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1、,计算机图形学,杨 武 影像科学与技术实验室 东南大学计算机学院,2,第五章之第三节 投影矩阵,3,基本内容,推导出在标准OpenGL投影中所用的投影矩阵具体表示介绍倾斜投影介绍投影规范化,4,规范化,不想为每种类型的投影设计不同的投影矩阵，所以把所有的投影转化为具有默认视景体的正交投影这种策略可以使我们在流水线中应用标准变换，并进行有效的裁剪,5,流水线,模型-视图变换,投影变换,透视除法,裁剪,投影,4D 3D,相对于默认立方体,3D 2D,6,注释,在模型视图变换和投影变换的过程中，我们是一直在四维齐次坐标中的 默认值为单位阵（正交视图）规范化使得不管投影的类型是什么，都是相对于默认的简
2、单立方体进行裁剪投影直到最后时刻才进行 从而可以尽可能的保留深度信息，这对隐藏面消除是非常重要的,7,正交规范化,glOrtho(left,right,bottom,top,near,far),规范化 求出把指定裁剪体转化为默认裁剪体的变换,8,正交规范化矩阵,两步把中心移到原点，对应的变换为T(-(left+right)/2,-(bottom+top)/2,(near+far)/2)进行放缩从而使视景体的边长为2 S(2/(left-right),2/(top-bottom),2/(near-far),P=ST=,9,最后的投影,令 z=0 等价于如下的齐次坐标变换从而在4D中一般的正交投影
3、为,Morth=,P=MorthST,10,倾斜投影,OpenGL的投影函数不支持一般的平行投影，例如立方体的如下图示此时立方体好像发生了剪切，然后再进行正交投影倾斜投影=剪切正交投影,11,一般的剪切,顶视图,侧视图,12,剪切矩阵,xy 剪切(z 值不变)投影矩阵一般情形,H(q,f)=,P=Morth H(q,f),P=Morth STH(q,f),13,等价性,14,对裁剪体的影响,投影矩阵P=STH把原来的裁剪体变换为默认的裁剪体,顶视图,DOP,DOP,近面,远面,对象,裁剪体,z=-1,z=1,x=-1,x=1,变形后的对象,15,简单透视,考虑简单透视：COP在原点，近裁剪面在
4、z=-1,由平面x=z,y=z确定的有90度的视野,16,透视矩阵,齐次坐标下的简单投影矩阵为注意这个矩阵与远裁剪面无关,M=,17,推广,N=,透视除法后，点(x,y,z,1)变到了,x=-x/z，y=-y/z，Z=-(a+b/z),无论,的值是什么，在正交透影后就得到所期望的点。此时矩阵N非奇异,18,a 与b的选取,如果取,a=,b=,那么近平面映射到 z=-1远平面映射到 z=1各侧边映射到 x=1,y=1,19,规范变换,原来的裁剪体,原来的对象,变换后的裁剪体,变形后的对象,20,规范化与隐藏面消除,虽然这里选择的透视矩阵形式上看起来有点儿任意，但这种选择保证如果在原来的裁剪体内z
5、1z2,那么变换后的点满足z1z2因此如果首先应用规范变化，隐藏面消除算法有效然而，公式z=-(+/z)意味着由于规范化导致距离发生了改变，这可能导致数值问题，特别是当近距离非常小的时候更是如此,21,OpenGL 的透视,glFrustum 可以定义非对称视景体，但 gluPerspective 不能做到,22,OpenGL 透视矩阵,在glFrustum中的规范化需要进行一个初始剪切变换，从而形成一个视景棱台，接着进行放缩变换，得到规范后的透视视景体。最后，透视矩阵导致只需要最后的正交变换:,P=NSH,23,投影矩阵,P=NSH=,24,为何采取这种方法？,规范化使得只需要一个流水线体系就可以进行透视投影和正交投影尽可能位于四维齐次空间中，以便保持隐藏而消除和明暗处理所需要的三维信息简化了裁剪的操作,
