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1、义务教育数学新“课标”的理念、内容及小学案例解读,南开大学 顾 沛 2013年4月12日 人教社研讨会 江西婺源,1,2,2012年，进入课程改革的一个新时期,2011年12月28日，教育部颁布了义务教育数学课程标准（2011年版）在内的19种课程标准。为落实课程标准，教育部强调：组织开展 全员学习和培训，全面理解、深刻领会、准确把握修订后课程标准的精神实质和主要变化。根据修订后印发的各学科课程标准，组织教科书的修订和审查工作。今年秋季已在所有起始年级使用新教材。其他年级也要依据新课程标准组织教学，改进评价方法。加强组织领导，统筹规划，全面部署新课程标准的学习、宣传、培训和教研工作，确保新课程
2、标准的全面落实。（教基二司20119号文，2011年12月28日 中国教育报 2012年2月8日 CCTV 1 新闻直通车 2月12日）,3,媒体的报道,4,课程标准是国家的法定文件，应该特别重视。我国基础教育现在实行“一标多本”的教材建设和选用制度，“课标”的地位和重要性远远高于各出版社出版的教材。希望教师养成经常研读“课标”的习惯。教师备课，应该避免“重教材，轻课标”的情况；看课程标准，应该避免“重内容部分，轻理念部分”的情况。教任何一个年级的教师，都应该尽量了解教学全局，包括数学课程的教学全局，也包括语文、科学等课程的相关情况。教材，由于编写和审定需要时间，一本一本地逐年出版，教师难以胸
3、有全局，其实弊病很大。课程标准对于教学内容，是按照学段表述的，不是按照年级表述的。天津市和平区的小学教研，从2011年10月开始布置“教师说课标”活动，一直延续至2012年6月，是很好的措施。,5,一个大学教师，何以参与小学教师的培训？（讲的又是关于课标解读的话题）,在教学方面有某些成绩在数学文化的教学方面有某些成果与基础教育有某些特别的关系,6,与基础教育有某些特别的关系,2005年5月以来作为教育部“义务教育数学课程标准修订组”的成员，起草了义务教育数学课程标准（2011年版）。2005年以来参与基础教育的一些调查研究工作，在全国各地中小学听课约200节；同时进行“评课”和教学研究工作。2
4、010年4月以来作为“国家基础教育课程教材专家工作委员会”委员，参与基础教育的多项工作。2011年参与义务教育数学课程标准（2011年版）解读的写作工作，该解读2012年已经出版。近年来应邀在全国数十所中、小学及教育行政部门作数学文化讲座和基础教育方面的报告。近年来参与各地基础教育“国培计划”的一些培训工作，作主报告。在数学教育学报2012年第1期上发表文章“数学基础教育的双基如何发展为四基”；在基础教育课程2012年第7期上发表文章“义务教育阶段的数学教学如何渗透数学思想”。,8,9,报告的提纲,一、新“课标”在理念和内容上的变化二、数学基础教育的“双基”如何发展为“四基”三、小学教学中“数
5、学思想”与“数学活动”的案例四、小学数学若干节课举例（听课、评课）五、教学建议,10,一、新“课标”在理念和内容上的变化,11,义务教育数学课程标准（2011年版）的解读,该课标是在2000年颁布的课标（实验稿）基础上修订而成。修订工作从2005年5月16日启动，2007年完成初稿后多方征求意见，多次修改；2010年底上报教育部，2011年4月教育部组织会议审议，再经教育部 党组讨论通过，部长签发。该新课标已于2011年12月28日由教育部颁布，北师大出版社出版。新课标的解读，也已经由北师大出版社出版。,12,13,新“课标”在理念上的变化,未变的理念,在谈数学新课标在理念上的变化之前，有必要
6、先看看哪些没有改变。既然要全面理解、深刻领会、准确把握新课标，就不能仅仅关注变化了的东西，也要关注没有改变的东西，即继续坚持的东西。,14,未变的理念,从宏观上看，全面育人、素质教育、三维目标的理念没有改变，提倡学生自主、合作、探究、质疑的学习方式没有改变，从而新课程改革的大方向没有改变。具体地看，以下的一些理念和提法都没有改变：强调让学生形成积极主动的学习态度，使获得基础知识和基本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程。改变过去课程内容“繁、难、偏、旧”和过于注重书本知识的状况，加强课程内容与学生生活、现代社会、科技发展的联系，关注学生的学习兴趣和经验，精选终身学习必备的基础知识和
