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1、小波变换及其在降噪中的应用,小波变换的发展历史,1822年傅里叶发表“热传导解析理论”，傅里叶变换成为传统信号处理的基本方法。其基本思想是将信号分解成许多不同频率的正弦波的叠加，将信号从时间域转换到频率域。但是，这种变换丢失时间信息，不利于分析非平稳信号，如实际信号中的偏移、趋势、突变等。,小波变换的发展历史,为了研究信号在局部时间段得频域特征，1946年Gabor提出了著名的Gabor变换，之后发展成为短时傅里叶变换（STFT）。其基本思想是对信号加窗，然后对窗内的信号进行傅里叶变换，因此它可以反映信号的局部特征。,小波变换的发展历史,1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小
2、波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一方法多尺度分析。它继承了STFT的思想，它的窗口大小不变，但窗口形状可以改变，是一种时间窗和频率窗都可以改变的视频分析方法。简单来说，小波分析在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低分辨率，在时频域都具有很强的表征信号局部特征的能力。,小波理论,小波函数定义,L2(R)指R上平方可积（或能量有限）函数构成的函数空间,小波理论,连续伸缩、平移,离散伸缩、平移,小波理论,小波变换的定义,常用小波函数,1.Haar小波,常用小波函数,2.Daubechies(dbN)小波,Daubechies小波由著名
3、小波学者Ingrid Daubechies所创造，她的发明是小波领域的里程碑，使得小波的研究由理论转为可行。,常用小波函数,3.SymletsA(symN)小波族,Sym小波的构造类似于db小波族，两者的差别在于sym小波有更好的对称性，更适合图像处理，减少重构时的相移。,快速小波变换（FWT）,小波分析主要是在信号降噪（一维小波变换）和图像处理（二维小波变化）方面有着重要的应用，本篇所讲的主要是利用一维离散小波变换在信号降噪方面的应用。一维离散小波变换实现的算法一般是mallat算法，即先对较大尺度的信号进行小波变换，再选取其中的低频部分在原尺度的1/2尺度上再进行小波变换。此种算法又称快速
4、小波变换（FWT）。,小波分析的应用,FWT算法的流程第一步,快速小波变换（FWT）,第一步：给定一个长度为N的信号s，那么整个算法之多在log2N步内完成，第一步从原始信号s开始，产生两组参数，一组是作用低通滤波器Lo_D得到的近似信号cA1，另一组是作用高通滤波器Hi_D得到的细节信号cD1，这两个信号都是原始信号在滤波器作用下以尺度为2的下采样。第二步：把其中的低频部分cA1再次分解，直到所需要的层数。,快速小波变换（FWT）,FWT算法的流程,快速小波变换（FWT）,在MATLAB中实现多尺度分解的函数是wavedec，该函数的使用方式如下：C,L=wavedec(s,N,vname)
5、其中，s表示信号，N为分解层数（必须是一个正整数），vname表示选用的小波基。这个函数返回的是一个分解向量C和长度向量L。,快速小波变换（FWT）,wavedec返回值的记录方式,快速小波变换（FWT）,用Daubechies小波db4对信号进行5层分解,小波变换在降噪中的应用,光滑性：在大部分情况下，降噪后的信号应该至少和原信号具有相同的光滑性。相似性：降噪后的信号和原信号的方差估计应该是最坏情况下的最小值。,信号降噪的准则,小波变换在降噪中的应用,上图所示为含有噪声的原始信号，其在初始阶段的振荡频率很高，可以看做是系统的特性。相对于有用信号，噪声是高频信号，我们分别用FFT变换滤波和小波
6、滤波来观察两种滤波效果的不同。,小波变换在降噪中的应用,对原始信号做傅里叶变换，求出频谱如右图所示，从图中可以看出，信号的能量主要集中在低频部分，在20Hz以后迅速衰减，50Hz以后几乎就没有能量了。,小波变换在降噪中的应用,上图自上而下分别是原始信号、经过FFT变换删除其中大于10Hz、30Hz、50Hz部分再经过傅里叶逆变换得到信号。可以看到，虽然达到滤波效果，但是初始阶段的振荡也被滤掉了，即有用信号也被滤掉了。,小波变换在降噪中的应用,上图是利用sym4小波分别使用全局阈值和分层阈值对原始信号进行滤波得到的结果。从图中可以看出，用小波进行降噪，不仅滤除了噪声，还很好的保留了信号发展初期的高频特性。,谢谢！,
