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1、统计学,statistics,高等学校应用型特色规划教材,清华大学出版社,统计学statistics高等学校应用型特色规划教材清华大学,第一节 变异指标的基本理论,第二节 全距、分位差和平均差,第三节 标准差和标准差系数,【学习目标】通过本章的学习和习题演算，掌握变异指标的意义和作用；标准差和标准差系数的计算和应用。了解变异指标的分布特性；极差、平均差和四分位差的概念、计算公式和特点；分布的偏度与峰度。,第四节 偏度和峰度,第五节 变异指标的应用,第六章 变异指标,第一节 变异指标的基本理论第二节 全距、分位差和平均差第,一、离种趋势的涵义,第六章 变异指标,第一节 变异指标的基本理论,变异指
2、标值越大，平均指标的代表性越小；反之，平均指标的代表性越大,一、离种趋势的涵义第六章 变异指标第一节 变异指标,二、变异指标的作用,第六章 变异指标,第一节 变异指标的基本理论,衡量和比较平均数代表性的大小；是进行质量控制的基础；是衡量风险程度的尺度。,二、变异指标的作用第六章 变异指标第一节 变异指标,例如：某车间有两个生产小组，各有7名工人，各人日产量如下:甲组：20，40，60，70，80，100，120乙组：67，68，69，70，71，72，73,第六章 变异指标,第一节 变异指标的基本理论,例如：某车间有两个生产小组，各有7名工人，各人日产量如下:第,第六章 变异指标,第一节 变异
3、指标的基本理论,第六章 变异指标第一节 变异指标的基本理论供货计划完成百分,【专栏61】,国家统计局日前发布的报告称，与2005年的工资数据相比，2006年全国城镇单位在岗职工的年平均工资增加了2596元，日平均工资增加了10.36元。（中国证券报3月26日）温家宝总理在十届全国人大五次会议记者招待会上曾说：“一个舰队决定它速度快慢的不是那个航行最快的船只，而是那个最慢的船只。”同样，决定全国城镇单位在岗职工工资整体发展速度的是广大低收入者的增长情况。,别把平均指标看得过重,第六章 变异指标,【专栏61】国家统计局日前发布的报告称，与,【专栏61】,目前，虽然过去15年中，中国居民工资性收入稳
4、步增长，但收入差距的扩大，已成为工资分配中的突出问题。1月31日，国家发改委官方网站公布系列收入分配报告显示，19902005年，城乡居民的工资性收入在居民总收入中所占的比重从45.3%逐步提高到63.2%.但也就在这一时期，平均货币工资收入最高最低行业之比由1.761扩大为4.881。如果我们不注重行业间的收入差距过大问题，不采取措施弥补这种差距，而是任其扩大，一味追求平均指标的增长，那就无助于“整个社会的生活状况”的改善，因为一个舰队的速度，取决于那个最慢的船只。,别把平均指标看得过重,第六章 变异指标,【专栏61】目前，虽然过去15年中，中国居民工资性收入稳步,第六章 变异指标,第一节
5、变异指标的基本理论,二、变异指标的种类,以标志值之间相互比较说明变异情况,以平均数为比较标准来说明标志的变异情况,以正态分布为标准说明分配数列偏离情况的指标,平均差,标准差,平均差系数,标准差系数,方差,峰度,偏度,全距,分位差,第六章 变异指标第一节 变异指标的基本理论二、变异指标的种,第二节 全距、分位差和平均差,第六章 变异指标,指所研究的数据中，最大值与最小值之差，又称极差。,一、全距,第二节 全距、分位差和平均差 第六章 变异指标指所研究的数,第二节 全距、分位差和平均差,第六章 变异指标,一、全距,第二节 全距、分位差和平均差 第六章 变异指标【例A】某售,第二节 全距、分位差和平
6、均差,第六章 变异指标,一、全距,【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：,第二节 全距、分位差和平均差 第六章 变异指标一、全距【例,第二节 全距、分位差和平均差,第六章 变异指标,一、全距,缺点:仅取决于两个极端值的水平，不 能反映其间的变量分布情况；受个别极端值的影响过于显著，不符合稳健性和耐抗性的要求。,全距的特点,优点:计算方法简单、易懂；,第二节 全距、分位差和平均差 第六章 变异指标一、全距缺点,第二节 全距、分位差和平均差,第六章 变异指标,二、分位差,从变量数列中，剔除了一部分极端值后计算的类似于极差的指标。,四分位差,十六分位差,十分位差,八分位差,三十