7、技能。,15,16,新“课标”在理念上的变化,理念上的变化,数学是研究数量关系和空间形式的科学。（原：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。）,17,理念上的变化,人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面的课程目标的整体实现，是学生受到良好数学教育的标志。（原：人人学有价值的数学，人人获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。）,18,理念上的变化,明确提出“四基”（此处略，因为后面将专题解读）,19,理念上的变化,10个数学课程与教学中应当注重发展的核心概念：数感、符
8、号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。（原：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力。）,20,核心词增加了四个，其中“创新意识”是近年来中央强调的，“模型思想”是基本的数学思想之一，下面特别谈谈“几何直观”、“运算能力”这两个核心词。,21,几何直观课标（实验稿）回避“几何”一词，通篇不见“几何”，可能是因为起草人觉得：当年“几何”一词几乎等同于严格的平面几何推理，而这正是需要改革的部分。我国大多数数学家对此则有不同的看法。现在的课标（2011年版）不回避“几何”一词，把原来的四大领域之一“空间与图形”修改为“图形与几何”，并
9、且在核心词中增加了“几何直观”。那么，“几何直观”的含义是什么，它与“空间观念”有何区别？,22,课标明确指出“几何直观是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”下面对此做一些解读。,23,“几何直观”所指有两点：一是几何，在这里几何是指图形；一是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西去进行思考、想象。综合起来讲，几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考、想象。它在本质上是一种通
10、过图形所展开的想象能力。而“空间观念”主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。,24,几何直观就是在数学几何图形这样一个关系链中让我们体会到图形所带来的好处：图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。几何直观在研究、学习数学中的价值由此可见一般。,25,几何直观是具体的，不是虚无的，它与数学的内容紧密相联。事实上，很多重要的数学内容、概念，例如，数，度量，函数，（线性方程组？）以至于高中的解析几何，向量，等等都具有“
11、双重性”，既有“数的特征”，也有“形的特征”，只有从两个方面认识它们，才能很好地理解它们，掌握它们的本质意义。也只有这样，才能让这些内容、概念变得形象、生动起来，变得更容易使学生接受并运用他们去思考问题，形成几何直观能力，这也就是经常所说的“数形结合”。,26,几何直观与“逻辑”、“推理”也是不可分的。几何直观常常是靠逻辑支撑的。它不仅是看到了什么？而是通过看到的图形思考到了什么？想象到了什么？这是数学非常重要而有价值的思维方式。几何直观会把看到的与以前学到的结合起来，通过思考、想象，猜想出一些可能的结论和论证思路，这实际上也就是一种合情推理，它为严格证明结论奠定了基础。几何直观也是形象思维与
12、逻辑思维的相辅相成。,27,在数学课程中，几何内容是很重要的一部分。关于几何课程的教育价值，最主要的应该有两个方面：一方面，几何能培养学生的逻辑推理能力；另一个方面，它也能培养学生几何直观能力。但目前，在部分教师中对此在认识上存在着一定的局限性，在几何教学中他们仅仅重视培养逻辑推理能力，忽视了对学生几何直观能力的培养。我们应全面地理解几何的教育价值，重视几何直观的培养。,28,运算能力“运算能力”是数学能力的重要方面，为什么在课标（实验稿）中没有纳入核心词中呢？据起草人说，并不是当年疏忽了，而是涉及一个价值判断与选择的问题。他们认为当年人们对于“运算能力”的理解比较狭隘，仅仅是追求短时间、高速
13、度、高效率、准确性，有些走极端，加重了学生的负担。现在把“运算能力”作为一个核心词，不应该误解为“恢复要求那些复杂繁琐的计算”，或者仅仅追求高速度的计算。,29,课标指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”下面对此做一些解读。,30,根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知量通过“算”得出确定结果的过程，称为运算。能够按照一定的程序与步骤进行运算，称为运算技能。不仅会根据法则、公式等正确地进行运算，而且理解运算的算理，能够根据题目条件寻求正确的运算途径，这样的心理特征称为运算能力。运算能力并非一
