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1、第四章 线性系统的能控性与能观性,4.3 定常系统的能观性,4.3 定常系统的能观测性4.3.1 定常离散系统的能观测性4.3.2 定常连续系统的能观测性4.3.3 利用MATLAB判定系统能观测性,研究线性系统状态能观测性问题时,只考察系统输出y(t)反映状态向量x(t)的能力,这与系统的外加输入u(t)无关。因此,对线性系统只需要利用系统在有限时间内输出的零输入响应去研究系统的能观测性,即只需从系统的齐次状态方程和输出方程出发来考察系统的能观测性。,第四章 线性系统的能控性与能观性,4.3 定常系统的能观性,4.3.1 定常离散系统的能观性考虑离散系统,定义 对于上述系统，在已知输入u(t
2、)的情况下，若能依据第i步及以后n-1步的输出观测值y(i),y(i+1),y(i+n-1)，唯一地确定出第i步上的状态x(i)，则称系统在第i步是能观测的。如果系统在任何i步上都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测。,第四章 线性系统的能控性与能观性,4.3 定常系统的能观性,定理 对于线性定常离散系统，状态完全能观测的充分必要条件是矩阵,的秩为n。矩阵称为能观测性矩阵，记为O。,第四章 线性系统的能控性与能观性,4.3 定常系统的能观性,例 判断下列系统的能观测性,于是系统的能观测性矩阵为,秩为3，所以系统能观。,第四章 线性系统的能控性与能观性,4.3 定常系统的能观性,例
3、 系统状态方程仍如上例，而观测方程为,秩小于3，所以系统不能观。,第四章 线性系统的能控性与能观性,4.3 定常系统的能观性,定常连续系统的能观性,分析系统能观测性问题时,只需从系统的齐次状态方程和输出方程出发,即,1.系统状态能观测与完全能观测,定义 对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间t0,t1内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0)，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。,2.系统不能观测,对于上述线性时变连续系统，如果取定初始时刻，存在一个有限时刻，对于所有，系
4、统的输出y(t)不能惟一确定 时刻的任意非零的初始状态向量（即至少有一个状态的初值不能被确定）,则称系统在 时刻是状态不完全能观测，简称系统不能观测。,第四章 线性系统的能控性与能观性,4.3 定常系统的能观性,定常连续系统的能观性能观性判据的第一种形式,定理 线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是能观性矩阵,的秩为n。,证明 状态方程式的解为,将上式代人输出方程，得,由于u(t)是一直给定的，且上述非齐次线性方程组的解x(0)是否存在主要取决于系数矩阵和右端项y(t)，故不妨取u(t)=0.,（）,应用凯莱哈密顿定理，将 代入上式，可得,写成向量-矩阵形式,即,这是一个含有n个未知量
5、q个方程的线性方程组，当qn时,方程无唯一解。如要唯一地解出n维初始状态x(0)，必须用不同时刻的输出值 构成具有n个独立方程式的线性方程组,其中,简记为,方程组 有唯一解的充要条件是系数矩阵M和增广矩阵 的秩相同且为n,即,而矩阵M的秩等于n,则要求 矩阵满秩，,【例】试判断线性定常连续系统,的能观测性。,解,所以该系统状态完全能观测。,第四章 线性系统的能控性与能观性,4.3 定常系统的能观性,例 判断下列系统的能观性。,秩等于2，所以系统是能观测的。,第四章 线性系统的能控性与能观性,4.3 定常系统的能观性,能观性判据的第二种形式,定理 若线性定常系统的状态矩阵有互不相同的特征值，则系
6、统状态能观测的充要条件是，经线性等价变换把矩阵化成对角标准形后，系统的状态空间表达式,中，矩阵,不包含元素全为零的列。,第四章 线性系统的能控性与能观性,4.3 定常系统的能观性,定理 设线性定常系统的状态矩阵有不同的重特征值，且对应于每一重特征值只有一个约当块。则系统状态完全能观测的充要条件是，经线性等价变换将矩阵化成约当标准形后，系统的状态空间表达式,中，与每个约当块第一列相对应的,矩阵的所有各列，其元素不全为零。,【例】判断下列系统的能观测性,（1）系统能观测,（2）系统不能观测,（3）系统能观测,（4）系统不能观测,【例】判断如下四个系统的能观测性,系统能观测,（1）,（2）,系统不能
7、观测,（3）,系统不能观测,(4),系统能观测,与系统能控性的约当标准型判据相对应,关于系统能观测性的约当标准型判据也请注意两点：,1)若系统既有重特征值又有单特征值，则其状态空间表达式经非奇异变换得到的约当标准型中，系统矩阵中既出现约当子块又出现对角子块，此时应综合运用对角标准型判据和约当标准型判据分析。例如,例中系统、系统的分析。,2)当A有重特征值时，也有可能变换为对角线标准型(即 为对角线型,但与重特征值对应的对角元素是相同的)或不同于式(4.3.12)形式的约当标准型(即在约当阵 中出现两个或两个以上与同一重特征值对应的约当子块,而式(4.3.12)中的约当型阵其同一重特征值只对应一个约当子块),在这些情况下,则不能简单地按上述标准型判据确定系统的能观测性,尚需考察 中某些列向量的线性相关性,即应修改上述标准型判据。现直接给出有关结论:,若A具有重特征值且 为约当标准型,但 中出现两个或两个以上与同一特征值对应的约当子块，则系统状态完全能观测的充要条件是 中与每个约当子块第一列相对应的各列都不是元素全为零的列;且与 中所有相等特征值的约当子块第一列相对应的 中的那些列线性无关。,系统能观测,例如,（1）,（2）,系统不能观测,（3）,系统能观测,系统（3）中，4重特征值4分布在2个约当子块中,这2个约当子块首列对应的输出阵中的2个列向量,线性无关，故系统能观测。,