7、二分位差,百分位差,上四分位数,下四分位数,第二节 全距、分位差和平均差 第六章 变异指标二、分位差从,第二节 全距、分位差和平均差,第六章 变异指标,三、平均差,简单平均差适用于未分组资料,是各个数据与其算术平均数的离差绝对值的算术平均数，用 表示。,计算公式：,第二节 全距、分位差和平均差 第六章 变异指标三、平均差,第二节 全距、分位差和平均差,第六章 变异指标,三、平均差,【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的平均差。,解：,即该售货小组5个人销售额的平均差为93.6元。,第二节 全距、分位差和平均差 第六章
8、变异指标三、平均差【,第二节 全距、分位差和平均差,第六章 变异指标,三、平均差,加权平均差适用于分组资料,第二节 全距、分位差和平均差 第六章 变异指标三、平均差,第二节 全距、分位差和平均差,第六章 变异指标,三、平均差,【例B】计算下表中某公司职工月工资的平均差。,第二节 全距、分位差和平均差 第六章 变异指标三、平均差【,第二节 全距、分位差和平均差,第六章 变异指标,三、平均差,解：,即该公司职工月工资的平均差为138.95元。,第二节 全距、分位差和平均差 第六章 变异指标三、平均差解,第二节 全距、分位差和平均差,第六章 变异指标,三、平均差,优点:不易受极端数值的影响，能综合反
9、映全部单位标志值的实际差异程度；缺点:用绝对值的形式消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，不便于作数学处理和参与统计分析运算。,平均差的特点,第二节 全距、分位差和平均差 第六章 变异指标三、平均差优,第二节 全距、分位差和平均差,第六章 变异指标,三、平均差,平均差系数,第二节 全距、分位差和平均差 第六章 变异指标三、平均差平,第三节 标准差和标准差系数,第六章 变异指标,简单标准差适用于未分组资料,是各个数据与其算术平均数的离差平方的算术平均数的开平方根，用 来表示；标准差的平方又叫作方差，用 来表示。,标准差,计算公式：,第三节 标准差和标准差系数第六章 变异指标 简单标准差,第三
10、节 标准差和标准差系数,第六章 变异指标,【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的标准差。,解：,第三节 标准差和标准差系数第六章 变异指标【例A】某售货小,第三节 标准差和标准差系数,第六章 变异指标,标准差,加权标准差适用于分组资料,第三节 标准差和标准差系数第六章 变异指标标准差 加权标,第三节 标准差和标准差系数,第六章 变异指标,【例B】计算下表中某公司职工月工资的标准差。,第三节 标准差和标准差系数第六章 变异指标【例B】计算下表,第三节 标准差和标准差系数,第六章 变异指标,解：,（比较：其工资的平均差为1
11、38.95元）,即该公司职工月工资的标准差为167.9元。,第三节 标准差和标准差系数第六章 变异指标解：（比较：其工,第三节 标准差和标准差系数,第六章 变异指标,由同一资料计算的标准差的结果一般要略大于平均差。证明：当a,b,c0时，有,标准差的特点,不易受极端数值的影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；用平方的方法消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，可方便地用于数学处理和统计分析运算.,第三节 标准差和标准差系数第六章 变异指标由同一资料计算的,第三节 标准差和标准差系数,第六章 变异指标,标准差的简捷计算,第三节 标准差和标准差系数第六章 变异指标简单标准差加权标,第三节
