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1、9.1 引言,一、二重抽样的定义,二重抽样（double sampling),也称二相抽样，是指分两步抽取样本。先从总体N中抽样一个较大的样本，称为第一重样本，对其进行调查以获取总体的某些信息，为下一步的抽样估计提供条件；然后在第一重样本中再进行第二次抽样。这种抽样方法称为二重抽样。,二、二重抽样与两阶段抽样的区别,1.两阶段抽样是先从总体N个单元中抽出n个样本单元，却并不对n个样本都进行调查，而是从中再抽出若干个二级单元进行调查。,2。两阶段抽样的第二阶段抽样单元与第一阶段抽样单元往往是不同的。而二重抽样的第二重样本往往是第一重样本的子样本。,三、二重抽样的作用,（一）有利于筛选主调查对象（
2、二）节约调查费用（三）提高抽样效率（四）可用于研究样本轮换中的某些问题（五）降低无回答偏倚,9.2 为分层的二重抽样,分层抽样是一种应用广泛的抽样方程，但进行分层抽样有一个前提，即需要将总体N个单元划分为L个互不重叠的层，而且需要知道各层的权重。如果事先无法知道总体的层权，可以采用二重抽样方法。,一、符号说明,用下标h表示层数，,总体第h层的单元数:,总体单元数：,第一重样本第h层的单元数:,第一重样本单元数：,第二重样本第h层的单元数：,第二重样本单元数：,总体单元第h层的权重：,第一重样本第h层的权重：,第二重样本第h层的抽样比：,第二重样本第h层j单元的观测值：,第二重样本第h层样本单元
3、的平均数：,总体方差：,第h层的总体方差：,第一重样本第h层方差：,第二重样本第h层方差：,二、抽样方法,第一步：利用简单随机抽样，从总体的N个单元中随机抽取第一重样本，样本单元数为；根据已知的分层标志将第一重样本分层，令，则 是总体层权 的无偏估计。,第二步：利用分层随机抽样，从第一重样本中抽取出第二重样本，样本单元数为n，第h层样本单元数为,三、估计量及其性质,（一）均值估计量,采用二重分层抽样，对总体均值 的估计量为：,（二）均值估计量 的性质,性质1 估计量 是 的无偏估计。即,因为,所以有,性质2 的方差为：,式中，为总体方差；为第h层的总体方差；为第二重样本第h层的抽样比。,性质3
4、 的样本估计量为：,式中，为 的近似无偏估计；为第二重样本第h层方差。,【例9.1】某银行要调查其客户的资产情况，已知该银行的客户数为8000，针对客户规模差异较大的特点，拟采用分层抽样。但由于缺乏现有的分层资料，决定采用二重分层抽样方法。第一重样本量=1000，根据其自报的资产情况可分为4层：第一层为300万元以下；第二层为300万元1000万元；第三层为1000万元件2000万元；第四层为2000万元以上。然后在第一重样本分层的基础上，在各层分别抽取第二重样本。第二重样本量为,，对这200个客户进行详细的调查，取,得有关数据如下表，试估计该银行所有客户的资产总额及其抽样标准误差。,解 根据
5、上表可计算各层的权重：,该银行客户的平均资产额估计为：,（百万元）,该银行共有8000个客户，故全部客户资产总额为：,（百万元）,的方差估计为：,因此，,该银行客户资产总额的抽样标准误的估计：,（百万元）,四、二重分层抽样样本量的最优分配,二重分层抽样中有两次抽样，这两次抽样的样本量 即 和，直接影响估计的精度。第一重抽样 越大，对分层信息的了解和估计就越精确，从而可以减少估计量的误差；同样，第二重抽样 越大，估计量的方差越小。调查的经费是有限的，因此，需要在给定费用的条件下，选择 和，使得估计量的方差 最小。,假设第一重抽样的单元平均调查费用为，第二重抽样第 h 层的单元平均费用为。忽略其他
