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1、1,第六章无穷级数,2,1、常数项级数,级数的部分和,定义,级数的收敛与发散,3,性质1:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.,性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.,级数收敛的必要条件:,收敛级数的基本性质,4,常数项级数审敛法,正项级数,任意项级数,4.充要条件,5.比较法,6.比值法,7.根值法,4.绝对收敛,4.莱布尼茨定理,3.按基本性质;,1.,交错级数,5.条件收敛,5,定义,2、正项级数及其审敛法,充分必要条件:,(1)比较审敛法,6,比较审敛法的极限形式：,7
2、,以下两个级数是常用的比较对象：,8,9,定义 正、负项相间的级数称为交错级数.,3、交错级数及其审敛法,10,定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,4、任意项级数及其审敛法,11,5、函数项级数,(1)定义,(2)收敛点与收敛域,否则称为发散点.,12,(3)和函数,所有发散点的全体称为发散域.,13,(1)定义,5、幂级数,14,(3)收敛半径,15,(4)和函数的分析运算性质：,且收敛半径仍为R.,16,且收敛半径仍为R.,17,6、幂级数展开式,(1)定义,18,(2)充要条件,(3)唯一性,19,(3)展开方法,a.直接法(泰勒级数法),步骤:,b.间接法,根据唯一性,利用
3、常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.,20,(4)常见函数展开式,21,(不为正整数),22,典型例题,题型1：判定数项级数的敛散性,例1,判别下列级数的收敛性：,解,所以原级数发散,23,解,例2,用比值审敛法,所以级数收敛。,24,解,例3,【答案】应选(D).,25,解,例3,【评注】,26,解,例4,从而原级数绝对收敛.,由基本不等式可知，,【答案】应选(B).,27,解,例5,(96,3分)下列各选项正确的是（）.,由正项级数的比较判别法可得结论.,【答案】应选(A).,28,解,例6,【答案】应选(C).,29,解,例7,【答案】应选(
4、D).,30,解,例7,31,解,例8,所以原级数也发散.,32,例9,【答案】应选(B).,33,例9,【评注】应了解以下结论：,34,解,例10,收敛级数加括号仍收敛，故(D)正确.,由性质：正项级数加括号或去括号不改变其敛散性，可判定(C)选项是错误的.,35,解,即原级数非绝对收敛,一方面,是条件收敛还是绝对收敛？,例11,36,由莱布尼茨定理知,另一方面,故原级数是条件收敛,37,解,例12,38,由正项级数的比较判别法知,原级数收敛.,本题这种放大通项的办法,有一定的难度.,例12,39,题型2：求幂级数的收敛域,例1,解,【评注】也可以这样求解：,40,解,例2,【答案】应选(A
5、).,41,解,例3,42,解,例4,收敛半径,43,44,题型3：求幂级数的和函数,例1,解,由一阶线性方程的通解得,45,于是,46,例2,解,逐项求导得,47,48,49,例3,解,两边0到x积分，得,导数左正右负，,50,例4,解,51,所以,52,例5,解,53,54,55,答案:,类题,05(16)12,56,题型4：求数项级数的和,例1,解,57,解,例2,(93五7),58,例3,解,59,60,例4,解,所以,考虑幂级数,所以,61,解,例5,(1),所以级数收敛；,(2),用比值判别法，,62,(2),和函数,63,所以,于是,64,题型5：将函数展开成幂级数,例1,解,65,例2,解,66,解,例3,试将函数,展开成x的幂级数,并指出其收敛域.(94三5),所以,67,答案:,类题,(03四12),68,题型6：其它,例1,证,分析：利用收敛级数的必要性来证.,69,证,例2,(97六8),又,70,对题设等式两边取极限,得,71,END,END,
