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1、1,2.4 多元函数的极值问题,多元函数的极值问题条件极值的问题,2,2.4.1 多元函数的极值问题,1.极 值,3,2.4.1 多元函数的极值问题,1.极 值,例 如,4,2.4.1 多元函数的极值问题,1.极 值,例 如,例 如,5,2.4.1 多元函数的极值问题,1.极 值,例 如,例 如,例 如,在点(0,0),无极值.,6,2.4.1 多元函数的极值问题,1.极 值,（函数取极值的必要条件）,7,说明：,使偏导数都为 0 的点称为驻点.,例如,但驻点不一定是极值点.,有驻点(0,0),但在该点不取极值.,8,2.4.1 多元函数的极值问题,1.极 值,（函数取极值的充分条件）,9,1
2、0,A=,B=,C=,故,故,11,例2.,求函数,解:第一步 求驻点.,得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,第二步 判别.,在点(1,0)处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,12,在点(3,0)处,不是极值;,在点(3,2)处,为极大值.,在点(1,2)处,不是极值;,13,2.4.1 多元函数的极值问题,2.最大值与最小值,极值与最值的区别：,注：,14,2.4.1 多元函数的极值问题,2.最大值与最小值,最大值和最小值的求法,15,其中仅有(2,1)在区域D内，,故函数在D内有惟一驻点其值为 f(2,1)=4.,16,17,利润函数,18,且,19,例
3、4.,解:设水箱长,宽分别为 x,y m,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水,箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时,水箱所用材料最省.,20,条件极值的问题,21,方法 Lagrange乘数法.,条件极值的求法:,如方法 1 所述,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满足,设,故,故有,记,22,若引入辅助函数,极值点必满足,则【】也就是:,【】,【】,23,利润函数为,约束条件为,根据拉格朗日乘数法，得Lagrange函数,24,根据拉格朗日乘数法，得Lagrange函数,由方程组,25,则总费用,设两种产品每批生产的批量分别为x，y.,约束条件为,根据拉格朗日乘数法，得Lagrange函数,26,约束条件为,根据拉格朗日乘数法，得Lagrange函数,由方程组,27,2.4 结束,课后习题：,习题提示：,P74习题2.4,
