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1、与函数项级数相同,含参量反常积分的重要内容是判别含参量反常积分的一致收敛性.在相应的一致收敛的条件下,含参量反常积分具有连续性、可微性、可积性.含参量反常积分的一致收敛性的判别法与函数项级数的一致收敛性的判别法类似.,四、Euler 积分简介,三、含参量反常积分的性质,二、含参量反常积分一致收敛性的判别,一、含参量反常积分的一致收敛性,温馨提示：本章知识抽象程度较高，理解难度较大，提请大家认真听讲！,(教材中=c,d).若对于,一、含参量反常积分的一致收敛性,反常积分,或称含参变量的反常积分.,定义1 若含参量反常积分(1)与函数 I(y)对,即,充要条件是,的充要条件是,例1 讨论含参量反常
2、积分,的一致收敛性.,于是,而对于任何正数,有,定理1(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分(1),*证 必要性,二、含参量反常积分一致收敛性的判别,因此,则令,*例2 证明含参量的反常积分,不一致收敛.,使得,使得,即,收敛之间的联系有下述定理.,关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致,注 由定理2,含参量反常积分可看作函数项级数.,下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法.它们的证明与函数项级数相应的判别法相仿.,魏尔斯特拉斯(Weierstrass)M 判别法,证 由于,因此,设有函数 F(x),使得,*狄利克雷(Dirichlet)判别法,则含参量反常积分,证,上一致收敛.,*阿贝
3、耳(Abel)判别法,设(i),则含参量反常积分,证,例3 证明含参量反常积分,证 由于对任何实数 y 有,例4 证明含参量反常积分,故由阿贝耳判别法即得含参量反常积分,在0,+上一致收敛.,恒有,时,不一致收敛.,定理3(含参量反常积分的连续性定理),证 因为,在上一致收敛,则 I(y)在 上连续.,三、含参量反常积分的性质,注：定理3 证明了在一致收敛的条件下,极限运,算与积分运算可以交换，即,上可积.,又由定理2得：函数项级数,定理4(含参量反常积分的可积性),根据函数项级数逐项求积分定理,有,定理4(无穷区间含参量反常积分的可积性),(ii)积分,中有一个收敛.则必有,也收敛.,*证
4、不妨设其中中第一个积分收敛,由此推得,根据条件(i)及定理4,有,由条件(ii),对于任给的,有,使得当 时有,定理5(含参量反常积分的可微性定理),表明在定理条件下,求导运算和积分运算可以交换.,注：定理5 也可表达成,例6 计算,解 设,例7 计算,据M判定法,含参量反常积分,上连续,根据定理4交换积分有顺序，,积分I 的值不变.于是,四、欧 拉 积 分简介,B 函 数,两种重要的含参变量广义积分：,【下册 P71:2(7)】,在数理方程、概率统计中有广泛的应用.,1.定义域和连续性,2.函数的递推公式,3.函数的另一表达式,4.函数和 函数的关系(证明略),例1 求证,作 业 布 置:,P,264265:2(1),(3);4(2),(4);7.,
