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1、7.5多元函数的极值与最值,一、问题的提出二、多元函数的极值与最值三、条件极值、拉格朗日乘数法,实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大利润？,每天的利润为,求最大利润即为求二元函数的最大值.,一、问题的提出,播放,二、多元函数的极值和最值,1、二元函数极值的定义,例1,例,例,2、多元函数取得极值的条件,证,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极值点,问题：如何判定一个
2、驻点是否为极值点？,注意：,对于偏导数存在的函数,例2 设 是常数，求 z 的极值。,解：解方程组 得实数解为,对驻点(a,b)有所以点(a,b)是极大值点，极值为,对驻点(0,0)有所以点(0,0)不是极值点。对驻点(0,2b)、(2a,0)、(2a,2b)可用类似方法判断，并得到它们均不是极值点。,求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.若D内只有一个极值点，则必为最值点。,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,3、多元函数的最值,例3 某企业生产两种商品的产量分别为x单
3、位和y单 位，利润函数为 L=64x-2x2+4xy-4y2+32y-14，求最大利润。,解：,(x0,y0)=(40,24)为极大值点，就 是最大值点。,解,由,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效用函数为 设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质：求 在条件 下的极值点,三、条件极值、拉格朗日乘数法,条件极值：对自变量有附加条件的极值,解,则,例6 设某工厂生产A和B两种产品，产量分别,为x和y（单位：千件），利
4、润函数为,（单位：万元）,已知生产这两种产品时，每千件产品均 需消耗某种原料2000公斤，现有该原料 12000公斤，问两种产品各生产多少千 件时，总利润最大？最大利润为多少？,解：由题意，12000公斤原料能生产 千件产品。,因此12000公斤原料，所生产的两种产品的千件数 x，y 须满足条件 x+y=6,这样，问题就是：在x+y=6的条件下，求 L(x,y)的最大值。,当 x0=3.8（千件），y0=2.2（千件）时,总利润最大，最大利润为 L(3.8,2.2)=36.72（万元）,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,二、多元函数的极值和最值,