14、种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整合。在实施运算分析和解决问题的过程中，要力求做到善于分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，使运算符合算理，合理简捷。换言之，运算能力不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。运算的正确、灵活、合理和简捷是运算能力的主要特征。,31,要保证运算的正确，必须要正确理解相关的概念、法则、公式和定理等数学知识，明确意识到实施运算的依据。在每一学段，标准对运算提出的要求，都是和相关的数学知识一并提出的。然后，在适度训练，逐步熟悉的基础上，清楚地意识实施运算中的算理。不断总结正反两方面的经验和教训，逐渐减少在实施运算中，思
15、考概念、法则公式等的时间和精力，提高运算的熟练程度，以求运算的顺畅，力求避免失误。,32,估算，也是重要的运算技能，进行估算需要掌握一定的方法，需要积累一定的经验，需要避免出现过大的误差；估算又是运算能力的特征之一，进行估算需要经过符合逻辑的思考，需要有一定的依据，需要使估算的结果尽量接近实际情境，能对实际问题做出合理的解释。,33,运算能力的形成不是一蹴而就的，运算能力的发展总是从简单到复杂，从低级到高级，从具体到抽象，有层次地发展起来的。因此，在实际教学过程中，既不能让学生的运算能力在已有的水平上停滞不前，也不能超越知识的内容和其他能力水平孤立地发展运算能力。应该贯穿于师生共同参与数学教学
16、活动的全过程中，并体现发展的适度性、层次性和阶段性。,34,适度性：运算能力需要经过多次反复训练，螺旋上升逐步形成，在这一过程中，安排一定数量的练习，完成一定数量的习题是必不可少的。题量过少，训练不足，难以形成技能，更难以形成能力；然而题量过多，搞成题海战术，反而会使学生产生厌学情绪，适得其反。把握学习内容的要求，进行适量训练，科学安排，应是发展运算能力的要求。,35,层次性：安排一定数量的练习，完成一定数量的习题对形成运算能力不可缺少，但训练的难度一定要适当，要从数学教学的全局出发，合理调控。义务教育的主要任务是打基础，数学尤其如此，训练题要有一定的数量，更要有合理的质量。如果过分强调技巧，
17、增加了负担，对今后学习的作用也不大，应当避免。由此可见，层次性也是发展运算能力的要求。,36,阶段性：标准对运算和运算能力的要求是分学段提出的，每个学段的要求都体现了一定的学段特征，力求符合学生的认知规律，这是完全必要的，适宜的。这也表明，阶段性也应是发展运算能力的要求。,37,在实施运算的过程中，对分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序等各个环节都要引导学生进行周密的思考，力求使运算符合算理，达到正确熟练，灵活多样，合理简洁，实现运算思维的优化及运算能力的逐步提高。,38,理念上的变化,明确提出“发现问题、提出问题”能力的培养。分析问题和解决问题固然重要，而发现问题和提出问题
18、更是培养学生创新意识所需要的。（发现问题，不仅包括发现浅层次的问题，更加需要的是发现较深层次问题的能力。）,39,理念上的变化,课标（实验稿）中“总目标”的四个方面“知识技能、数学思考、解决问题、情感态度”，现在的课标（2011年版）中把“解决问题”改为“问题解决”，内涵有所扩大，包含发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程。,40,理念上的变化,在课改实验中，曾有人质疑：既然标准将教师的角色定位于“学习的组织者、引导者与合作者”，并明确指出“学生是学习的主体”，未提教师的主导作用，是否意味着数学教学中教师不具有主导性，或主导性是否发挥都不重要了呢？此次修订，非常明确地在标准中增加了“教
19、师要发挥主导作用”的表述，这也从正面回答了上述质疑。,41,这两者之间是不矛盾的。在数学教学中，教师的主导性和教师角色定位应当是协调的、一致的，协调一致的基础就是它们的落脚点都是如何更充分地调动学生的学习积极性，使学生真正成为学习的主人。作为学习的组织者，应该营造学习氛围，创设学习环境，组织学生参与一定目标导向下的多样化的学习活动，组织学生经历那些特定的教学环节；作为学习的引导者，最重要的是要通过恰当的手段去引发学生作有意义的数学思考；作为学习的合作者，则是需要建立一个平等和谐的、相互交往的数学学习共同体。这一切都离不开教师的主导。教师的这三种角色功能要能真正在课堂教学中实现，必须要发挥教师的
