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1、2.2 收敛数列的性质,1、唯一性2、有界性3、保号性4、保不等式性5、四则运算6、迫敛性7、子数列的收敛性,1、唯一性,定理2.2 每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,故收敛数列极限唯一.,2、有界性,例如,有界,无界,定理2.3 收敛的数列必定有界.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,例1,证,由定义,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内.,3保序性,从而,定理2.6(收敛数列的保号性)如果数列xn收敛于a,且a0(或a0)那么存在正整数N 当nN时 有xn0(或xn0),4 保号性,推论 如果数列xn从某项起有xn0(或xn0)且数
2、列xn收敛于a 那么a0(或a0),这说明若数列 收敛且极限不为零，则当n充分大时，与0的距离不能任意小.这一事实在后面讨论极限的四则运算时会用到.,证,5 迫敛性,(双逼原理),上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,例1,解,由夹逼定理得,6 绝对值收敛性:,(注意反之不成立).,推论 设数列,和,收敛,则,7数列极限的四则运算法则,例4 求,例4 求,解：分 a=1，|a|1 三种情况,解：（分子有理化）,例3 求,8、子数列的收敛性,注意：,例如，,定理7 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同,证,证毕,例4,对于数列xn,证,此时有,此时有,总之：,恒有,Th(数列收敛充要条件),收敛,Th(数列收敛充要条件),收敛,子列,和,收敛于同一极限.,的任何子列收敛,于同一极限.,Th(数列收敛充要条件),收敛,子列,、,都收敛.,和,思考题,证明,要使,只要使,从而由,得,取,当 时，必有 成立,思考题解答,（等价）,证明中所采用的,实际上就是不等式,即证明中没有采用“适当放大”的值,从而 时，,仅有 成立，,但不是 的充分条件,反而缩小为,小结,(1),唯一性;,(2),有界性;,(3),保号性;,作业,P33:1,2,3,4,6.,(4),四则运算法则;,(5),不等式性;,(6),收敛数列与其子列的关系.,
