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1、,二、曲面的切平面与法线,一、空间曲线的切线与法平面,三、小结、思考题,四、作业,第六节、多元函数微分学的几何应用,一、空间曲线的切线与法平面,（对应于参数,及邻近一点,（对应于参数,上式分母同除以,割线 的方程为,割线,的极限位置,称为曲,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.,解,切线方程,法平面方程,1.空间曲线方程为,法平面方程为,特殊地：,即它可以表示为参数方程,切线方程为,2.空间,曲线方程为,且,一组函数,于是,切线方程为,法平面方程为,也可以取为,解,设,所求切线方程为,法平面方程为,即,解,从而,所求切线方程为,所求法平面方程为,即,一点，,二、曲面的切平面与法线,导数在该
2、点连续且不同时为,零.,事实上，,对应于,处有连续偏导数，,存在，,所以,且,曲线，,同一平面上。,令,则,曲线，,平面上，,故,所以上式左边的复合函数在,于是,即有,时有全导数，,法线方程为,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的,通过点,而垂直于切平面的直线,称为曲面在该点的,法线.,切平面方程为,特殊地：空间曲面方程形为,令,切平面上点的竖坐标的增量,全微分的几何意义,因为曲面 z=f(x,y)在 M 处的切平面方程为,切平面上的点的竖坐标的增量.,其中,并假定法向量的方向是向上的，,为,则法向量的,解,切平面方程为,法线方程为,令,解,切平面方程为,法线方程为,解,令,切平面方程,法线方程,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程,及切平面方程,空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,（当空间曲线方程为一般式时，求切向量,（求法向量的方向余弦时注意符号）,三、小结,注意采用推导法）,思考题,思考题解答,设切点,依题意知切向量为,切点满足曲面和平面方程,练 习 题,练习题答案,四、作业,