20、主观能动性和创造性，并在课堂上通过教师的主导作用来实现。,42,43,新“课标”在内容上的变化,课程内容结构上的变化,义务教育阶段数学课程内容分为“数与代数”，“图形与几何”，“统计与概率”和“综合与实践”四个方面，每一部分内部的结构和具体内容做了适当调整。（原：“数与代数”，“空间与图形”，“统计与概率”和“实践与综合应用”）,44,课程内容结构上的变化,“数与代数”部分在内容结构上没有大变化，第一学段是“数的认识、数的运算、常见的量、探索规律”；第二学段是“数的认识、数的运算、式与方程、正比例和反比例、探索规律”。“图形与几何”部分第一、二学段，内容结构没有大变化。第三学段，将原来的四个部
21、分调整为三个部分，即由原来的“图形的认识”、“图形与变换”、“图形与坐标”、“图形与证明”，修改为三个部分，即“图形的性质”、“图形的变化”、“图形与坐标”。这三部分中的“图形的性质”基本上是整合了实验稿中的第一和第四部分而成，而其他两个部分与原来的两部分对应。,45,课程内容结构上的变化,“统计与概率”内容结构做了较大调整，使三个学段内容的层次更加明确。强调培养数据分析观念，与学生的现实生活联系得更加紧密。第一学段内容减少，主要是学会分类、会进行简单的数据搜集与整理；第二学段分为“简单数据统计过程”和“随机现象发生的可能性”两部分；第三学段分为“抽样与数据分析”和“事件的概率”两部分。这样调
22、整的原因在于，在实验过程中原来第一学段对于统计与概率内容的要求，按照学生现有的理解水平，学习有一定困难，教学设计与实施有很大难度。同时，在内容上与后面两个学段有很大的重复。调整后使统计与概率内容在三个学段的要求上有明显区分，在难度上也呈现一定的梯度。,46,课程内容结构上的变化,“综合与实践”内容做了较大修改。进一步明确了“综合与实践”的内涵和要求，明确“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。“综合与实践”的教学目标是帮助学生积累数学活动经验，培养学生应用意识和创新意识。,47,第一学段具体内容的修改,第一学段内容总体上修改不大，增删内容大致相当，“数与代数”内容略有增
23、加，“统计与概率”内容有明显的减少。,48,第一学段具体内容的修改,1.统计与概率等内容适当降低难度，内容做了较大修改。进一步明确了“综合与实践”的内涵和要求：第一学段统计与概率领域内容大幅减少，由原来的11条具体要求，减少为现在的3条。全部删除了有关概率内容的“不确定现象”的3条，其中部分内容移到第二学段。实践表明，第一学段学生理解不确定现象有难度，不容易理解事件发生的可能性。这一学段学生主要应学习和掌握确定的量，开始理解和掌握自然数、分数和小数。因此，将不确定现象的描述后移。对于统计内容也降低了难度，平均数、条形统计图等内容也移到第二学段。此外，“能用自选单位估计和测量图形的面积”，“认识
24、千米、公顷,”“能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形”,“会看简单的路线图”等，也因为难度的原因，将其删除或移入第二学段。,49,第一学段具体内容的修改,2增加或进一步明确一些具体内容 根据学生学习的需要，以及实验和调研的反馈意见，第一学段增加或调整了一些内容。增加的内容包括：“知道用算盘可以表示多位数”，这一要求考虑中国文化的因素，以及许多专家学者和第一线教师对珠算在小学数学教学作用问题提出的建议；“能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小。”使学生能较准确把握有关小数的问题，也为后续的学习做准备，但这一学段只要求对同分母的分数比较大小。,50,第一学段具体内容的修改
25、,调整的内容包括：估算的要求改为“能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用”。使估算的要求更加具体、明确。有助于清楚地认识和理解估算的价值与意义。强调了“选择适当的单位进行简单估算”，明确估算的重点一是要有具体的情境，二是在一个确定的情境中，根据实际需要选择适当的单位进行估算。标准（2011年版）的例6做了上述说明。“能口算一位数乘除两位数”从第二学段移到第一学段。在第一学段数的认识和相关运算的基础上，学生完全可以掌握这一内容。原来在第二学段出现，明显滞后。“认识小括号，能进行简单的整数四则混合运算（两步）”在第一学段增加了这一条，与第二学段形成一个连续的、渐进的对于
