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1、心理与教育统计学,第4章 差异量数,4.1 全距与百分位数4.2 平均差、方差与标准差4.3 标准差的应用4.4 差异量数的选用,差异量数是对一组数据的变异性，即离中趋势特点进行度量和描述的统计量，也称为离散量数（measures of dispersion)差异量越大，表明数据越分散、不集中；差异量越小，表明数据越集中，变动范围越小。,4.1 全距与百分位数,4.1.1 全距全距（range）又称为两极差，用符号R表示。用最大值（maximum)减去最小值（minimum)得到全距。,（4.1）,全距的特点：全距是最粗糙的差异量数，只利用了数据中的极端值；容易受极端值的影响；全距的应用：主要
2、用于对数据作预备性检查，了解数据的大概分布范围；确定统计分组，编制次数分布表。,4.1.2 百分位数,百分位数又称为百分位点，指两量尺上的一个点，在此点以下，包括数据分布中全部数据个数的一定百分比。P百分位数将所有数据分为两部分，小于该数值的个数与总的个数的比值为P%。,(1)根据原始数据计算百分位数,P50即中数，位于第5号数据和6号数据之间。P10位于第1号数据和第2号数据之间,数值：次序：,参考文献：虞仁和,胡国清,孙振球,&黄正南.(2010).关于百分位数直接计算法的进一步探讨.中国卫生统计,27(3),307-308.,n 表示数据的个数;P 表示百分位数;j 表示整数部分;g 表
3、示小数部分,SPSS计算百分位数的方法：,求累加次数：,Xj表示第j个数据值;,求百分位数：,（4.2）,（4.3）,数值：次序：,求P10：,j=1；g=0.1,5/7=0.71,精确组限79.584.49,(2)采用次数分布表计算百分位数（P80百分位数）,580.8=46.446.4-40=6.46.40.71=4.544.54+79.5=84.04,84.04,采用次数分布表计算百分位数,Pp为所求的第P个百分位数；Lb为百分数所在组的精确下限；fp为百分数所在组的次数；Fp为小于Lb的各组次数的和；N为总次数；i为组距。,（4.4）,4.1.3 百分位差,由于全距表示一组数据的离散程
4、度时，受极端数据的影响。可用百分位差表示离散程度，百分位差是指两个百分位数之差。如：P90P10，P93 P7。百分位差不能很好地反应中间数据的分布情况，常作为辅助差异量数,用次数分布表计算百分位差(P90P10),首先计算P10和P90对应的累加次数,5810/100=5.805890/100=52.20,4.1.4 百分等级,某一数值在一组数据中所处的百分位置，称为该数值的百分等级（percentile rank）符号为PR,PR 百分等级；X 给定的原始分数。,（4.5）,求73对应的百分等级,利用累加次数分布图求百分等级和百分位数,4.1.5 四分位差,四分位差(quartile de
5、viation)，指在一个次数分布中，中间50%的次数的距离的一半。通常用Q来表示。第一四分位：Q1P25第二四分位：Q2P50（中数）第三四分位：Q3P75,四分位差：,其中：,（4.6）,用次数分布表计算四分位差,首先计算P25和P75对应的累加次数。,5825/100=14.55875/100=43.5,四分位差与Q1、Q2和Q3之间的关系,优点：四分位差通常与中数联系起来应用。与全距相比，用百分位差表述数据的离散情况稍微好一些。缺点：没有把全部数据考虑在内，其稳定性会差一些。不适合代数运算反应不够灵敏,百分位差的应用,百分位差可以有效地避免极端数据的影响，这种思想常常应用于日常生活中。
6、例如，在跳水比赛中，有7位裁判员，他们会一起对跳水运动员的表现进行打分。虽然裁判本着客观公正的标准去对待每一位运动员，但也难免存在主观判断上偏颇。为了避免主观因素给运动员带来的不公正性，比赛规定：从7名裁判员的分数中先舍去一个最高分和一个最低分，余下5名裁判员的分数相加后，再乘以运动员所跳动作的难度系数，便得出该动作的实得分。,4.2 平均差、方差与标准差,4.2.1 平均差平均差（average deviation)或mean deviation)原始数据与平均数绝对离差的平均值。用符号A.D.或M.D.表示,（1）原始数据计算公式：,（4.7a）,式中：A.D.平均差；Xi数据值；平均值；
7、xi 离均差。,5名被试的错觉实验数据如下，求其平均差。,解：n=5,（2）分组数据计算公式：,（4.7b）,式中：f各组次数；XC各组的组中值；xc 各组中值与平均数的差。,分组数据计算平均差,（1）计算平均值,（2）计算平均差,4.2.2 方差与标准差,方差（variance）也称变异数、均方。离均差平方后的平均数，是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值。样本统计量用符号 表示总体参数用符号 表示标准差（standard deviation），方差的平均根。样本统计量用s或SD表示；总体参数用 表示。,（4.8）,总体方差：,总体标准差：,式中：总体方差；总体标准差；总体平均值；N 总
