线性无 关的充分必要条件是:任何一个n维列向 量都能由1,2,n线性表示.,证明:(充分性)任何一个n维列向量 都能由 1,2,n线性表示,都能由1,2,n线性表示,n=r(1,n)r(1,n)n,第二章 n维列向量,2.3 向量组线性相关性的等价刻画,证明:(必要性)由于n+1个n维列向量总是线 性相关的,所以1,2,n,线性相 关.,又因为1,2,n线性无关,根据定理 2.4可知都能由1,2,n线性表示.,第二章 n维列向量,例2.7 证明:n个n维列向量1,2,n线性无 关的充分必要条件是:任何一个n维列向 量都能由1,2,n线性表示.,