26、混合运算的要求。在第一学段认识小括号，在第二学段认识中括号。“结合实例认识面积，体会并认识面积单位厘米、分米、米，能进行简单的单位换算”。增加了分米的认识，将千米、公顷的认识移到第二学段，并降低了要求。,51,第二学段具体内容的修改,1.统计与概率等内容适当降低难度第二学段统计与概率内容，删除了众数、中位数内容和“能设计统计活动，检验某些预测；初步体会数据可能产生误导”。还有一些内容在表述方式和具体要求上做了调整。一是强调了在搜集数据中运用适当的方法。“会根据实际问题设计简单的调查表，能选择适当的方法（如调查、试验、测量）收集数据”。学生可以用自己喜欢的方法搜集数据，在教学中应当引导学生用比较
27、科学合理的方法，收集有效的数据。在经历收集整理数据的过程中，逐步使学生了解数据的重要性。二是调整了对可能性的要求。表述为，“1.结合具体情境，了解简单的随机现象；能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果。2通过实验、游戏等活动，感受随机现象结果发生的可能性是有大小的，能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述，并和同学交流。”提出更为具体的要求。对于可能性，要求“列出简单随机现象中所有可能发生的结果”，与原来的“体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性，会求一些简单事件发生的可能性；能设计一个方案，符合指定的要求；对简单事件发生的可能性作出预测，并阐述自己的理由。”的要求相比，大大降
28、低了要求。同时使这部分内容更具可操作性，符合小学阶段学生学习的特点。,52,第二学段具体内容的修改,删除“了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点”。这个内容对于小学生来说较为抽象，与生活经验的联系也不很紧密，要求学生了解意义不大，而把“了解两点确定一条直线”（及“掌握等式的基本性质”）放在第三学段作为进行演绎证明的基本事实之一。此外，对于小数、分数、百分数，重点强调了理解他们的意义，以及会进行小数、分数和百分数之间的转化。在这个转化的过程中，学生必然需要了解它们之间的关系，所以不再单独要求探索小数、分数和百分数之间的关系。,53,第二学段具体内容的修改,2、增加了部分内容增加“在具体情境
29、中，了解常见的数量关系：总价=单价数量、路程=速度时间，并能解决简单的实际问题”。学生对一些常见数量关系的了解，特别是运用这些数量关系解决问题，是小学阶段问题解决的核心。而“总价=单价数量、路程=速度时间”是小学阶段最常用的数量关系，绝大多数实际问题都可以归结为这两类数量关系。标准中增加这一要求，为小学数学课程与教学中的问题解决提供了一个重要基础。增加“结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示”。了解数量关系是学习字母表示数的重点目的。使学生在实际情境中了解数量关系。也为学习简易方程做准备。增加“通过操作了解圆的周长与直径的比为定值”，强调学生在探索周长与直径比的过程中认识圆周率。,5
30、4,第三学段具体内容的修改,第三学段内容的调整主要是从学生发展的角度出发，重点考虑与前面学段的知识内容的衔接；与学生的生活经验和未来的生活实践的联系；学生对知识内容的接受能力和水平；对学科本质以及核心概念的体现。,55,第三学段具体内容的修改,1.删减的主要内容 在“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”等部分中，删除了一些内容，主要有：能对含有较大数量的信息作出合理的解释与推断；了解有效数字的概念；能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组，解决简单的问题；与梯形有关的内容：探索并了解圆与圆的位置关系；关于影子、视点、视角、盲区等内容，以及对雪花曲线和莫比乌斯带等图形的欣赏等；关
31、于镜面对称的要求；极差、频数折线图等内容,56,第三学段具体内容的修改,对于删减的内容，理由如下：像“能对含有较大数量的信息作出合理的解释与推断”等内容已经在第一、二学段学习，而“了解有效数字的概念”这样的内容及要求，有些脱离初中学生的经验和生活需要。“能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组，解决简单的问题”，学生学习有一定的困难，放到高中学习更为合适。对于梯形以及等腰梯形这样的传统内容，在第二学段已了解了它们的概念及其基本性质，对这些图形的进一步认识则完全可以通过转化为三角形和平行四边形等来完成。,57,第三学段具体内容的修改,2.适当增加的内容最简二次根式和最简分式的概念；能用