6、费用，则费用函数可以表示为：,由于 是随机变量，所以选择 和 的期望费用 为：,而总体均值估计量的方差为：,要在一定的费用约束下使估计方差最小化，则有,由,在实际应用中，要确定最优的 和，需要对总体事先有一定的了解，例如对 有一些粗略的估计。,9.3 为比率估计的二重抽样,一、二重抽样比率估计的抽样方法,第一步 从总体的N个单元中随机抽取第一重样本，样本单元数为；对于第一重样本，仅观测辅助变量信息，用辅助变量的样本均值 估计总体均值。,第二步 从第一重样本中随机抽取出第二重样本，样本单元数为；对于第二重样本，观测目标变量与辅助变量，并用获得的 和，计算，构造比率估计。,二、二重抽样的比率估计及
7、其性质,二重抽样对总体均值 的比率估计：,式中，分别为第二重样本目标变量与辅助变量的样本平均数；为第一重样本辅助变量的平均数。,性质4 与简单随机抽样下的比例估计一样，是个有偏估计，其偏倚随着样本量的增加而缩小。当第二重样本的样本量 足够大时，是近似无偏的。即,因此，是 的近似无偏估计。,性质5 二重抽样比率估计的方差为：,通常 可忽略，因此,式中，分别为Y和X的总体方差和总体协方差，,性质6 二重抽样比率估计方差的样本估计：,【例9.2】某住宅小区共有200个住户，现估计小区住户家庭月平均收入的平均水平。家庭收入的数据不易调查，而家庭支出的资料相对容易获取，而且家庭月平均收入与家庭月平均支出
8、之间强相关，因此拟采用二重抽样比率估计方法。先从住户中随机抽取100个住户作为第一重样本，调查家庭月平均支出，结果家庭月平均支出的样本均值为1500元，然后从这100个住户中随机抽选 10户作为第二重样本，调查家庭月平均收入和家庭月平均支出，资料见下表。试估计该小区家庭月平均收入，并计算估计量标准差。,某小区住户家庭收支的样本数据,解：由题知，从上表计算得,该小区住户的平均家庭月收入估计为：,的方差估计为：,的标准差的估计为：,三、二重抽样比率估计时样本量的最优分配,问题：在给定的费用条件下，选择第一重样本量和第二重样本量，（其中 为抽样比），使得估计量的方差 最小。,费用函数：,其中，为第一
9、重抽样的单元平均调查费用；为第二重抽样的单元平均调查费用。,求最优值：,因总体均值估计量的方差为,由 及 得,9.4 为回归估计的二重抽样,一、二重抽样回归估计的抽样方法,第一步：从总体的N个单元中随机抽取第一重样本，样本单元数为；对于第一重样本，仅观测辅助变量信息，用辅助变量的样本均值 估计其总体均值,第二步：从第一重样本中随机抽取出第二重样本，样本单元数为；对于第二重样本，观测目标变量 与辅助变量，并计算 和回归系数，构造回归估计。,二、二重抽样的回归估计及其性质,（一）二重抽样的回归估计,二重抽样对总体均值 的回归估计：,式中 和 分别为第一重样本和第二重样本中辅助变量的平均值；为根据第
10、二重样本计算的目标变量的样本平均数，为根据第二重样本计算的 对 的回归系数。,（二）二重抽样回归估计的性质,性质7 是个有偏估计，其偏倚随着样本量的增大而縮小。当第二重样本的样本量 n 足够大时，,是近似无偏的。即,证明：,性质8 二重抽样回归估计的方差为：,式中，,因此,性质9 二重抽样回归估计方差的样本估计：,式中是用第二重样本的方差 估计，用相关系数 估计。,【例9.3】以例9。2的数据，用二重抽样进行回归估计。试估计该小区家庭月平均收入，并计算估计量的标准差。,解：由题知 由表可计算出,该小区家庭月平均收入估计为：,的方差估计为：,的标准差的估计：,在实际应用中，二重抽样容量n较大条件
11、下，才能有效消除用样本回归系数进行回归估计可能产生的偏倚。,三、二重抽样回归估计时样本量的最优分配,在给定的费用条件下，选择第一重样本量 和第二重样本量，其中 为抽样比，使得估计量的方差 最小。,假设第一重抽样的单元平均调查费用为，第二重抽样的单元平均调查费用为,费用函数为：,总体均值估计量的方差为：,要在一定的费用约束下令估计方差最小化，则有,由 及 得,本章小结(1)二重抽样的主要特点是分两步进行抽样,每步都抽取一个样本.(2)二重抽样有多个用途:为了分层;为了比率估计;为了回归估计.(3)两次抽样的样本量将直接影响估计的精度.,本章作业,（1）熟悉本章附录的证明；（2）思考书后习题1,习题2；（3）在作业本上完成书后习题3,习题5。,（第九章结束）,