8、体的个数；,（4.9）,（1）总体方差与标准差公式,（4.10）,样本方差：,样本标准差：,式中：样本方差；样本标准差；样本平均值；N 样本的个数；,（4.11）,当样本数量非常大时，总体和样本方差的值差不多，本书并未区分总体和样本方差的不同。,（2）样本方差与标准差公式,5名被试的错觉实验数据如下，求其方差和标准差。,（1）平均数：,（2）离均差的平方和：,（3）方差与标准差：,由于：,所以：,（3）根据原始数据算方差：,用原始数据计算方差和标准差公式,方差：,标准差：,原始数据的平方和；原始数据总和的平方;数据个数。,（4.12）,（4.13）,5名被试的错觉实验数据如下，求其方差和标准差
9、。,（1）求原始数据的平均和：,（2）求原始数据的总和：,方差：,标准差：,（4）次数分布表计算方差,（4.14）,各分组区间的组中值；各组区间的次数;总的次数；总的平均值,已知平均值：,（4.15）,平均值未知：,直接用次数与组中值计算方差与标准差：,（4.16）,（4.17）,各分组区间的组中值；各组区间的次数;总的次数；,52名学生数学成绩方差和标准差计算表,（5）总标准差的合成,例4-4 在三个班级进行某项能力研究，三个班测查的平均分数和标准差分别如下，求三个班的总标准差。,平方和：,总体方差：,总平方和=组间平方和+组内平方和,（见P265）,总方差；总标准差;各小组的标准差；各小组
10、的数据个数；总平均数；各小组的平均数。,（4.18）,（4.19）,例4-4 在三个班级进行某项能力研究，三个班测查的平均分数和标准差分别如下，求三个班的总标准差。,（1）计算、,（2）计算、,（3）计算,复习,差异量数,全距,百分位差,平均差,方差,标准差,百分位数,百分等级,四分位差,原始数据,分组数据,原始数据,分组数据,先算平均数,不算平均数,方差的合成,原始数据,分组数据,百分位数,平均差,方差,先算平均数,不算平均数,（6）方差和标准差的性质,（1）如果,则,（6）方差和标准差的性质,（2）如果,则,（6）方差和标准差的性质,（3）如果,则,令,则,由于,所以,（7）方差和标准差的
11、意义,(1)方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标，它们是统计描述和统计推断分析中最常用的差异量数。(2)标准差具备一个良好的差异量应具备的条件，如：反应灵敏，有公式严密确定，适合代数运算等等。,(3)已知一组数据的平均数与标准差后，就可以知道位于平均数上下各若干个标准差内的数据所占的百分比。,切比雪夫定理指出，对于任何一个数据集合，至少有 的数据位于平均数的h个标准差之内。,在正态分布中，平均数上下两个标准差之内的数据占95.45%，三个标准差之内的数据占99.7%,4.3 标准差的应用,4.3.1 差异系数差异系数(cofficient of variation)，又称为变异系数、相
12、对标准差等，是标准差与其算术平均数的百分比，它是没有单位的相对差异量数。常以CV表示,（4.20）,某样本的标准差；该样本的平均数;,差异系数在心理与教育统计中常应用于：（1）同一团体不同观测值离散程度的比较；（2）不同团体进行同一观测，将他们的观测值进行离散程度的比较。,通过同一个测验，一年级（7岁）学生的平均分数为60分，标准差为4.02分，五年级（11岁）学生的平均分数为80分，标准差为6.04分，问这两个年级的测验分数中哪一个分散程度大？,在应用差异系数比较相对差异大小时，应该注意：（1）测量的数据为等距尺度。（2）观测工具应该具备绝对零，这时应用差异系数进行比较分散程度效果才更好。（
13、3）差异系数只能用于一般的相对差异量的描述，尚无有效的假设检验方法。,标准分数（standard score），又称为基分数或Z分数（Z-score)，是原始分数与平均值之差除以标准差所得的商。,原始数据；数据的平均数;标准差。,（4.21）,4.3.2 标准分数,某班平均成绩为90分，标准差为3分，甲生得94.2分，乙生得89.1分，求甲、乙两个学生的Z分数各是多少？,标准分数的性质,（1）Z分数无实际单位，是以平均数为参照点，以标准差为单位的一个相对量。Z分数乘以标准差即为原始分到平均值的距离。,（2）若原始分数小于平均数，其Z分数为负数；大于平均数，其Z分数为正数；等于平均数，其Z分数为
14、0。,所有原始分数的Z分数的和为0,所有原始分数的Z分数的平均数为0,(3)Z分数的标准差为1,(4)若原始分数呈正态分布，则转换得到的所有Z分数为均值为0、标准差为1的标准正态分布。,标准分数转换对数据分布的基本形状没有影响,标准分布的优点,（1）可比性。不同性质的原始分数，转化为标准分数后可以进行比较。（2）可加性。标准分数为抽象数值。（3）明确性。可以知道该分数在全体分数中的位置。（4）稳定性。假设有两套测量某种能力心理测验，同一个人做，其原始分可能差异较大，但是标准分较为稳定。,标准分数的应用,（1）用于比较不同性质的观测值，在各自数据分布中的相对位置的高低。（2）计算不同质的观测值的总和或平均值，以表示在团体中的相对位置。（3）表示标准测验的分数，例如很多智力量表采用了标准分数表示智力(IQ),由于性质不同，不同学科的原始分数实际上是不能求平均值的。,3.4 差异量数的选用,大多数情况下，用方差和标准差，在一些特殊情况，如严重的偏态，快速了解数据的大致分布范围等用其他变异系数(Q,R)。,思考题：百分等级分数和Z分数在表示数值的地位时有何区别？,谢谢！,