32、一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；会比较线段的大小，理解线段的和、差，以及线段中点的意义；了解平行于同一条直线的两条直线平行；会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类；了解并证明圆内接四边形的对角互补；了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系；尺规作图：过一点作已知直线的垂线；已知一直角边和斜边作直角三角形；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形能用计算器处理较为复杂的数据；理解平均数的意义，能计算中位数、众数；掌握等式的基本性质。,58,第三学段具体内容的修改,增加这些内容的理由如下主要是对原实验稿中相关内容的补充，或者是对原有要求的进一步明确，例如，
33、“能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。”，“会比较线段的大小，理解线段的和、差，以及线段中点的意义”，“了解平行于同一条直线的两条直线平行”，“会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类”等等，这些内容有助于学生很好地把握初中的知识，对今后的学习也有很大的基础性作用。有的内容则是从前面的学段移到第三学段的，如，“理解平均数的意义，能计算中位数、众数”、“掌握等式的基本性质”等。,59,第三学段具体内容的修改,以“*”标注的选学内容主要有：*能解简单的三元一次方程组*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数（有误？）*了解一元二次方程的根与系数的关系*了解平行线性
34、质定理的证明*探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧*探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等,60,第三学段具体内容的修改,增加这些选学内容的理由增加的选学内容中与图形的证明有关的较多。增加这些初等几何中基本的也是很重要的命题的证明作为选学内容，目的是希望给一些有能力并喜欢几何证明的学生更多的机会学习和掌握证明的方法、体会证明的意义以及命题间的逻辑关联等，体现“不同的人在数学上得到不同的发展”。另外还有一部分是涉及到作为证明基础的“基本事实”（即通常称为“公理”）的命题部分的增加或变化。,61,第三学段具体内容的修改,3.在要求上有变化的内容“标准”中还
35、有一些是在知识内容的具体要求程度上的变化或要求的精细化，如原来要求的是“了解”，现在则是“理解”，等等。有“理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算”；“探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等的性质”；“在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系”、“在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系”等。,62,二、数学基础教育的“双基”如何发展为“四基”,63,数学基础教育中的“双基”如何发展为“
36、四基”,64,数学基础教育中的“双基”如何发展为“四基”,65,数学基础教育中的“双基”如何发展为“四基”（顾沛，数学教育学报2012年第1期）,一、“双基”为什么要发展为“四基”二、关于数学的“基本思想”三、关于数学的“基本活动经验”四、“四基”是一个有机的整体,66,一、“双基”为什么要发展为“四基”,“双基”发展为“四基”，在课标中的表述为：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度与价值观”三维目标结合数学学科的特点的具体化。,67,“双基”的历史贡献应该肯定。但
37、是，对于“双基”的内容，即对于什么是学生应该掌握的“基础知识”和“基本技能”，在“知识爆炸”的时代，在现代信息技术突飞猛进的时代，在获取知识、技能的渠道大大增加的时代，应该与时俱进。过去提到数学的“双基”时，通常是指：数学的基本概念、基本公式、基本运算、基本性质、基本法则、基本程式、基本定理、基本作图、基本推理、基本语言、基本方法、基本操作、基本技巧，等等。,68,许多年来，“双基”概念一直在发展中深化。至2000年，中华人民共和国教育部制定的九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试验修订版）中的表述，数学“基础知识是指：数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学