12、 标准差和标准差系数,第六章 变异指标,可比,变异系数指标,第三节 标准差和标准差系数第六章 变异指标可比变异系数指标,第三节 标准差和标准差系数,第六章 变异指标,身高的差异水平：cm,体重的差异水平：kg,可比,第三节 标准差和标准差系数第六章 变异指标身高的差异水平：,第三节 标准差和标准差系数,第六章 变异指标,标准差系数,第三节 标准差和标准差系数第六章 变异指标标准差系数用来对,第三节 标准差和标准差系数,第六章 变异指标,【例】某年级一、二两班某门课的平均成绩分别为82分和76分，其成绩的标准差分别为15.6分和14.8分，比较两班平均成绩代表性的大小。,解：,二班成绩的标准差系
13、数为：,因为，所以一班平均成绩的代表性比二班大。,第三节 标准差和标准差系数第六章 变异指标【例】某年级一、,第三节 标准差和标准差系数,第六章 变异指标,是非标志总体,为研究是非标志总体的数量特征，令,第三节 标准差和标准差系数第六章 变异指标是非标志总体分组,第三节 标准差和标准差系数,第六章 变异指标,是非标志总体的指标,具有某种标志表现的单位数所占的成数,不具有某种标志表现的单位数所占的成数,第三节 标准差和标准差系数第六章 变异指标是非标志总体的指,第三节 标准差和标准差系数,第六章 变异指标,是非标志总体的指标,均值,标准差,第三节 标准差和标准差系数第六章 变异指标是非标志总体的
14、指,第三节 标准差和标准差系数,第六章 变异指标,是非标志总体的指标,方差,标准差系数,第三节 标准差和标准差系数第六章 变异指标是非标志总体的指,第三节 标准差和标准差系数,第六章 变异指标,是非标志总体的指标,【例】某厂某月份生产了400件产品，其中合格品380件，不合格品20件。求产品质量分布的集中趋势与离中趋势。,解：,第三节 标准差和标准差系数第六章 变异指标是非标志总体的指,常用的几种标志变异指标,概 念 计 算 特 点,数列中最大值与最小值之差,1极差（R）,R=最大值-最小值,优点：容易理解，计算方便缺点：不能反映全部数据分布状况,2平均差（A.D）,各标志值与均值离差绝对值的
15、算术平均,简单：,加权：,优点：反映全部数据分布状况缺点：取绝对值,数字上 不尽合理,第六章 变异指标,常用的几种标志变异指标概 念 计 算,概 念 计 算 特 点,各标志值与均值离差平方的平均。方差的平方根（取正根）,3方差（2）和 标准差(),优点：反映全部数据分布状况，数字上合理。缺点：受计量单位和平均水平影响，不便于比较,4标准差系 数（V）,标准差与均值之商，是无量纲的系数,简单：,加权：,优点：适宜不同数据集的比较缺点：对数据结构变化反应不灵敏,第六章 变异指标,概 念 计 算,分布的矩,1.矩的基本形式,第i个变量,常数,权数,第六章 变异指标,第六章 变异指标,第四节 偏度与峰
16、度,分布的矩1.矩的基本形式第i个常数权数第六章 变异指标第六章,原点矩,中心矩,未分组资料,分组资料,未分组资料,分组资料,第六章 变异指标,原点矩中心矩未分组资料分组资料未分组资料分组资料第六章 变异,(对称分布),正偏态分布（右）,负偏态分布(左）,1.平均数与众数比较法,第六章 变异指标,(对称分布)正偏态分布（右）负偏态分布(左）1.平均数与众数,2.矩法,(m3三阶中心矩),定义M=(X-A)k/n为变量X关于A的k阶矩。,当A=0，即以原点为中心，上式称为“K阶原点矩”。,K=1，2，3时，有：,一阶原点矩1=(X-0)1/n=X/n二阶原点矩2=(X-0)2/n=X2/n三阶原
17、点矩3=(X-0)3/n=X3/n,第六章 变异指标,2.矩法(m3三阶中心矩)定义M=(X-A)k/,2.矩法,当A=，即以 为中心，上式称为“K阶中心矩”。,K=1，2，3时，有：,一阶中心矩二阶中心矩三阶中心矩,第六章 变异指标,2.矩法 当A=，即以 为中心，上式称为“K阶,K=1，2，3时，有：,一阶中心矩二阶中心矩三阶中心矩,所以，3可以测定偏度。为消除量纲，转变为系数，再除以3。,0正偏态,0,第六章 变异指标,K=1，2，3时，有：一阶中心矩 所以，3可以测定偏度。为,测定分布的偏度,(对称分布),正偏态分布（右）,负偏态分布(左）,3.分位数法,不同分布情形下诸四分位数之间的