38、思想和方法。基本技能是指：能够按照一定的程序与步骤进行运算、作图或画图、进行简单的推理。”并且，“双基”在此已经是与思维能力、运算能力、空间观念等相互联系表述的。在“知识爆炸”的时代，对于过去数学“双基”的某些内容，如繁杂的计算、细枝末节的证明技巧等，需要有所删减；而对于估算、算法、数感、符号意识、收集和处理数据、概率初步、统计初步、数学建模初步等，又要有所增加。这就是数学“双基”内容的与时俱进。,69,为什么有了“双基”还不够，现在还要增加两条，成为“四基”？第一，因为“双基”仅仅涉及上述三维目标中的一个目标“知识与技能”。新增加的两条则还涉及三维目标的另外两个目标“过程与方法”和“情感态度
39、与价值观”。第二，因为某些教师有时片面地理解“双基”，往往在实施中“以本为本”，见物不见人，而教育必须以人为本，新增加的“数学思想”和“活动经验”就直接与人相关，也符合“素质教育”的理念。第三，因为仅有“双基”还难以培养创新性人才，“双基”只是培养创新性人才的一个基础，但创新性人才不能仅靠熟练掌握已有的知识和技能来培养，获得数学思想和数学活动经验等也十分重要，这就是新增加的两条。,70,二、关于数学的“基本思想”,数学课程固然应该教会学生许多必要的结论，但绝不仅仅以教会这些定理、公式和计算程序、解题方法为目标，更重要的是让学生在学习这些结论的过程中获得数学思想。数学思想是数学科学发生、发展的根
40、本，也是数学课程教学的精髓。但是，课标在这里并没有展开阐述“数学的基本思想”，这就给我们留下了讨论的空间。而且由于它过去并没有被充分地讨论过，所以可能仁者见仁，智者见智，不同的学者可能会有不完全一样的说法。我这里也谈谈自己不成熟的观点，与大家交流。,71,数学思想的内涵和外延都很丰富，通俗地说，例如有从数学角度看问题的出发点，把客观事物简化和量化的思想，周到、严密、系统地思考问题，以及建立数学模型的思想，合理地运筹帷幄，等等。一个人进入社会后，如果不是在与数学相关的领域工作，他学过的数学定理和公式可能大多都用不到，而在学习数学知识的过程中获得的这些数学思想却一定会使他终生受益；虽然有些人对此是
41、有意识的，有些人是无意识的。“课标”在这里的措词为数学的“基本思想”，而不是数学的“基本思想方法”，我以为，这是明智的、恰当的，因为“思想方法”可能更多地让人联想到具体的“方法”，如换元法、代入法、配方法，层次就降低了，且冲淡了“思想”这个关键词。并且，其实双基中已经含有数学的这些具体方法。,72,数学的基本思想，主要可以有数学抽象的思想、数学推理的思想、数学模型的思想、数学审美的思想。人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科及其众多的分支；通过数学推理，进一步得到大量结论，数学科学得以丰富和发展；通过数学模型，把数学应用到客观世界中，产生了巨大的社会效益，又反过来促
42、进了数学科学的发展；通过数学审美，看到数学“透过现象看本质”、“和谐统一众多事物”中美的成份，感受到数学“以简驭繁”、“天衣无缝”给我们带来的愉悦，并且从“美”的角度发现和创造新的数学。,73,当然，由上述数学的“基本思想”演变、派生、发展出来的数学思想还有很多。例如由“数学抽象的思想”派生出来的可以有：分类的思想，集合的思想，“变中有不变”的思想，符号表示的思想，对应的思想，有限与无限的思想，等等。例如由“数学推理的思想”派生出来的可以有：归纳的思想，演绎的思想，公理化思想，数形结合的思想，转换化归的思想，联想类比的思想，逐步逼近的思想，运筹的思想，算法的思想，代换的思想，特殊与一般的思想，
43、等等。例如由“数学建模的思想”派生出来的可以有：简化的思想，量化的思想，函数的思想，方程的思想，优化的思想，随机的思想，统计的思想，等等。例如由“数学审美的思想”派生出来的可以有：简洁的思想，对称的思想，统一的思想，和谐的思想，以简驭繁的思想，“透过现象看本质”的思想，等等。,74,举例说，“分类的思想”和“集合的思想”可以是这样由“数学抽象的思想”派生出来的：人们对客观世界进行观察时，常常从研究需要的某个角度分析联想，排除那些次要的、非本质的因素，保留那些主要的、本质的因素，一种有效的做法就是对事物按照其某种本质进行分类，分类的结果就产生了“集合”。把它们上升到思想的层面上，就形成了“分类的
44、思想”和“集合的思想”。,75,在用数学思想解决具体问题时，对某一类问题反复推敲，会逐渐形成某一类程序化的操作，就构成了“数学方法”。数学方法也是具有层次的。处于较高层次的，例如有：逻辑推理的方法，合情推理的方法，变量替换的方法，等价变形的方法，分情况讨论的方法，等等。低一些层次的数学方法，还有很多。例如有：分析法，综合法，穷举法，反证法，抽样法，构造法，待定系数法，数学归纳法，递推法，消元法，降幂法，换元法，坐标法，配方法，列表法，图像法，等等。,76,数学方法不同于数学思想“数学思想”往往是观念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、内在的、概括的；而“数学方法”往往是操作的、局部的、特殊的、
45、表象的、具体的、程序的、技巧的。数学思想常常通过数学方法去体现；数学方法又常常反映了某种数学思想。数学思想是数学教学的核心和精髓，教师在讲授数学方法时应该努力反映和体现数学思想，让学生体会和领悟数学思想，提高学生的数学素养。,77,三、关于数学的“基本活动经验”,数学教学，本质上是师生共同进行数学活动的教学，所以学生获得相关的活动经验当然应该是数学课程的一个目标。特别是，其中有些精神“只能意会，难以言传”，必须要学生自己在亲身经历的过程中获得经验；有些内容虽能言传，但是如果没有学生在数学活动中亲身体会，理解也难以深刻。但是，课标并没有展开阐述“数学的基本活动经验”，这也给我们留下了讨论的空间。
46、我在这里也谈谈自己不成熟的观点，与大家交流。,78,什么是数学活动经验？我以为，“活动经验”与“活动”密不可分，所说的“活动”，当然要有“动”，手动、口动和脑动。它们既包括学生在课堂上学习数学时的探究性学习活动，也包括与数学课程相联系的学生实践活动；既包括生活、生产中实际进行的数学活动，也包括数学课程教学中特意设计的活动。“活动”是一个过程，因此也体现出，不但学习结果是课程目标，而且学习过程也是课程目标。,79,其次，“活动经验”还与“经验”密不可分，当然就与“人”密不可分。学生本人要把在活动中的经历、体会总结上升为“经验”。这既可以是活动当时的经验，也可以是延时反思的经验；既可以是学生自己摸
47、索出的经验，也可以是受别人启发得出的经验；既可以是从一次活动中得到的经验，也可以是从多次活动中互相比较得到的经验。特别关键的是，这些“经验”必须转化和建构为属于学生本人的东西，才可以认为学生获得了“活动经验”。应该注意的是，所说的“活动”都必须有明确的数学内涵和数学目的，体现数学的本质，才能称得上是“数学活动”，它们是数学教学的有机组成部分。教师的课堂讲授、学生的课堂学习，是最主要的“数学活动”，这种讲授和学习，应该是渐进式的、启发式的、探究式的、互动式的。此外，还有其他形式的“数学活动”，例如学生的自主学习，调查研究，独立思考，合作交流，小组讨论，探讨分析、参观实践，以及作业练习和操作计算工
48、具，等等。,80,还应该强调的是，学生在进行“数学活动”的过程中，除了能够获得逻辑推理的经验，还能够获得合情推理的经验。例如，根据条件“预测结果”的经验和根据结果“探究成因”的经验。这两种经验对于培养创新人才也是非常重要的。数学活动的教育意义在于，学生主体通过亲身经历数学活动过程，能够获得具有个性特征的感性认识、情感体验、以及数学意识、数学能力和数学素养。,81,让学生获得“数学活动经验”，还能够培养学生在活动中从数学的角度思考问题，直观地、合情地获得一些结果，这些是数学创造的根本，是得到新结果的主要途径。数学活动经验并不仅仅是实践的经验，也不仅仅是解题的经验，更加重要的是思维的经验，是在数学
49、活动中思考的经验。因为，创新依赖的是思考，是数学活动中创造性的思维。而思维方法是依靠长期活动经验积累获得的，思维品质是依靠有效的、多方面的数学活动改善的，并不是仅仅依靠接受教师的传授获得的。爱因斯坦说：“独立思考是创新的基础”。获得数学活动经验，最重要的是积累“发现问题、提出问题”的经验，以及“分析问题、解决问题”的经验，总之，是“从头”想问题、思考问题、做问题全过程的经验。,82,学生形成智慧，不可能仅依靠掌握丰富的知识，一定还需要经历实践及在实践中取得经验。数学思想也不仅在探索推演中形成，还需要在数学活动经验积累的基础上形成。,83,数学的基本活动经验可以按不同的标准分成若干类型。比如，有
50、的学者把它分为如下四种：直接的活动经验，间接的活动经验，设计的活动经验和思考的活动经验。直接的活动经验是与学生日常生活直接联系的数学活动中所获得的经验，如购买物品、校园设计等。间接的活动经验是学生在教师创设的情景、构建的模型中所获得的数学经验，如鸡兔同笼、顺水行舟等。设计的活动经验是学生从教师特意设计的数学活动中所获得的经验，如随机摸球、地面拼图等。思考的活动经验是通过分析、归纳等思考获得的数学经验，如预测结果、探究成因等。学生只有积极参与数学课程的教学过程，经过独立思考，经过探索实践，经过合作交流，才有可能积累数学活动经验。,84,课标中还专门设计了“综合与实践”的课程内容，强调以问题为载体