18、关系,第六章 变异指标,测定分布的偏度(对称分布)正偏态分布（右）负偏态分布(左）3,3.分位数法,由上页图可知，当公布为对称时，中位数与上、下四分位数的距离相等地；当分布为正偏时，中位数与上四分位数的距离大于它与下四分位数的距离；当分布为负偏时，中位数与上四分位数的距离小于它与下四分位数的距离，因此，中位数与上、下四分位数的距离之差可以反映偏斜方向。,第六章 变异指标,测定分布的偏度,3.分位数法由上页图可知，当公布为对称时，中位数与上、下四分,3.分位数法,0 分布为正偏,0 分布为负偏,=0 分布为对称,第六章 变异指标,3.分位数法0 分布为正偏0,1.矩法,测定分布的峰度,0 分布为
19、高峰度的,0 分布为低峰度的,=0 分布为正态峰度的,第六章 变异指标,1.矩法测定分布的峰度0 分布为高峰度的0,第六章 变异指标,2.分位数法,观察表明，此式计算的结果数值越小，分布图形越陡峭；反之，数值越大，分布图形越平坦。且在理论上可证明，对于正态分布，这样计算的结果总是0.526，故可定义相应的峰度指标为：,第六章 变异指标2.分位数法观察表明，此式计算的结果数值越小,第五节 变异指标的应用,2.总方差与组方差相结合,3.偏度、峰度与公差相结合,1.平均指标与变异指标相结合,第六章 变异指标,第五节 变异指标的应用2.总方差与组方差相结合 3.偏,本章小结：,（1）平均指标描述的是总
20、体的集中趋势，而标志变异指标描述的是总体的离中趋势。它们从两方面来反映总体的分布特征。其作用首先是衡量平均指标代表性大小的一种尺度，其次还可以反映社会经济活动过程的均衡性与协调性。（2）全距、四分位差、平均差与标准差在反映标志变异程度方面各有优缺点。方差()和标准差()是应用最广的标志变异指标。标准差与标准差系数是反映标志差异程度的主要指标。它比前面介绍的其它指标都科学。标准差就是标志值与其算术平均数离差的平方的算术平均数的平方根。,第六章 变异指标,本章小结：（1）平均指标描述的是总体的集中趋势，而标志变异指,本章小结：,（3）为了对比和分析不同平均水平总体的标志差异程度，就需要使用标准差系
21、数。标准差系数是标准差与其算术平均数之比，它既消除了变量数列水平的影响，是反映标志差异程度方面目前最科学的统计指标之一。（4）要掌握是非标志的平均数与标准差的计算。是非标志的最大值是0.25。,第六章 变异指标,本章小结：第六章 变异指标,复习思考题,1.如何理解标志变异指标是衡量平均数代表性大小的尺度？2.全距、平均差和标准差各有什么特点？3.为什么说标准差是各种标志变异指标中最常用的指标？4.什么是标准差系数，计算标准差系数有何意义？5.标志变异指标与平均数有何关系？6.在何种情况下，只需计算标准差而不必计算标志变异系数，就可以比较出不同资料的平均数代表性的大小，为什么？7.某售货小组5人
22、某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元。试计算全距。,第六章 变异指标,复习思考题1.如何理解标志变异指标是衡量平均数代表性大小的,复习思考题,第六章 变异指标,8.已知某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的平均差。9.某车间有两个小组，每组都是6个工人，各人日产量件数如下：第一组：20，40，60，80，100，120第二组：67，68，69，71，72，73试计算其平均差。,复习思考题 第六章 变异指标8.已知某售货小组5个人,复习思考题,第六章 变异指标,10.某校统计学专业统计学成绩如下表，
23、计算其平均差。,复习思考题 第六章 变异指标10.某校统计学专业统计,复习思考题,第六章 变异指标,11.某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的标准差。计算下表中某公司职工月工资的标准差。,复习思考题 第六章 变异指标11.某售货小组5个人，,复习思考题,第六章 变异指标,12.甲、乙两单位人数及月工资资料如下：,根据上表资料：（1）比较甲乙两单位哪个单位工资水平高；（2）说明哪个单位工资更具有代表性。,复习思考题 第六章 变异指标12.甲、乙两单位人数及,复习思考题,第六章 变异指标,13.根据平均数和标准差的关系。,，则标准差为多少？,，则标准差系数为多少？,，则平均数为多少？,，则平均数为多少？,1.设,2.设,3.设,4.设,复习思考题 第六章 变异指标13.根据平均数和标准差,
